第8練正弦定理、余弦定理及應(yīng)用明晰考情1.命題角度：考查正弦定理、余弦定理和三角形面積公式，常與三角恒等變換相結(jié)合.2.題目難度：單獨考查正弦、余弦定理時，難度中檔偏下；和三角恒等變換交匯考查時，中檔難度.考點一正弦定理、余弦定理方法技巧(1)分析已知的邊角關(guān)系，合理設(shè)計邊角互化.(2)結(jié)合三角函數(shù)公式，三角形內(nèi)角和定理，大邊對大角等求出三角形的基本量.1.ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知a，c2，cosA，則b等于()A.B.C.2D.3答案D解析由余弦定理，得a2b2c22bccosA，即5b2222b2，解得b3，故選D.2.(2018全國)在ABC中，cos，BC1，AC5，則AB等于()A.4B.C.D.2答案A解析cos，cosC2cos21221.在ABC中，由余弦定理，得AB2AC2BC22ACBCcosC521225132，AB4.故選A.3.(2017全國)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若2bcosBacosCccosA，則B_.答案解析方法一由2bcosBacosCccosA及正弦定理，得2sinBcosBsinAcosCsinCcosA.2sinBcosBsin(AC).又ABC，ACB.2sinBcosBsin(B)sinB.又sinB0，cosB.又B(0，)，B.方法二在ABC中，由余弦定理，得acosCccosAacb，條件等式變?yōu)?bcosBb，cosB.又0B，B.4.在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a23b23c22bcsinA，則C_.答案解析由余弦定理，得a2b2c22bccosA，所以b2c22bccosA3b23c22bcsinA，sinAcosA，b，c>0，2sin2，當且僅當bc時，等號成立，因此bc，A，所以A，所以C.考點二與三角形的面積有關(guān)的問題要點重組三角形的面積公式(1)Sahabhbchc(ha，hb，hc分別表示a，b，c邊上的高).(2)SabsinCbcsinAcasinB.(3)Sr(abc)(r為ABC內(nèi)切圓的半徑).5.(2018全國)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若ABC的面積為，則C等于()A.B.C.D.答案C解析SabsinCabcosC，sinCcosC，即tanC1.又C(0，)，C.6.鈍角三角形ABC的面積是，AB1，BC，則AC等于()A.5B.C.2D.1答案B解析SABBCsinB1sinB，sinB，B或.當B時，根據(jù)余弦定理有AC2AB2BC22ABBCcosB1225，AC，此時ABC為鈍角三角形，符合題意；當B時，根據(jù)余弦定理有AC2AB2BC22ABBCcosB1221，AC1，此時AB2AC2BC2，ABC為直角三角形，不符合題意.故AC.7.(2018全國)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知bsinCcsinB4asinBsinC，b2c2a28，則ABC的面積為_.答案解析bsinCcsinB4asinBsinC，由正弦定理得sinBsinCsinCsinB4sinAsinBsinC.又sinBsinC0，sinA.由余弦定理得cosA0，cosA，bc，SABCbcsinA.8.在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知ABC的面積為3，bc2，cosA，則a的值為_.答案8解析cosA，A，sinA，SABCbcsinAbc3，bc24，又bc2，b22bcc24，b2c252.由余弦定理，得a2b2c22bccosA5222464，a8.考點三解三角形中的最值(范圍)問題方法技巧由余弦定理中含兩邊和的平方(如a2b22abcosCc2)且a2b22ab，因此在解三角形中，若涉及已知條件中含邊長之間的關(guān)系，且與面積有關(guān)的最值問題，一般利用SabsinC型面積公式及基本不等式求解，有時也用到三角函數(shù)的有界性.9.在ABC中，|3，則ABC的面積的最大值為()A.B.C.D.3答案B解析設(shè)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，|3，即bccosA3，a3，cosA11，cosA，0sinA，0tanA.ABC的面積SbcsinAtanA，故ABC面積的最大值為.10.已知a，b，c分別為ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊，其面積滿足SABCa2，則的最大值為()A.1B.C.1D.2答案C解析根據(jù)題意，有SABCa2bcsinA，即a22bcsinA.應(yīng)用余弦定理，可得b2c22bccosAa22bcsinA，令t，于是t212tcosA2tsinA.于是2tsinA2tcosAt21，所以2sint，從而t2，解得t的最大值為1.11.已知a，b，c分別是ABC內(nèi)角A，B，C的對邊，滿足cosAsinBsinCcosBsinAsinC2cosCsinAsinB，則C的最大值為_.答案解析由正弦定理，得bccosAaccosB2abcosC，由余弦定理，得bcac2ab，a2b22c2，cosC，當且僅當ab時，取等號.0<C<，0<C，C的最大值為.12.在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且acosBbcosAc，當tan(AB)取最大值時，角B的值為_.答案解析由acosBbcosAc及正弦定理，得sinAcosBsinBcosAsinCsin(AB)(sinAcosBcosAsinB)，整理得sinAcosB3cosAsinB，即tanA3tanB，易得tanA>0，tanB>0.所以tan(AB)，當且僅當3tanB，即tanB時，tan(AB)取得最大值，所以B.1.在ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且abc，a2b2c2，則角A的取值范圍是()A.B.C.D.答案C解析因為a2b2c2，所以cosA0，所以A為銳角.又因為abc，所以A為最大角，所以角A的取值范圍是.2.在ABC中，三內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，面積為S，若Sa2(bc)2，則cosA等于()A.B.C.D.答案D解析由Sa2(bc)2，得a2b2c22bc.由余弦定理，可得sinA1cosA，結(jié)合sin2Acos2A1，可得cosA.3.在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，記S為ABC的面積，若A60，b1，S，則c_，cosB_.答案3解析因為A60，b1，SbcsinA1c，解得c3.由余弦定理，可得a，所以cosB.解題秘籍(1)解三角形時要依據(jù)三角形的形狀及邊角大小正確處理多解問題.(2)對已知關(guān)系式進行轉(zhuǎn)化時，一定要等價變形，尤其注意式子兩邊不可隨意同除以同一個式子.1.在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a，b，B45，則角A等于()A.60B.120C.90D.60或120答案D解析由正弦定理可知，即2，所以sinA，因為a>b，所以A>45，所以A60或A120.故選D.2.在ABC中，若3，b2a2ac，則cosB的值為()A.B.C.D.答案D解析由題意知，c3a，b2a2acc22accosB，所以cosB.3.已知在ABC中，(abc)(sinAsinBsinC)asinB，其中A，B，C為ABC的內(nèi)角，a，b，c分別為A，B，C的對邊，則C等于()A.B.C.D.答案B解析因為(abc)(sinAsinBsinC)asinB，所以由正弦定理，可得(abc)(abc)ab，整理得c2a2b2ab，所以cosC，因為C(0，)，所以C.故選B.4.在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a1，2bc2acosC，sinC，則ABC的面積為()A.B.C.或D.或答案C解析因為2bc2acosC，所以由正弦定理可得2sinBsinC2sinAcosC，所以2sin(AC)sinC2sinAcosC.所以2cosAsinCsinC，又sinC0，所以cosA，因為A(0，180)，所以A30，因為sinC，所以C60或120.當C60時，A30，所以B90，又a1，所以ABC的面積為12；當C120時，A30，所以B30，又a1，所以ABC的面積為11，故選C.5.在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且tanB，則tanB等于()A.B.1C.2D.2答案D解析由余弦定理，得a2c2b22accosB，再由，得accosB，所以tanB2.故選D.6.(2017山東)在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若ABC為銳角三角形，且滿足sinB(12cosC)2sinAcosCcosAsinC，則下列等式成立的是()A.a2bB.b2aC.A2BD.B2A答案A解析等式右邊sinAcosC(sinAcosCcosAsinC)sinAcosCsin(AC)sinAcosCsinB，等式左邊sinB2sinBcosC，sinB2sinBcosCsinAcosCsinB.由cosC0，得sinA2sinB.根據(jù)正弦定理，得a2b.7.如圖所示，一學(xué)生在河岸緊靠河邊筆直行走，在A處時，經(jīng)觀察，在河對岸有一參照物C與學(xué)生前進方向成30角，學(xué)生前進200m后，測得該參照物與前進方向成75角，則河的寬度為()A.50(1)mB.100(1)mC.50mD.100m答案A解析在ABC中，BAC30，ACB753045，AB200，由正弦定理得BC100(m)，所以河的寬度為BCsin7510050(1)(m).8.如圖所示，某電力公司為保護一墻角處的電塔，計劃利用墻OA，OB，再修建一長度為AB的圍欄，圍欄的造價與AB的長度成正比.現(xiàn)已知墻角AOB120，當AOB的面積為時，就可起到保護作用.則當圍欄的造價最低時，ABO等于()A.30B.45C.60D.90答案A解析只要AB的長度最小，圍欄的造價就最低.設(shè)OAa，OBb，則由余弦定理得AB2a2b22abcos120a2b2ab2abab3ab(當且僅當ab時取等號)，又SAOBabsin120，所以ab4.故AB212，即AB的最小值為2.由ab及3ab12，得ab2.所以ABOBAO，故ABO30，故選A.9.在ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若c1，B45，cosA，則b_.答案解析因為cosA，所以sinA，所以sinCsin(AB)sin(AB)sinAcosBcosAsinBcos45sin45.由正弦定理，得bsin45.10.已知a，b，c分別為ABC的三個內(nèi)角A，B，C的對邊，a2，且(2b)(sinAsinB)(cb)sinC，則ABC面積的最大值為_.答案解析由正弦定理得(2b)(ab)c(cb)，即(ab)(ab)(cb)c，即b2c2a2bc，所以cosA，因為A(0，)，所以A.又b2c2a2bc2bc4，即bc4，故SABCbcsinA4，當且僅當bc2時，等號成立，則ABC面積的最大值為.11.在ABC中，BC30，ABAC1，點E是線段AB的中點，CE的中垂線交線段AC于點D，則AD_.答案解析如圖，設(shè)ADt，CE的中垂線交線段AC于點D，DECD1t.BC30，A120，又AE，在ADE中，由余弦定理，得DE2AE2AD22AEADcosA，即(1t)2t22t，化簡得t，t.12.在ABC中，三個內(nèi)角A，B，C對應(yīng)的邊分別為a，b，c，且c1，acosBbcosA2ccosC，設(shè)h是邊AB上的高，則h的最大值為_.答案解析由正弦定理及題意，得sinAcosBsinBcosA2sinCcosC，即sinC2sinCcosC，又sinC0，cosC，可解得sinC.又cosC，aba2b212ab1，即ab1，當且僅當ab時等號成立，SABCabsinC.又h是邊AB上的高，SABCchh，h，則h的最大值為.