1 1課時(shí)作業(yè)43空間幾何體的表面積與體積一、選擇題1如圖是某一幾何體的三視圖，則這個(gè)幾何體的體積為()A4 B8C16 D20解析：由三視圖知，此幾何體是一個(gè)三棱錐，底面為一邊長(zhǎng)為6，高為2的三角形，三棱錐的高為4，所以體積為V××6×2×48.故選B.答案：B2(20xx·黃岡中學(xué)月考)某空間組合體的三視圖如圖所示，則該組合體的體積為()A48 B56C64 D72解析：該組合體由兩個(gè)棱柱組成，上面的棱柱體積為2×4×540，下面的棱柱體積為4×6×124，故組合體的體積為64.故選C.答案：C3以邊長(zhǎng)為1的正方形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將該正方形旋轉(zhuǎn)一周所得圓柱的側(cè)面積等于()A2 BC2 D1解析：以邊長(zhǎng)為1的正方形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周所得的圓柱的底面半徑為1，母線長(zhǎng)為1.故側(cè)面積為2r·l2·1·12.答案：A4如圖所示，已知三棱柱ABCA1B1C1的所有棱長(zhǎng)均為1，且AA1底面ABC，則三棱錐B1ABC1的體積為()A. B.C. D.解析：在ABC中，BC邊上的高為，即棱錐ABB1C1的高為，又SBB1C1，所以VB1ABC1VABB1C1××.答案：A5(20xx·江西九江一模)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形邊長(zhǎng)為1，粗線是一個(gè)棱錐的三視圖，則此棱錐的表面積為()A642 B84C66 D624解析：直觀圖是四棱錐PABCD，如圖所示，SPABSPADSPDC×2×22，SPBC×2×2×sin60°2，S四邊形ABCD2×24，因此所求棱錐的表面積為642.故選A.答案：A6(20xx·河南洛陽(yáng)測(cè)試)已知點(diǎn)A，B，C，D均在球O上，ABBC，AC3，若三棱錐DABC體積的最大值為，則球O的表面積為()A36 B16C12 D.解析：由題意可得，ABC，ABC的外接圓半徑r，當(dāng)三棱錐的體積取最大值時(shí)，VDABCSABC·h(h為點(diǎn)D到底面ABC的距離)··hh3，設(shè)R為球O的半徑，則(3R)2R2r2R2.故球O的表面積為4·2216.答案：B二、填空題7(20xx·北京卷)某四棱柱的三視圖如圖所示，則該四棱柱的體積為_(kāi)解析：通過(guò)俯視圖可知該四棱柱的底面為等腰梯形，則四棱柱的底面積S，通過(guò)側(cè)(左)視圖可知四棱柱的高h(yuǎn)1，所以該四棱柱的體積VSh.答案：8(20xx·浙江卷)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的表面積是_cm2，體積是_cm3.解析：將三視圖還原成直觀圖如圖所示，它由2個(gè)長(zhǎng)方體組合而成，其體積V2×2×2×432 cm3，表面積為6×2×46×2×272 cm2.答案：32729一個(gè)圓錐過(guò)軸的截面為等邊三角形，它的頂點(diǎn)和底面圓周在球O的球面上，則該圓錐的體積與球O的體積的比值為_(kāi)解析：設(shè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為2a，則V圓錐·a2·aa3；又R2a2(aR)2，所以Ra，故V球·3a3，則其體積比為.答案：三、解答題10一幾何體按比例繪制的三視圖如圖所示(單位：m)(1)試畫(huà)出它的直觀圖；(2)求它的表面積和體積解：解：(1)直觀圖如圖所示(2)由三視圖可知該幾何體是長(zhǎng)方體被截去一個(gè)三棱柱，且該幾何體的體積是以A1A，A1D1，A1B1為棱的長(zhǎng)方體的體積的，在直角梯形AA1B1B中，作BEA1B1于E，則四邊形AA1EB是正方形，AA1BE1，在RtBEB1中，BE1，EB11，所以BB1.所以幾何體的表面積SS正方形ABCDS矩形A1B1C1D12S梯形AA1B1BS矩形BB1C1CS正方形AA1D1D12×12××(12)×11×1(7)(m2)所以幾何體的體積V×1×2×1(m3)所以該幾何體的表面積為(7)m2，體積為m3.11(20xx·新課標(biāo)全國(guó)卷)如圖，四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M為線段AD上一點(diǎn)，AM2MD，N為PC的中點(diǎn)()證明MN平面PAB；()求四面體NBCM的體積解：()由已知得AMAD2.取BP的中點(diǎn)T，連接AT，TN，由N為PC的中點(diǎn)知TNBC，TNBC2.又ADBC，故TN綊AM，四邊形AMNT為平行四邊形，于是MNAT.因?yàn)锳T平面PAB，MN平面PAB，所以MN平面PAB.()因?yàn)镻A平面ABCD，N為PC的中點(diǎn)，所以N到平面ABCD的距離為PA.取BC的中點(diǎn)E，連接AE，由ABAC3得AEBC，AE.由AMBC得M到BC的距離為，故SBCM×4×2.所以四面體NBCM的體積VNBCM×SBCM×.1(20xx·新課標(biāo)全國(guó)卷)在封閉的直三棱柱ABCA1B1C1內(nèi)有一個(gè)體積為V的球，若ABBC，AB6，BC8，AA13，則V的最大值是()A4 B.C6 D.解析：由題意可得若V最大，則球與直三棱柱的部分面相切，若與三個(gè)側(cè)面都相切，可求得球的半徑為2，球的直徑為4，超過(guò)直三棱柱的高，所以這個(gè)球放不進(jìn)去，則球可與上下底面相切，此時(shí)球的半徑R，該球的體積最大，VmaxR3×.答案：B2(20xx·云南師范大學(xué)附屬中學(xué)高三適應(yīng)性考試)已知三棱錐OABC的頂點(diǎn)A，B，C都在半徑為2的球面上，O是球心，AOB120°，當(dāng)AOC與BOC的面積之和最大時(shí)，三棱錐OABC的體積為()A. B.C. D.解析：設(shè)球O的半徑為R，因?yàn)镾AOCSBOCR2(sinAOCsinBOC)，所以當(dāng)AOCBOC90°時(shí)，SAOCSBOC取得最大值，此時(shí)OAOC.OBOC，OBOAO，所以O(shè)C平面AOB，所以VOABCVCOABOC·OA·OBsinAOBR3sinAOB，故選B.答案：B3(20xx·浙江卷)如圖，在ABC中，ABBC2，ABC120°，若平面ABC外的點(diǎn)P和線段AC上的點(diǎn)D，滿足PDDA，PBBA，則四面體PBCD的體積的最大值是_解析：由ABBC2，ABC120°，可得AC2，要求四面體PBCD的體積，關(guān)鍵是尋找底面三角形BCD的面積SBCD和點(diǎn)P到平面BCD的距離h.易知h2.設(shè)ADx，則DPx，DC2x，SDBC×(2x)×2×sin30°，其中x(0,2)，且hx，所以VPBCD×SBCD×h×h·x()2，當(dāng)且僅當(dāng)2xx，即x時(shí)取等號(hào)故四面體PBCD的體積的最大值是.答案：4(20xx·江蘇卷)現(xiàn)需要設(shè)計(jì)一個(gè)倉(cāng)庫(kù)，它由上下兩部分組成，上部的形狀是正四棱錐PA1B1C1D1，下部的形狀是正四棱柱ABCDA1B1C1D1(如圖所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱錐的高PO1的4倍(1)若AB6 m，PO12 m，則倉(cāng)庫(kù)的容積是多少？(2)若正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為6 m，則當(dāng)PO1為多少時(shí)，倉(cāng)庫(kù)的容積最大？解：(1)由PO12知O1O4PO18.因?yàn)锳1B1AB6，所以正四棱錐PA1B1C1D1的體積V錐·A1B·PO1×62×224(m3)正四棱柱ABCDA1B1C1D1的體積V柱AB2·O1O62×8288(m3)所以倉(cāng)庫(kù)的容積VV錐V柱24288312(m3)(2)設(shè)A1B1a m，PO1h m，則0<h<6，O1O4h，如圖，連接O1B1.因?yàn)樵赗tPO1B1中，O1BPOPB，所以(a)2h236，即a22(36h2)于是倉(cāng)庫(kù)的容積VV柱V錐a2·4ha2·ha2h(36hh3)，0<h<6，從而V(363h2)26(12h2)令V0，得h2或h2(舍)當(dāng)0<h<2時(shí)，V>0，V是單調(diào)遞增函數(shù)；當(dāng)2<h<6時(shí)，V<0，V是單調(diào)遞減函數(shù)故h2時(shí)，V取得極大值，也是最大值因此，當(dāng)PO12 m時(shí)，倉(cāng)庫(kù)的容積最大