11.3導(dǎo)數(shù)的幾何意義預(yù)習(xí)課本P68，思考并完成下列問題 (1)導(dǎo)數(shù)的幾何意義是什么？(2)導(dǎo)函數(shù)的概念是什么？怎樣求導(dǎo)函數(shù)？(3)怎么求過一點(diǎn)的曲線的切線方程？1導(dǎo)數(shù)的幾何意義(1)切線的概念：如圖，對于割線PPn，當(dāng)點(diǎn)Pn趨近于點(diǎn)P時，割線PPn趨近于確定的位置，這個確定位置的直線PT稱為點(diǎn)P處的切線(2)導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)f(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)就是切線PT的斜率k，即k f(x0)2導(dǎo)函數(shù)的概念(1)定義：當(dāng)x變化時，f(x)便是x的一個函數(shù)，我們稱它為f(x)的導(dǎo)函數(shù)(簡稱導(dǎo)數(shù))(2)記法：f(x)或y，即f(x)y .點(diǎn)睛曲線的切線并不一定與曲線只有一個交點(diǎn)，可以有多個，甚至可以無窮多與曲線只有一個公共點(diǎn)的直線也不一定是曲線的切線1判斷(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)導(dǎo)函數(shù)f(x)的定義域與函數(shù)f(x)的定義域相同()(2)直線與曲線相切，則直線與已知曲線只有一個公共點(diǎn)()(3)函數(shù)f(x)0沒有導(dǎo)函數(shù)()答案：(1)(2)(3)2設(shè)f(x0)0，則曲線yf(x)在點(diǎn)(x0，f(x0)處的切線()A不存在B與x軸平行或重合C與x軸垂直 D與x軸斜交答案：B3已知曲線yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線方程為2xy20，則f(1)()A4B4C2D2答案：D4拋物線y2x與x軸、y軸都只有一個公共點(diǎn)，在x軸和y軸這兩條直線中，只有_是它的切線，而_不是它的切線答案：y軸x軸求曲線的切線方程典例已知曲線C：yx3，求曲線C上的橫坐標(biāo)為2的點(diǎn)處的切線方程解 將x2代入曲線C的方程得y4，切點(diǎn)P(2,4)y|x2 42x(x)24. ky|x24.曲線在點(diǎn)P(2,4)處的切線方程為y44(x2)，即4xy40.1過曲線上一點(diǎn)求切線方程的三個步驟2求過曲線yf(x)外一點(diǎn)P(x1，y1)的切線方程的六個步驟(1)設(shè)切點(diǎn)(x0，f(x0)(2)利用所設(shè)切點(diǎn)求斜率kf(x0) .(3)用(x0，f(x0)，P(x1，y1)表示斜率(4)根據(jù)斜率相等求得x0，然后求得斜率k.(5)根據(jù)點(diǎn)斜式寫出切線方程(6)將切線方程化為一般式活學(xué)活用過點(diǎn)(1，1)且與曲線yx32x相切的直線方程為()Axy20或5x4y10Bxy20Cxy20或4x5y10Dxy20解析：選A顯然點(diǎn)(1，1)在曲線yx32x上，若切點(diǎn)為(1，1)，則由f(1) (x)23x11，切線方程為y(1)1(x1)，即xy20.若切點(diǎn)不是(1，1)，設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)，則kxx01，又由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知kf(x0) 3x2，xx013x2，2xx010，x01，x0.kxx01，切線方程為y(1)(x1)，即5x4y10，故選A.求切點(diǎn)坐標(biāo)典例 已知拋物線y2x21分別滿足下列條件，請求出切點(diǎn)的坐標(biāo)(1)切線的傾斜角為45.(2)切線平行于直線4xy20.(3)切線垂直于直線x8y30.解設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)，則y2(x0x)212x14x0x2(x)2，4x02x，當(dāng)x0時，4x0，即f(x0)4x0.(1)拋物線的切線的傾斜角為45，斜率為tan 451.即f(x0)4x01，得x0，切點(diǎn)的坐標(biāo)為.(2)拋物線的切線平行于直線4xy20，k4，即f(x0)4x04，得x01，切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,3)(3)拋物線的切線與直線x8y30垂直，則k1，即k8，故f(x0)4x08，得x02，切點(diǎn)坐標(biāo)為(2,9)求切點(diǎn)坐標(biāo)可以按以下步驟進(jìn)行(1)設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)；(2)利用導(dǎo)數(shù)或斜率公式求出斜率；(3)利用斜率關(guān)系列方程，求出切點(diǎn)的橫坐標(biāo)；(4)把橫坐標(biāo)代入曲線或切線方程，求出切點(diǎn)縱坐標(biāo)活學(xué)活用直線l：yxa(a0)和曲線C：yx3x21相切，則a的值為_，切點(diǎn)坐標(biāo)為_解析：設(shè)直線l與曲線C的切點(diǎn)為(x0，y0)，因?yàn)閥 3x22x，則y|xx03x2x01，解得x01或x0，當(dāng)x01時，y0xx11，又(x0，y0)在直線yxa上，將x01，y01代入得a0與已知條件矛盾舍去當(dāng)x0時，y0321，則切點(diǎn)坐標(biāo)為，將代入直線yxa中得a.答案：層級一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)1下面說法正確的是()A若f(x0)不存在，則曲線yf(x)在點(diǎn)(x0，f(x0)處沒有切線B若曲線yf(x)在點(diǎn)(x0，f(x0)處有切線，則f(x0)必存在C若f(x0)不存在，則曲線yf(x)在點(diǎn)(x0，f(x0)處的切線斜率不存在D若曲線yf(x)在點(diǎn)(x0，f(x0)處沒有切線，則f(x0)有可能存在解析：選Cf(x0)的幾何意義是曲線yf(x)在點(diǎn)(x0，f(x0)處切線的斜率，當(dāng)切線垂直于x軸時，切線的斜率不存在，但存在切線2曲線y在點(diǎn)的切線的斜率為()A2B2C4 D4解析：選D因?yàn)閥 .所以曲線在點(diǎn)的切線斜率為ky|x4.3曲線yx32在點(diǎn)處切線的傾斜角為()A1B.C.D解析：選By x2，切線的斜率ky|x11.切線的傾斜角為，故應(yīng)選B.4曲線yax2在點(diǎn)(1，a)處的切線與直線2xy60平行，則a等于()A1 B.C D1解析：選Ay|x1 li (2aax)2a，2a2，a1.5過正弦曲線ysin x上的點(diǎn)的切線與ysin x的圖象的交點(diǎn)個數(shù)為()A0個 B1個C2個 D無數(shù)個解析：選D由題意，yf(x)sin x，則f .當(dāng)x0時，cos x1，f0.曲線ysin x的切線方程為y1，且與ysin x的圖象有無數(shù)個交點(diǎn)6已知函數(shù)yf(x)的圖象在點(diǎn)M(1，f(1)處的切線方程是yx2，則f(1)f(1)_.解析：由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得f(1)，由點(diǎn)M在切線上得f(1)12，所以f(1)f(1)3.答案：37已知曲線f(x)，g(x)過兩曲線交點(diǎn)作兩條曲線的切線，則曲線f(x)在交點(diǎn)處的切線方程為_解析：由，得兩曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1)由f(x)，得f(x) ，yf(x)在點(diǎn)(1,1)處的切線方程為y1(x1)即x2y10，答案：x2y108曲線yx23x的一條切線的斜率為1，則切點(diǎn)坐標(biāo)為_解析：設(shè)f(x)yx23x，切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)，f(x0) 2x031，故x02，y0x3x0462，故切點(diǎn)坐標(biāo)為(2，2)答案：(2，2)9已知拋物線yx2，直線xy20，求拋物線上的點(diǎn)到直線的最短距離解：根據(jù)題意可知與直線xy20平行的拋物線yx2的切線對應(yīng)的切點(diǎn)到直線xy20的距離最短，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，x)，則y|xx0 2x01，所以x0，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為，切點(diǎn)到直線xy20的距離d，所以拋物線上的點(diǎn)到直線xy20的最短距離為.10已知直線l：y4xa和曲線C：yx32x23相切，求a的值及切點(diǎn)的坐標(biāo)解：設(shè)直線l與曲線C相切于點(diǎn)P(x0，y0)，(x)2(3x02)x3x4x0.當(dāng)x0時，3x4x0，即f(x0)3x4x0，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，得3x4x04，解得x0或x02.切點(diǎn)的坐標(biāo)為或(2,3)，當(dāng)切點(diǎn)為時，有4a，a，當(dāng)切點(diǎn)為(2,3)時，有342a，a5，當(dāng)a時，切點(diǎn)為；a5時，切點(diǎn)為(2,3)層級二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)1.已知yf(x)的圖象如圖，則f(xA)與f(xB)的大小關(guān)系是()Af(xA)>f(xB)Bf(xA)<f(xB)Cf(xA)f(xB)D不能確定解析：選B由圖可知，曲線在點(diǎn)A處的切線的斜率比曲線在點(diǎn)B處的切線的斜率小，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義知f(xA)<f(xB)，選B.2已知曲線y2x3上一點(diǎn)A(1,2)，則點(diǎn)A處的切線斜率等于()A0B2C4 D6解析：選Dy2(1x)32136x6(x)22(x)3， 2(x)26x66，故選D.3設(shè)f(x)存在導(dǎo)函數(shù)，且滿足 1，則曲線yf(x)上點(diǎn)(1，f(1)處的切線斜率為()A2 B1C1 D2解析：選Bl f(x)1.4已知直線axby20與曲線yx3在點(diǎn)P(1,1)處的切線互相垂直，則為()A. B.C D解析：選D由導(dǎo)數(shù)的定義可得y3x2，yx3在點(diǎn)P(1,1)處的切線斜率ky|x13，由條件知，31，.5.如圖，函數(shù)f(x)的圖象是折線段ABC，其中A，B，C的坐標(biāo)分別為(0,4)，(2,0)，(6,4)，則 _.解析：由導(dǎo)數(shù)的概念和幾何意義知， f(1)kAB2.答案：26已知二次函數(shù)f(x)ax2bxc的導(dǎo)數(shù)為f(x)，f(0)>0，對于任意實(shí)數(shù)x，有f(x)0，則的最小值為_解析：由導(dǎo)數(shù)的定義，得f(0) (axb)b.又因?yàn)閷τ谌我鈱?shí)數(shù)x，有f(x)0，則所以ac，所以c>0.所以2.答案：27求曲線y和yx2在它們交點(diǎn)處的兩條切線與x軸所圍成的三角形的面積解：聯(lián)立兩曲線方程，得解得即交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1)曲線y在點(diǎn)(1,1)處的切線的斜率為f(1) 1，所以曲線y在點(diǎn)(1,1)的切線方程為y11(x1)，即yx2.同理，曲線yx2在點(diǎn)(1,1)處的切線的斜率為f(1) (2x)2.所以曲線yx2在點(diǎn)(1,1)的切線方程為y12(x1)，即y2x1，兩條切線yx2和y2x1與x軸所圍成的圖形如圖所示所以S1.故三角形的面積為.8過點(diǎn)P(1,0)作拋物線yx2x1的切線，求切線方程解：設(shè)切線過拋物線上的點(diǎn)Q(x0，xx01)，則y|xx0 (2x0x1)2x01，因?yàn)榍芯€過點(diǎn)P(1,0)和點(diǎn)Q(x0，xx01)，其斜率滿足2x01，所以x2x00，解得x00或x02，所以點(diǎn)(0,1)，(2,3)是拋物線上的點(diǎn)因此在點(diǎn)(0,1)的切線方程為y1x，即xy10；在點(diǎn)(2,3)的切線方程為y33(x2)，即3xy30.所以所求切線方程為xy10和3xy30.