4.解析幾何1.已知橢圓C：1(a>b>0)的離心率為，且C過點.(1)求橢圓C的方程；(2)若直線l與橢圓C交于P，Q兩點(點P，Q均在第一象限)，且直線OP，l，OQ的斜率成等比數(shù)列，證明：直線l的斜率為定值.(1)解由題意可得解得故橢圓C的方程為y21.(2)證明由題意可知直線l的斜率存在且不為0，設(shè)直線l的方程為ykxm(m0)，由消去y，整理得(14k2)x28kmx4(m21)0，直線l與橢圓交于兩點，64k2m216(14k2)(m21)16(4k2m21)>0.設(shè)點P，Q的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則x1x2，x1x2，y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2.直線OP，l，OQ的斜率成等比數(shù)列，k2，整理得km(x1x2)m20，m20，又m0，k2，結(jié)合圖象(圖略)可知k，故直線l的斜率為定值.2.已知拋物線：x22py(p>0)，直線y2與拋物線交于A，B(點B在點A的左側(cè))兩點，且|AB|4.(1)求拋物線在A，B兩點處的切線方程；(2)若直線l與拋物線交于M，N兩點，且MN的中點在線段AB上，MN的垂直平分線交y軸于點Q，求QMN面積的最大值.解(1)由x22py，令y2，得x2，所以44，解得p3，所以x26y，由y，得y，故y|x2.所以在A點的切線方程為y2(x2)，即2xy20，同理可得在B點的切線方程為2xy20.(2)由題意得直線l的斜率存在且不為0，故設(shè)l：ykxm，M(x1，y1)，N(x2，y2)，由x26y與ykxm聯(lián)立，得x26kx6m0，36k224m>0，所以x1x26k，x1x26m，故|MN|2.又y1y2k(x1x2)2m6k22m4，所以m23k2，所以|MN|2，由36k224m>0，得<k<且k0.因為MN的中點坐標(biāo)為(3k,2)，所以MN的垂直平分線方程為y2(x3k)，令x0，得y5，即Q(0,5)，所以點Q到直線kxy23k20的距離d3，所以SQMN233.令1k2u，則k2u1，則1<u<，故SQMN3.設(shè)f(u)u2(73u)，則f(u)14u9u2，結(jié)合1<u<，令f(u)>0，得1<u<；令f(u)<0，得<u<，所以當(dāng)u，即k時，(SQMN)max3.3.已知A，F(xiàn)分別是橢圓C：1(a>b>0)的左頂點、右焦點，點P為橢圓C上一動點，當(dāng)PFx軸時，|AF|2|PF|.(1)求橢圓C的離心率；(2)若橢圓C上存在點Q，使得四邊形AOPQ是平行四邊形(點P在第一象限)，求直線AP與OQ的斜率之積；(3)記圓O：x2y2為橢圓C的“關(guān)聯(lián)圓”.若b，過點P作橢圓C的“關(guān)聯(lián)圓”的兩條切線，切點為M，N，直線MN在x軸和y軸上的截距分別為m，n，求證：為定值.(1)解由PFx軸，知xPc，代入橢圓C的方程，得1，解得yP.又|AF|2|PF|，所以ac，所以a2ac2b2，即a22c2ac0，所以2e2e10，由0<e<1，解得e.(2)解因為四邊形AOPQ是平行四邊形，所以PQa且PQx軸，所以xP，代入橢圓C的方程，解得yPb，因為點P在第一象限，所以yPb，同理可得xQ，yQb，所以kAPkOQ，由(1)知e，得，所以kAPkOQ.(3)證明由(1)知e，又b，解得a2，所以橢圓C的方程為1，圓O的方程為x2y2.連接OM，ON(圖略)，由題意可知，OMPM，ONPN，所以四邊形OMPN的外接圓是以O(shè)P為直徑的圓，設(shè)P(x0，y0)，則四邊形OMPN的外接圓方程為22(xy)，即x2xx0y2yy00.，得直線MN的方程為xx0yy0，令y0，則m，令x0，則n.所以49，因為點P在橢圓C上，所以1，所以49(為定值).4.如圖，橢圓C：1(a>b>0)的右頂點為A(2,0)，左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過點A且斜率為的直線與y軸交于點P，與橢圓交于另一個點B，且點B在x軸上的射影恰好為點F1.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點P且斜率大于的直線與橢圓交于M，N兩點(|PM|>|PN|)，若SPAMSPBN，求實數(shù)的取值范圍.解(1)因為BF1x軸，得到點B，所以解得所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是1.(2)因為，所以(>2)，所以.由(1)可知P(0，1)，設(shè)MN方程為ykx1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，聯(lián)立得(4k23)x28kx80，>0恒成立，即得(*)又(x1，y11)，(x2，y21)，有x1x2，將x1x2代入(*)可得，.因為k>，所以(1,4)，則1<2<4且>2，即得4<<42.綜上所述，實數(shù)的取值范圍為(4,42).