第20練圓錐曲線的定義、方程與性質(zhì)明晰考情1.命題角度：圓錐曲線的定義、方程與幾何性質(zhì)是高考考查的熱點(diǎn).2.題目難度：中等偏難.考點(diǎn)一圓錐曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程方法技巧(1)應(yīng)用圓錐曲線的定義解題時(shí)，一定不要忽視定義中的隱含條件.(2)凡涉及橢圓或雙曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離、拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離，一般可以利用定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化.(3)求解圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法是“先定型，后計(jì)算”.1.已知A(0,7)，B(0，7)，C(12,2)，以C為一個(gè)焦點(diǎn)作過(guò)A，B的橢圓，則橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)F的軌跡方程是()A.y21B.x21C.y21(y1) D.x21(x1)答案C解析由兩點(diǎn)間距離公式，可得|AC|13，|BC|15，|AB|14，因?yàn)锳，B都在橢圓上，所以|AF|AC|BF|BC|，|AF|BF|BC|AC|2<14，故F的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線的下支.由c7，a1，得b248，所以F的軌跡方程是y21(y1)，故選C.2.已知雙曲線1(a>0，b>0)的焦距為2，且雙曲線的一條漸近線與直線2xy0垂直，則雙曲線的方程為()A.y21B.x21C.1D.1答案A解析依題意得，又a2b2c25，聯(lián)立得a2，b1.所求雙曲線的方程為y21.3.已知橢圓1的兩個(gè)焦點(diǎn)是F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在該橢圓上，若|PF1|PF2|2，則PF1F2的面積是_.答案解析由橢圓的方程可知a2，c，且|PF1|PF2|2a4，又|PF1|PF2|2，所以|PF1|3，|PF2|1.又|F1F2|2c2，所以有|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，即PF1F2為直角三角形，且PF2F1為直角，所以|F1F2|PF2|21.4.已知P是拋物線y24x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，Q是圓(x3)2(y1)21上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，N(1,0)是一個(gè)定點(diǎn)，則|PQ|PN|的最小值為_(kāi).答案3解析由拋物線方程y24x，可得拋物線的焦點(diǎn)F(1,0)，又N(1,0)，所以N與F重合.過(guò)圓(x3)2(y1)21的圓心M作拋物線準(zhǔn)線的垂線MH，交圓于Q，交拋物線于P，則|PQ|PN|的最小值等于|MH|13.考點(diǎn)二圓錐曲線的幾何性質(zhì)方法技巧(1)確定橢圓和雙曲線的離心率的值及范圍，就是確立一個(gè)關(guān)于a，b，c的方程(組)或不等式(組)，再根據(jù)a，b，c的關(guān)系消掉b得到a，c的關(guān)系式.(2)要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點(diǎn)的坐標(biāo)的范圍等.5.(2018全國(guó))雙曲線1(a0，b0)的離心率為，則其漸近線方程為()A.yxB.yxC.yxD.yx答案A解析雙曲線1的漸近線方程為bxay0.又離心率，a2b23a2，ba(a0，b0).漸近線方程為axay0，即yx.故選A.6.(2018全國(guó))已知F1，F(xiàn)2是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是C上的一點(diǎn).若PF1PF2，且PF2F160，則C的離心率為()A.1B.2C.D.1答案D解析在RtPF1F2中，PF2F160，設(shè)橢圓的方程為1(ab0)，且焦距|F1F2|2，則|PF2|1，|PF1|，由橢圓的定義可知，2a1，2c2，得a，c1，所以離心率e1.7.(2017山東)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線1(a0，b0)的右支與焦點(diǎn)為F的拋物線x22py(p0)交于A，B兩點(diǎn)，若|AF|BF|4|OF|，則該雙曲線的漸近線方程為_(kāi).答案yx解析設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得a2y22pb2ya2b20，y1y2.又|AF|BF|4|OF|，y1y24，即y1y2p，p，即，雙曲線的漸近線方程為yx.8.已知A是雙曲線1(a0，b0)的左頂點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線上一點(diǎn)，G是PF1F2的重心，若PF1，則雙曲線的離心率為_(kāi).答案3解析因?yàn)镻F1，所以PF1，所以(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，即，所以e3.考點(diǎn)三圓錐曲線的綜合問(wèn)題方法技巧(1)圓錐曲線范圍、最值問(wèn)題的常用方法定義性質(zhì)轉(zhuǎn)化法；目標(biāo)函數(shù)法；條件不等式法.(2)圓錐曲線中的定值、定點(diǎn)問(wèn)題可以利用特例法尋求突破，然后對(duì)一般情況進(jìn)行證明.9.已知方程1表示橢圓，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A.(，1) B.(2，)C.(1，)D.答案D解析由1轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)方程為1，假設(shè)焦點(diǎn)在x軸上，則2m(m1)0，解得m1；假設(shè)焦點(diǎn)在y軸上，則(m1)2m0，解得2m.綜上可知，m的取值范圍為.10.(2016四川)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P是以F為焦點(diǎn)的拋物線y22px(p>0)上任意一點(diǎn)，M是線段PF上的點(diǎn)，且|PM|2|MF|，則直線OM的斜率的最大值為()A.B.C.D.1答案C解析如圖，由題意可知F，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為，顯然，當(dāng)y0<0時(shí)，kOM<0；當(dāng)y0>0時(shí)，kOM>0.要求kOM的最大值，不妨設(shè)y0>0，則()，kOM，當(dāng)且僅當(dāng)y2p2時(shí)等號(hào)成立.故選C.11.過(guò)拋物線yax2 (a>0)的焦點(diǎn)F作一條直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若線段AF，BF的長(zhǎng)分別為m，n，則_.答案解析顯然直線AB的斜率存在，故設(shè)直線方程為ykx，與yax2聯(lián)立，消去y得ax2kx0，設(shè)A(x1，ax)，B(x2，ax)，則x1x2，x1x2，xx，max，nax，mn，mn，.12.(2018齊齊哈爾模擬)已知橢圓1(a>b>0)的短軸長(zhǎng)為2，上頂點(diǎn)為A，左頂點(diǎn)為B，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，且F1AB的面積為，點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn)，則的取值范圍為_(kāi).答案解析由已知得2b2，故b1，F(xiàn)1AB的面積為，(ac)b，ac2，又a2c2(ac)(ac)b21，a2，c，又2|PF1|2，1|PF1|24|PF1|4，14，即的取值范圍為.1.若點(diǎn)O和點(diǎn)F(2,0)分別為雙曲線y21(a0)的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線右支上的任意一點(diǎn)，則的取值范圍為()A.32，) B.32，)C.D.答案B解析由題意，得22a21，即a，設(shè)P(x，y)，x，(x2，y)，則(x2)xy2x22x12，因?yàn)閤，所以的取值范圍為32，).2.若橢圓的對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸，且短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)組成一個(gè)正三角形，焦點(diǎn)到同側(cè)頂點(diǎn)的距離為，則橢圓的方程為_(kāi).答案1或1解析由題意，得所以所以b2a2c29.所以當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，橢圓的方程為1；當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，橢圓的方程為1.故橢圓的方程為1或1.3.已知A(1,2)，B(1,2)，動(dòng)點(diǎn)P滿足.若雙曲線1(a>0，b>0)的漸近線與動(dòng)點(diǎn)P的軌跡沒(méi)有公共點(diǎn)，則雙曲線離心率的取值范圍是_.答案(1,2)解析設(shè)P(x，y)，由題設(shè)條件，得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為(x1)(x1)(y2)(y2)0，即x2(y2)21，它是以(0,2)為圓心，1為半徑的圓.又雙曲線1(a>0，b>0)的漸近線方程為yx，即bxay0，由題意，可得>1，即>1，所以e<2，又e>1，故1<e<2.解題秘籍(1)橢圓的焦點(diǎn)位置不明確時(shí)，要分焦點(diǎn)在x軸上或y軸上進(jìn)行討論.(2)范圍問(wèn)題要注意圓錐曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)的范圍和幾何意義，不要忽略離心率本身的限制條件.1. (2018全國(guó))已知橢圓C：1的一個(gè)焦點(diǎn)為(2,0)，則C的離心率為()A.B.C.D.答案C解析a24228，a2，e.故選C.2.(2017全國(guó))已知雙曲線C：1(a>0，b>0)的一條漸近線方程為yx，且與橢圓1有公共焦點(diǎn)，則C的方程為()A.1B.1C.1D.1答案B解析由yx，可得.由橢圓1的焦點(diǎn)為(3,0)，(3,0)，可得a2b29.由可得a24，b25.所以C的方程為1.故選B.3.(2017全國(guó))已知F是雙曲線C：x21的右焦點(diǎn)，P是C上一點(diǎn)，且PF與x軸垂直，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(1,3)，則APF的面積為()A.B.C.D.答案D解析因?yàn)镕是雙曲線C：x21的右焦點(diǎn)，所以F(2,0).因?yàn)镻Fx軸，所以可設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，yP).因?yàn)镻是C上一點(diǎn)，所以41，解得yP3，所以P(2，3)，|PF|3.又因?yàn)锳(1,3)，所以點(diǎn)A到直線PF的距離為1，所以SAPF|PF|131.故選D.4.已知直線l過(guò)點(diǎn)A(1,0)且與B：x2y22x0相切于點(diǎn)D，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的雙曲線E過(guò)點(diǎn)D，一條漸近線平行于l，則E的方程為()A.1B.x21C.1D.1答案D解析直線l的斜率存在，可設(shè)直線方程為yk(x1)，B：x2y22x0的圓心為(1,0)，半徑為1，由相切可得圓心到直線的距離d1，即k，所以直線l的方程為y(x1)，故漸近線方程為yx，聯(lián)立直線l和圓的方程，解得x，y，即D，設(shè)雙曲線方程為y2x2m(m0)，代入點(diǎn)D，解得m，所以雙曲線方程為1.5.(2017全國(guó))若雙曲線C：1(a>0，b>0)的一條漸近線被圓(x2)2y24所截得的弦長(zhǎng)為2，則C的離心率為()A.2B.C.D.答案A解析設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為yx，圓的圓心為(2,0)，半徑為2，由弦長(zhǎng)為2，得出圓心到漸近線的距離為.根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，得，解得b23a2.所以C的離心率e2.故選A.6.(2018天津)已知雙曲線1(a0，b0)的離心率為2，過(guò)右焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn).設(shè)A，B到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為d1和d2，且d1d26，則雙曲線的方程為()A.1B.1C.1D.1答案C解析如圖，不妨設(shè)A在B的上方，則A，B.其中的一條漸近線為bxay0，則d1d22b6，b3.又由e2，知a2b24a2，a.雙曲線的方程為1.故選C.7.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓C：1(ab0)的左焦點(diǎn)，A，B分別為C的左、右頂點(diǎn).P為C上一點(diǎn)，且PFx軸.過(guò)點(diǎn)A的直線l與線段PF交于點(diǎn)M，與y軸交于點(diǎn)E.若直線BM經(jīng)過(guò)OE的中點(diǎn)，則C的離心率為()A.B.C.D.答案A解析設(shè)M(c，m)(m0)，則E，OE的中點(diǎn)為D，則D，又B，D，M三點(diǎn)共線，所以，a3c，所以e.8.設(shè)F1，F(xiàn)2分別為雙曲線1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，雙曲線上存在一點(diǎn)P使得|PF1|PF2|3b，|PF1|PF2|ab，則該雙曲線的離心率為()A.B.C.D.3答案B解析不妨設(shè)P為雙曲線右支上一點(diǎn)，|PF1|r1，|PF2|r2.根據(jù)雙曲線的定義，得r1r22a，又r1r23b，故r1，r2.又r1r2ab，所以ab，解得(負(fù)值舍去)，故e，故選B.9.若雙曲線x21的離心率為，則實(shí)數(shù)m_.答案2解析由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程知，a1，b2m，c，故雙曲線的離心率e，1m3，解得m2.10.(2017全國(guó))已知F是拋物線C：y28x的焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)，F(xiàn)M的延長(zhǎng)線交y軸于點(diǎn)N.若M為FN的中點(diǎn)，則|FN|_.答案6解析如圖，不妨設(shè)點(diǎn)M位于第一象限內(nèi)，拋物線C的準(zhǔn)線交x軸于點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)M作準(zhǔn)線的垂線，垂足為點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)P，PMOF.由題意知，F(xiàn)(2,0)，|FO|AO|2.點(diǎn)M為FN的中點(diǎn)，PMOF，|MP|FO|1.又|BP|AO|2，|MB|MP|BP|3.由拋物線的定義知|MF|MB|3，故|FN|2|MF|6.11.已知拋物線y22px(p>0)上的一點(diǎn)M(1，t)(t>0)到焦點(diǎn)的距離為5，雙曲線1(a>0)的左頂點(diǎn)為A，若雙曲線的一條漸近線與直線AM平行，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi).答案3解析由題意知15，p8.M(1,4)，由于雙曲線的左頂點(diǎn)A(a,0)，且直線AM平行于雙曲線的一條漸近線，則a3.12.已知橢圓C：1(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P是橢圓上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，若M是線段PF1上一點(diǎn)，且滿足2，0，則橢圓C的離心率的取值范圍為_(kāi).答案解析設(shè)P(x，y)(y0)，取MF1的中點(diǎn)N，由2知，解得點(diǎn)N，又0，所以，連接ON，由三角形的中位線可知，即(x，y)0，整理得(xc)2y2c2(y0)，所以點(diǎn)P的軌跡為以(c,0)為圓心，c為半徑的圓(去除兩點(diǎn)(0,0)，(2c,0)，要使得圓與橢圓有公共點(diǎn)，則acc，所以e，又0<e<1，所以橢圓的離心率的取值范圍為.