1 1第一節(jié)坐標(biāo)系考綱傳真(教師用書獨(dú)具)1.理解坐標(biāo)系的作用，了解在平面直角坐標(biāo)系伸縮變換作用下平面圖形的變化情況.2.了解極坐標(biāo)的基本概念，會(huì)在極坐標(biāo)系中用極坐標(biāo)刻畫點(diǎn)的位置，能進(jìn)行極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化.3.能在極坐標(biāo)系中給出簡(jiǎn)單圖形表示的極坐標(biāo)方程(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第198頁(yè))基礎(chǔ)知識(shí)填充1平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換設(shè)點(diǎn)P(x，y)是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn)，在變換：的作用下，點(diǎn)P(x，y)對(duì)應(yīng)到點(diǎn)P(x，y)，稱為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換2極坐標(biāo)與極坐標(biāo)系的概念圖1在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)O，叫作極點(diǎn)，從O點(diǎn)引一條射線Ox，叫作極軸，選定一個(gè)單位長(zhǎng)度和角的正方向(通常取逆時(shí)針?lè)较?這樣就確定了一個(gè)平面極坐標(biāo)系，簡(jiǎn)稱為極坐標(biāo)系對(duì)于平面內(nèi)任意一點(diǎn)M，用表示線段OM的長(zhǎng)，表示以O(shè)x為始邊、OM為終邊的角度，叫作點(diǎn)M的極徑，叫作點(diǎn)M的極角，有序?qū)崝?shù)對(duì)(，)叫作點(diǎn)M的極坐標(biāo)，記作M(，)當(dāng)點(diǎn)M在極點(diǎn)時(shí)，它的極徑0，極角可以取任意值3極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化點(diǎn)M直角坐標(biāo)(x，y)極坐標(biāo)(，)互化公式2x2y2 tan (x0)4.圓的極坐標(biāo)方程曲線圖形極坐標(biāo)方程圓心在極點(diǎn)，半徑為r的圓r(02)圓心為(r,0)，半徑為r的圓2rcos 圓心為，半徑為r的圓2rsin (0)5.直線的極坐標(biāo)方程(1)直線l過(guò)極點(diǎn)，且極軸到此直線的角為，則直線l的極坐標(biāo)方程是(R)(2)直線l過(guò)點(diǎn)M(a,0)且垂直于極軸，則直線l的極坐標(biāo)方程為cos a.(3)直線過(guò)M且平行于極軸，則直線l的極坐標(biāo)方程為sin b(0)基本能力自測(cè)1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)與坐標(biāo)能建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，在極坐標(biāo)系中點(diǎn)與坐標(biāo)也是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系()(2)若點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(1，)，則點(diǎn)P的一個(gè)極坐標(biāo)是.()(3)在極坐標(biāo)系中，曲線的極坐標(biāo)方程不是唯一的()(4)極坐標(biāo)方程(0)表示的曲線是一條直線()答案(1)×(2)(3)(4)×2(教材改編)若以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則線段y1x(0x1)的極坐標(biāo)方程為()A，0B，0Ccos sin ，0Dcos sin ，0Ay1x(0x1)，sin 1cos (0cos 1)，.3(20xx·北京高考)在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在圓22cos 4sin 40上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,0)，則|AP|的最小值為_(kāi)1由22cos 4sin 40，得x2y22x4y40，即(x1)2(y2)21，圓心坐標(biāo)為C(1,2)，半徑長(zhǎng)為1.點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,0)，點(diǎn)P在圓C外又點(diǎn)A在圓C上，|AP|min|PC|1211.4已知直線l的極坐標(biāo)方程為2sin，點(diǎn)A的極坐標(biāo)為A，則點(diǎn)A到直線l的距離為_(kāi)由2sin，得2，yx1.由A，得點(diǎn)A的直角坐標(biāo)為(2，2)點(diǎn)A到直線l的距離d.5已知圓C的極坐標(biāo)方程為22·sin40，求圓C的半徑解以極坐標(biāo)系的極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O，以極軸為x軸的正半軸，建立直角坐標(biāo)系xOy.圓C的極坐標(biāo)方程可化為2240，化簡(jiǎn)，得22sin 2cos 40.則圓C的直角坐標(biāo)方程為x2y22x2y40，即(x1)2(y1)26，所以圓C的半徑為.(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第199頁(yè))平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換在平面直角坐標(biāo)系中，已知伸縮變換：(1)求點(diǎn)A經(jīng)過(guò)變換所得點(diǎn)A的坐標(biāo)；(2)求直線l：y6x經(jīng)過(guò)變換后所得直線l的方程解(1)設(shè)點(diǎn)A(x，y)，由伸縮變換：得x×31，y1.點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1，1)(2)設(shè)P(x，y)是直線l上任意一點(diǎn)由伸縮變換：得代入y6x，得2y6·2x，yx即為所求直線l的方程規(guī)律方法伸縮變換后方程的求法,平面上的曲線yf(x)在變換：的作用下的變換方程的求法是將代入yf(x)，得f，整理之后得到y(tǒng)h(x)，即為所求變換之后的方程.易錯(cuò)警示：應(yīng)用伸縮變換時(shí)，要分清變換前的點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y)與變換后的點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y).跟蹤訓(xùn)練求橢圓y21，經(jīng)過(guò)伸縮變換后的曲線方程. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：79140385】解由得將代入y21，得y21，即x2y21.因此橢圓y21經(jīng)過(guò)伸縮變換后得到的曲線方程是x2y21.極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化(20xx·全國(guó)卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為(x6)2y225.(1)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求C的極坐標(biāo)方程；(2)直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù))，l與C交于A，B兩點(diǎn)，|AB|，求l的斜率解(1)由xcos ，ysin 可得圓C的極坐標(biāo)方程為212cos 110.(2)在(1)中建立的極坐標(biāo)系中，直線l的極坐標(biāo)方程為(R)設(shè)A，B所對(duì)應(yīng)的極徑分別為1，2，將l的極坐標(biāo)方程代入C的極坐標(biāo)方程得212cos 110，于是1212cos ，1211.|AB|12|.由|AB|得cos2，tan ±.所以l的斜率為或.規(guī)律方法1.極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化公式的三個(gè)前提條件(1)取直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)(2)以x軸的非負(fù)半軸為極軸(3)兩種坐標(biāo)系規(guī)定相同的長(zhǎng)度單位2極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化的策略(1)直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程，只要運(yùn)用公式xcos 及ysin 直接代入并化簡(jiǎn)即可；(2)極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程時(shí)常通過(guò)變形，構(gòu)造形如cos ，sin ，2的形式，進(jìn)行整體代換跟蹤訓(xùn)練(20xx·合肥二檢)在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為4cos .(1)求出圓C的直角坐標(biāo)方程；(2)已知圓C與x軸相交于A，B兩點(diǎn)，直線l：y2x關(guān)于點(diǎn)M(0，m)(m0)對(duì)稱的直線為l.若直線l上存在點(diǎn)P使得APB90°，求實(shí)數(shù)m的最大值解(1)由4cos 得24cos ，即x2y24x0，即圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x2)2y24.(2)直線l：y2x關(guān)于點(diǎn)M(0，m)的對(duì)稱直線l的方程為y2x2m，而AB為圓C的直徑，故直線l上存在點(diǎn)P使得APB90°的充要條件是直線l與圓C有公共點(diǎn)，故2，解得2m2，所以實(shí)數(shù)m的最大值為2.極坐標(biāo)方程的應(yīng)用(20xx·全國(guó)卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C1的極坐標(biāo)方程為cos 4.(1)M為曲線C1上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在線段OM上，且滿足|OM|·|OP|16，求點(diǎn)P的軌跡C2的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)點(diǎn)A的極坐標(biāo)為，點(diǎn)B在曲線C2上，求OAB面積的最大值解(1)設(shè)P的極坐標(biāo)為(，)(>0)，M的極坐標(biāo)為(1，)(1>0)由題設(shè)知|OP|，|OM|1.由|OM|·|OP|16得C2的極坐標(biāo)方程為4cos (0)因此C2的直角坐標(biāo)方程為(x2)2y24(x0)(2)設(shè)點(diǎn)B的極坐標(biāo)為(B，)(B>0)由題設(shè)知|OA|2，B4cos ，于是OAB的面積S|OA|·B·sinAOB4cos ·22.當(dāng)時(shí)，S取得最大值2.所以O(shè)AB面積的最大值為2.規(guī)律方法在用方程解決直線、圓和圓錐曲線的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，將極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，有助于對(duì)方程所表示的曲線的認(rèn)識(shí)，從而達(dá)到化陌生為熟悉的目的，這是轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用.跟蹤訓(xùn)練(20xx·太原市質(zhì)檢)已知曲線C1：xy和C2：(為參數(shù))以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，且兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位(1)把曲線C1和C2的方程化為極坐標(biāo)方程；(2)設(shè)C1與x，y軸交于M，N兩點(diǎn)，且線段MN的中點(diǎn)為P.若射線OP與C1，C2交于P，Q兩點(diǎn)，求P，Q兩點(diǎn)間的距離. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：79140386】解(1)曲線C1化為cos sin .sin.曲線C2化為1.(*)將xcos ，ysin 代入(*)式得cos2sin21，即2(cos23sin2)6.曲線C2的極坐標(biāo)方程為2.(2)M(，0)，N(0,1)，P，OP的極坐標(biāo)方程為，把代入sin得11，P.把代入2得22，Q.|PQ|21|1，即P，Q兩點(diǎn)間的距離為1.