限時(shí)規(guī)范訓(xùn)練限時(shí)規(guī)范訓(xùn)練(限時(shí)練限時(shí)練夯基練夯基練提能練提能練)A 級(jí)級(jí)基礎(chǔ)夯實(shí)練基礎(chǔ)夯實(shí)練1已知點(diǎn)已知點(diǎn) A(2，3)在拋物線(xiàn)在拋物線(xiàn) C：y22px(p0)的準(zhǔn)線(xiàn)上的準(zhǔn)線(xiàn)上，記記 C的焦點(diǎn)為的焦點(diǎn)為 F，則直線(xiàn)則直線(xiàn) AF 的斜率為的斜率為()A43B1C34D12解析解析：選選 C.由已知由已知，得準(zhǔn)線(xiàn)方程為得準(zhǔn)線(xiàn)方程為 x2，所以所以 F 的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(2，0)又又 A(2，3)，所以直線(xiàn)所以直線(xiàn) AF 的斜率為的斜率為 k302234.2若點(diǎn)若點(diǎn) A，B 在拋物線(xiàn)在拋物線(xiàn) y22px(p0)上上，O 是坐標(biāo)原點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，若正若正三角形三角形 OAB 的面積為的面積為 4 3，則該拋物線(xiàn)方程是則該拋物線(xiàn)方程是()Ay22 33xBy2 3xCy22 3xDy233x解析：解析：選選 A.根據(jù)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性根據(jù)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性，ABx 軸軸，由于正三角形的由于正三角形的面積是面積是 4 3，故故34AB24 3，故故 AB4，正三角形的高為正三角形的高為 2 3，故故可以設(shè)點(diǎn)可以設(shè)點(diǎn) A 的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(2 3，2)代入拋物線(xiàn)方程得代入拋物線(xiàn)方程得 44 3p，解得解得 p33，故所求的拋物線(xiàn)方程為，故所求的拋物線(xiàn)方程為 y22 33x.故選故選 A.3(2018皖北協(xié)作區(qū)聯(lián)考皖北協(xié)作區(qū)聯(lián)考)已知拋物線(xiàn)已知拋物線(xiàn) C：x22py(p0)，若直若直線(xiàn)線(xiàn) y2x 被拋物線(xiàn)所截弦長(zhǎng)為被拋物線(xiàn)所截弦長(zhǎng)為 4 5，則拋物線(xiàn)則拋物線(xiàn) C 的方程為的方程為()Ax28yBx24yCx22yDx2y解析：解析：選選 C.由由x22py，y2x得得x0，y0或或x4p，y8p，即兩交點(diǎn)坐標(biāo)為即兩交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，0)和和(4p，8p)，則則 （4p）2（8p）24 5，得得 p1(舍去負(fù)值舍去負(fù)值)，故拋物線(xiàn)故拋物線(xiàn) C 的方程為的方程為 x22y.4 (2018湖南省五市十校聯(lián)考湖南省五市十校聯(lián)考)已知拋物線(xiàn)已知拋物線(xiàn) y22x 上一點(diǎn)上一點(diǎn) A 到焦到焦點(diǎn)點(diǎn) F 的距離與其到對(duì)稱(chēng)軸的距離之比為的距離與其到對(duì)稱(chēng)軸的距離之比為 54，且且|AF|2，則點(diǎn)則點(diǎn) A 到到原點(diǎn)的距離為原點(diǎn)的距離為()A. 41B2 2C4D8解析：解析：選選 B.令點(diǎn)令點(diǎn) A 到點(diǎn)到點(diǎn) F 的距離為的距離為 5a，點(diǎn)點(diǎn) A 到到 x 軸的距離軸的距離為為4a，則點(diǎn)則點(diǎn) A 的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為5a12，4a，代入代入 y22x 中中，解得解得 a12或或 a18(舍舍)，此時(shí)此時(shí) A(2，2)，故點(diǎn)故點(diǎn) A 到原點(diǎn)的距離為到原點(diǎn)的距離為 2 2.5(2018太原模擬太原模擬)已知拋物線(xiàn)已知拋物線(xiàn) C：y28x 的焦點(diǎn)為的焦點(diǎn)為 F，準(zhǔn)線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)為為l， P 是是 l 上一點(diǎn)上一點(diǎn)， Q 是直線(xiàn)是直線(xiàn) PF 與與 C 的一個(gè)交點(diǎn)的一個(gè)交點(diǎn) 若若FP4FQ， 則則|QF|等于等于()A.72B52C3D2解析：解析：選選 C.因?yàn)橐驗(yàn)镕P4FQ，所以所以|FP|4|FQ|，所以所以|PQ|PF|34.如圖如圖，過(guò)過(guò) Q 作作 QQl，垂足為垂足為 Q，設(shè)設(shè)l 與與 x 軸的交點(diǎn)為軸的交點(diǎn)為 A， 則則|AF|4， 所以所以|PQ|PF|QQ|AF|34，所以所以|QQ|3，根據(jù)拋物線(xiàn)定義可知根據(jù)拋物線(xiàn)定義可知|QQ|QF|3.6(2018江西協(xié)作體聯(lián)考江西協(xié)作體聯(lián)考)設(shè)拋物線(xiàn)設(shè)拋物線(xiàn) C：y22px(p0)的焦點(diǎn)的焦點(diǎn)為為F，點(diǎn)點(diǎn) M 在在 C 上上，|MF|5.若以若以 MF 為直徑的圓過(guò)點(diǎn)為直徑的圓過(guò)點(diǎn)(0，2)，則則 C 的的方程為方程為()Ay24x 或或 y28xBy22x 或或 y28xCy24x 或或 y216xDy22x 或或 y216x解析：解析：選選 C.由已知得拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)由已知得拋物線(xiàn)的焦點(diǎn) Fp2，0，設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn) A(0，2)，拋拋物線(xiàn)上點(diǎn)物線(xiàn)上點(diǎn) M(x0，y0)，則則AFp2，2，AMy202p，y02.由已知得由已知得，AFAM0，即即 y208y0160，因而因而 y04，M8p，4.由由|MF|5得得，8pp22165，又又 p0，解得解得 p2 或或 p8，即拋物線(xiàn)方程即拋物線(xiàn)方程為為 y24x 或或 y216x.7 (2018云南大理州模擬云南大理州模擬)在直角坐標(biāo)系在直角坐標(biāo)系 xOy 中中， 有一定點(diǎn)有一定點(diǎn) M(1，2)，若線(xiàn)段若線(xiàn)段 OM 的垂直平分線(xiàn)過(guò)拋物線(xiàn)的垂直平分線(xiàn)過(guò)拋物線(xiàn) x22py(p0)的焦點(diǎn)的焦點(diǎn)，則則該拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程是該拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程是_解析解析： 依題意可得線(xiàn)段依題意可得線(xiàn)段 OM 的垂直平分線(xiàn)的方程為的垂直平分線(xiàn)的方程為 2x4y50，把焦點(diǎn)坐標(biāo)把焦點(diǎn)坐標(biāo)0，p2 代入可求得代入可求得 p52，所以準(zhǔn)線(xiàn)方程為所以準(zhǔn)線(xiàn)方程為 y54.答案：答案：y548(2018河北六校模擬河北六校模擬)拋物線(xiàn)拋物線(xiàn) C：y22px(p0)的焦點(diǎn)為的焦點(diǎn)為 F，點(diǎn)點(diǎn) O 是坐標(biāo)原點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn) O，F(xiàn) 的圓與拋物線(xiàn)的圓與拋物線(xiàn) C 的準(zhǔn)線(xiàn)相切的準(zhǔn)線(xiàn)相切，且該圓且該圓的面積為的面積為 36，則拋物線(xiàn)的方程為則拋物線(xiàn)的方程為_(kāi)解析：解析：設(shè)滿(mǎn)足題意的圓的圓心為設(shè)滿(mǎn)足題意的圓的圓心為 M.根據(jù)題意可知圓心根據(jù)題意可知圓心 M 在拋物線(xiàn)上在拋物線(xiàn)上，又因?yàn)閳A的面積為又因?yàn)閳A的面積為 36，所以圓的半徑為所以圓的半徑為 6，則則|MF|xMp26，即即 xM6p2，又由題意可知又由題意可知 xMp4，所以所以p46p2，解得解得 p8.所以?huà)佄锞€(xiàn)方程為所以?huà)佄锞€(xiàn)方程為 y216x.答案：答案：y216x9設(shè)設(shè) P 是拋物線(xiàn)是拋物線(xiàn) y24x 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)則點(diǎn) P 到點(diǎn)到點(diǎn) A(1，1)的距離與點(diǎn)的距離與點(diǎn) P 到直線(xiàn)到直線(xiàn) x1 的距離之和的最小值為的距離之和的最小值為_(kāi)解析：解析：如圖如圖，易知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為易知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為 F(1，0)，準(zhǔn)準(zhǔn)線(xiàn)方程是線(xiàn)方程是 x1，由拋物線(xiàn)的定義知由拋物線(xiàn)的定義知，點(diǎn)點(diǎn) P 到直線(xiàn)到直線(xiàn) x1 的距離等于點(diǎn)的距離等于點(diǎn) P 到到 F 的距離于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為的距離于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在拋物線(xiàn)上求一點(diǎn)在拋物線(xiàn)上求一點(diǎn) P， 使點(diǎn)使點(diǎn) P 到點(diǎn)到點(diǎn) A(1， 1)的距離與的距離與點(diǎn)點(diǎn) P 到到 F(1，0)的距離之和最小的距離之和最小，連接連接 AF 交拋物線(xiàn)于點(diǎn)交拋物線(xiàn)于點(diǎn) P，此時(shí)最此時(shí)最小值為小值為|AF| 1（1）2（01）2 5.答案：答案： 510(2018湖北武漢調(diào)研測(cè)試湖北武漢調(diào)研測(cè)試)已知拋物線(xiàn)已知拋物線(xiàn) C：x22py(p0)和定和定點(diǎn)點(diǎn) M(0，1)，設(shè)過(guò)點(diǎn)設(shè)過(guò)點(diǎn) M 的動(dòng)直線(xiàn)交拋物線(xiàn)的動(dòng)直線(xiàn)交拋物線(xiàn) C 于于 A，B 兩點(diǎn)兩點(diǎn)，拋物線(xiàn)拋物線(xiàn) C在在 A，B 處的切線(xiàn)的交點(diǎn)為處的切線(xiàn)的交點(diǎn)為 N.(1)若若 N 在以在以 AB 為直徑的圓上為直徑的圓上，求求 p 的值；的值；(2)若若ABN 的面積的最小值為的面積的最小值為 4，求拋物線(xiàn)求拋物線(xiàn) C 的方程的方程解解：由題意知由題意知，直線(xiàn)直線(xiàn) AB 的斜率一定存在的斜率一定存在，設(shè)直線(xiàn)設(shè)直線(xiàn) AB：ykx1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，將直線(xiàn)將直線(xiàn) AB 的方程代入拋物線(xiàn)的方程代入拋物線(xiàn) C 的方程得的方程得 x22pkx2p0，則則 x1x22pk，x1x22p.(1)由由 x22py 得得 yxp，則則 A，B 處的切線(xiàn)斜率的乘積為處的切線(xiàn)斜率的乘積為x1x2p22p，點(diǎn)點(diǎn) N 在以在以 AB 為直徑的圓上為直徑的圓上，ANBN，2p1，p2.(2)易得直線(xiàn)易得直線(xiàn) AN：yy1x1p(xx1)，直直線(xiàn)線(xiàn) BN：yy2x2p(xx2)，聯(lián)立聯(lián)立，得得yy1x1p（xx1） ，yy2x2p（xx2） ，結(jié)合結(jié)合式式，解得解得xpk，y1，即即 N(pk，1)|AB| 1k2|x2 x1| 1k2（x1x2）24x1x21k24p2k28p，點(diǎn)點(diǎn) N 到直線(xiàn)到直線(xiàn) AB 的距離的距離 d|kxN1yN|1k2|pk22|1k2，則則 SABN12|AB|d p（pk22）32 2p，當(dāng)當(dāng) k0 時(shí)時(shí)，取取等號(hào)等號(hào)，ABN 的面積的最小值的面積的最小值為為 4，2 2p4，p2，故拋物線(xiàn)故拋物線(xiàn) C 的方程為的方程為 x24y.B 級(jí)級(jí)能力提升練能力提升練11(2018河北邯鄲質(zhì)檢河北邯鄲質(zhì)檢)已知拋物線(xiàn)已知拋物線(xiàn) y22px(p0)過(guò)過(guò)點(diǎn)點(diǎn)A12， 2，其準(zhǔn)線(xiàn)與其準(zhǔn)線(xiàn)與 x 軸交于點(diǎn)軸交于點(diǎn) B，直線(xiàn)直線(xiàn) AB 與拋物線(xiàn)的另一個(gè)交點(diǎn)與拋物線(xiàn)的另一個(gè)交點(diǎn)為為 M，若若MBAB，則實(shí)數(shù)則實(shí)數(shù)為為()A.13B12C2D3解析解析：選選 C.把點(diǎn)把點(diǎn) A12， 2代入拋物線(xiàn)的方程得代入拋物線(xiàn)的方程得 22p12，解解得得p2，所以?huà)佄锞€(xiàn)的方程為所以?huà)佄锞€(xiàn)的方程為 y24x，則則 B(1，0)，設(shè)設(shè) My2M4，yM，則則AB32， 2，MB(1y2M4，yM)，由由MBAB，得得1y2M432，yM 2，解得解得2 或或1(舍去舍去)，故選故選 C.12(2018河南鄭州模擬河南鄭州模擬)已知拋物線(xiàn)已知拋物線(xiàn) y28x，點(diǎn)點(diǎn) Q 是圓是圓 C：x2y22x8y130 上任意一點(diǎn)上任意一點(diǎn)，記拋物線(xiàn)上任意一點(diǎn)記拋物線(xiàn)上任意一點(diǎn) P 到直線(xiàn)到直線(xiàn) x2 的距離為的距離為 d，則則|PQ|d 的最小值為的最小值為()A5B4C3D2解析解析：選選 C.如圖如圖，由題意知拋物由題意知拋物線(xiàn)線(xiàn) y28x 的焦的焦點(diǎn)為點(diǎn)為 F(2，0)，連接連接 PF，F(xiàn)Q，則則 d|PF|，將圓將圓 C的方程化為的方程化為(x1)2(y4)24，圓心為圓心為 C(1，4)，半徑為半徑為 2，則則|PQ|d|PQ|PF|，又又|PQ|PF|FQ|(當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) F，P，Q 三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)取得等號(hào)三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)取得等號(hào))所以當(dāng)所以當(dāng) F，Q，C 三三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)取得最小值點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)取得最小值， 且為且為|CF|CQ| （12）2（40）223，故選故選 C.13(2018廣東五校聯(lián)考廣東五校聯(lián)考)已已知過(guò)拋物線(xiàn)知過(guò)拋物線(xiàn) C：y28x 的焦點(diǎn)的焦點(diǎn) F 的的直線(xiàn)直線(xiàn) l 交拋物線(xiàn)于交拋物線(xiàn)于 P，Q 兩點(diǎn)兩點(diǎn)，若若 R 為線(xiàn)段為線(xiàn)段 PQ 的中點(diǎn)的中點(diǎn)，連接連接 OR 并并延長(zhǎng)交拋物線(xiàn)延長(zhǎng)交拋物線(xiàn) C 于點(diǎn)于點(diǎn) S，則則|OS|OR|的取值范圍是的取值范圍是()A(0，2)B2，)C(0，2D(2，)解析解析：選選 D.由題意知由題意知，拋物線(xiàn)拋物線(xiàn) y28x 的焦點(diǎn)的焦點(diǎn) F 的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(2，0)，直線(xiàn)直線(xiàn) l 的斜率存在且不為的斜率存在且不為 0，設(shè)直線(xiàn)設(shè)直線(xiàn) l 的方程為的方程為 yk(x2)由由yk（x2） ，y28x消去消去 y 整理得整理得 k2x24(k22)x4k20， 設(shè)設(shè) P(x1， y1)，Q(x2， y2)， R(x0， y0)， S(x3， y3)， 則則 x1x24（k22）k2， 故故 x0 x1x222（k22）k2，y0k(x02)4k，所以所以 kOSy0 x02kk22，直線(xiàn)直線(xiàn) OS 的方的方程為程為 y2kk22x，代入拋物線(xiàn)方程代入拋物線(xiàn)方程，解得解得 x32（k22）2k2，由條件由條件知知k20.所以所以|OS|OR|x3x0k222.選選 D.14 (2018河南洛陽(yáng)統(tǒng)一考試河南洛陽(yáng)統(tǒng)一考試)已知拋物線(xiàn)已知拋物線(xiàn) C： x24y 的焦點(diǎn)為的焦點(diǎn)為 F，直線(xiàn)直線(xiàn) AB 與拋物線(xiàn)與拋物線(xiàn) C 相交于相交于 A，B 兩點(diǎn)兩點(diǎn)，若若 2OAOB3OF0，則則弦弦AB 中點(diǎn)到拋物線(xiàn)中點(diǎn)到拋物線(xiàn) C 的準(zhǔn)線(xiàn)的距離為的準(zhǔn)線(xiàn)的距離為_(kāi)解析解析：依題意得依題意得，拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為 F(0，1)，準(zhǔn)線(xiàn)方程是準(zhǔn)線(xiàn)方程是 y1，因?yàn)橐驗(yàn)?2(OAOF)(OBOF)0，即即 2FAFB0，所以所以 F，A，B三點(diǎn)共線(xiàn)三點(diǎn)共線(xiàn)設(shè)直線(xiàn)設(shè)直線(xiàn) AB：ykx1(k0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則由則由ykx1，x24y得得 x24(kx1)，即即 x24kx40，x1x24；又又 2FAFB0，因此因此 2x1x20.由由解解得得x212， 弦弦AB的中點(diǎn)到拋物的中點(diǎn)到拋物線(xiàn)線(xiàn)C的準(zhǔn)線(xiàn)的距離為的準(zhǔn)線(xiàn)的距離為12(y11)(y21)12(y1y2)118(x21x22)15x218194.答案：答案：9415已知已知 F 是拋物線(xiàn)是拋物線(xiàn) y24x 的焦點(diǎn)的焦點(diǎn)，點(diǎn)點(diǎn) A，B 在該拋物線(xiàn)上且在該拋物線(xiàn)上且位于位于 x 軸的兩側(cè)軸的兩側(cè)， OA OB4(其中其中 O 為坐標(biāo)原點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn))， 則則ABO 面積面積的最小值是的最小值是_解析：解析：不妨設(shè)不妨設(shè) A(x1，y1)，B(x2，y2)，y10，由由OAOB4，即即 x1x2y1y24 得得116y21y22y1y24，得得 y1y28.所以所以 SABO12|x1y2x2y1|y1y2|4 2，當(dāng)當(dāng) y12 2，y222時(shí)取等號(hào)時(shí)取等號(hào)，故故ABO 面積的最小值為面積的最小值為 4 2.答案：答案：4 2C 級(jí)級(jí)素養(yǎng)加強(qiáng)練素養(yǎng)加強(qiáng)練16已知拋物線(xiàn)已知拋物線(xiàn) C：y22px 過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn) P(1，1)過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)0，12 作直線(xiàn)作直線(xiàn) l與拋物線(xiàn)與拋物線(xiàn) C 交于不同的兩點(diǎn)交于不同的兩點(diǎn) M，N，過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn) M 作作 x 軸的垂線(xiàn)分別與直軸的垂線(xiàn)分別與直線(xiàn)線(xiàn) OP，ON 交于點(diǎn)交于點(diǎn) A，B，其中其中 O 為原點(diǎn)為原點(diǎn)(1)求拋物線(xiàn)求拋物線(xiàn) C 的方程的方程，并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線(xiàn)方程；并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線(xiàn)方程；(2)求證：求證：A 為線(xiàn)段為線(xiàn)段 BM 的中點(diǎn)的中點(diǎn)解：解：(1)把把 P(1，1)代入代入 y22px 得得 p12，所以?huà)佄锞€(xiàn)所以?huà)佄锞€(xiàn) C：y2x，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為14，0，準(zhǔn)線(xiàn)：準(zhǔn)線(xiàn)：x14.(2)證明：設(shè)證明：設(shè) l：ykx12，M(x1，y1)，N(x2，y2)，OP：yx，ON：yy2x2x，由題知由題知 A(x1，x1)，Bx1，x1y2x2，由由ykx12，y2x，消去消去 y 得得 k2x2(k1)x140，所以所以 x1x21kk2，x1x214k2.所以所以 y1x1y2x2kx112x1kx212x22kx1x1x22x2，由由 x1x21kk2，x1x214k2，上式上式2kx11kk2214k2x12kx1(1k)2x12x1，所以所以 A 為線(xiàn)段為線(xiàn)段 BM 的中點(diǎn)的中點(diǎn)