2.9函數(shù)模型及其應(yīng)用A組基礎(chǔ)題組1.小明騎車上學(xué),開始時(shí)勻速行駛,途中因交通堵塞停留了一段時(shí)間,后來為了趕時(shí)間加快速度行駛.與以上事件吻合得最好的圖象是()答案C小明勻速運(yùn)動(dòng)時(shí),所得圖象為一條直線,且距離學(xué)校越來越近,故排除A.因交通堵塞停留了一段時(shí)間,與學(xué)校的距離不變,故排除D.后來為了趕時(shí)間加快速度行駛,故排除B.故選C.2.某工廠6年來生產(chǎn)某種產(chǎn)品的情況是:前3年年產(chǎn)量的增長速度越來越快,后3年的年產(chǎn)量保持不變,將該廠6年來這種產(chǎn)品的總產(chǎn)量C與時(shí)間t(年)的函數(shù)關(guān)系用圖象表示,正確的是()答案A依題意,前3年年產(chǎn)量的增長速度越來越快,說明總產(chǎn)量C的增長速度越來越快,只有選項(xiàng)A中的圖象符合要求,故選A.3.(2018臨沂模擬)某地區(qū)要建造一條防洪堤,其橫斷面為等腰梯形,腰與底邊夾角為60(如圖),考慮防洪堤堅(jiān)固性及石塊用料等因素,設(shè)計(jì)其橫斷面要求面積為93平方米,且高度不低于3米.記防洪堤橫斷面的腰長為x米,外周長(梯形的上底線段BC與兩腰長的和)為y米.要使防洪堤橫斷面的外周長不超過10.5米,則其腰長x的范圍為()A.2,4B.3,4C.2,5D.3,5答案B根據(jù)題意知,93=12(AD+BC)h,其中AD=BC+2x2=BC+x,h=32x,所以93=12(2BC+x)32x,得BC=18x-x2,由h=32x3,BC=18x-x2>0,得2x<6,所以y=BC+2x=18x+3x2(2x<6),由18x+3x210.5,解得3x4.因?yàn)?,42,6),所以腰長x的范圍是3,4.4.加工爆米花時(shí),爆開且不煳的粒數(shù)占加工總粒數(shù)的百分比稱為“可食用率”.在特定條件下,可食用率p與加工時(shí)間t(單位:分鐘)滿足函數(shù)關(guān)系p=at2+bt+c(a,b,c是常數(shù)),下圖記錄了三次實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù).根據(jù)上述函數(shù)模型和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),可以得到最佳加工時(shí)間為() A.3.50分鐘B.3.75分鐘C.4.00分鐘D.4.25分鐘答案B由已知得9a+3b+c=0.7,16a+4b+c=0.8,25a+5b+c=0.5,解得a=-0.2,b=1.5,c=-2,p=-0.2t2+1.5t-2=-15t-1542+1316,當(dāng)t=154=3.75時(shí)p最大,即最佳加工時(shí)間為3.75分鐘.故選B.5.某校甲、乙兩食堂某年1月份的營業(yè)額相等,甲食堂的營業(yè)額逐月增加,并且每月的增加值相同;乙食堂的營業(yè)額也逐月增加,且每月增加的百分率相同.已知該年9月份兩食堂的營業(yè)額又相等,則該年5月份()A.甲食堂的營業(yè)額較高B.乙食堂的營業(yè)額較高C.甲、乙兩食堂的營業(yè)額相同D.不能確定甲、乙哪個(gè)食堂的營業(yè)額較高答案A設(shè)甲、乙兩食堂1月份的營業(yè)額均為m,甲食堂的營業(yè)額每月增加a(a>0),乙食堂的營業(yè)額每月增加的百分率為x(x>0),由題意可得,m+8a=m(1+x)8,則5月份甲食堂的營業(yè)額y1=m+4a,乙食堂的營業(yè)額y2=m(1+x)4=m(m+8a),因?yàn)閥12-y22=(m+4a)2-m(m+8a)=16a2>0,所以y1>y2,故5月份甲食堂的營業(yè)額較高.6.調(diào)查表明,酒后駕駛是導(dǎo)致交通事故的重要原因,交通法規(guī)規(guī)定,駕駛員在駕駛機(jī)動(dòng)車時(shí)血液中酒精含量不得超過0.2mg/mL.某人喝酒后,其血液中酒精含量將上升到3mg/mL,在停止喝酒后,血液中酒精含量以每小時(shí)50%的速度減少,則至少經(jīng)過小時(shí)他才可以駕駛機(jī)動(dòng)車.(精確到小時(shí))答案4解析設(shè)n小時(shí)后他可以駕駛機(jī)動(dòng)車,由題意得3(1-0.5)n0.2,即2n15,故至少經(jīng)過4小時(shí)他才可以駕駛機(jī)動(dòng)車. 7.A、B兩艘船分別從東西方向上相距145km的甲、乙兩地開出.A船從甲地自東向西行駛,B船從乙地自北向南行駛,A船的速度是40km/h,B船的速度是16km/h,經(jīng)過h,A、B兩艘船之間的距離最短.答案258解析設(shè)經(jīng)過xh,A、B兩艘船之間的距離為ykm,由題意可得y=(145-40x)2+(16x)2=29(64x2-400x+725),易知當(dāng)x=-400264=258時(shí),y取得最小值,即A、B兩艘船之間的距離最短.8.(2018杭州八校聯(lián)考)一艘輪船在勻速行駛過程中每小時(shí)的燃料費(fèi)與速度v的平方成正比,且比例系數(shù)為k,除燃料費(fèi)外其他費(fèi)用為每小時(shí)96元.當(dāng)速度為10海里/時(shí)時(shí),每小時(shí)的燃料費(fèi)是6元.若勻速行駛10海里,則當(dāng)這艘輪船的速度為海里/時(shí)時(shí),總費(fèi)用最小.答案40解析設(shè)每小時(shí)的總費(fèi)用為y元,行駛10海里的總費(fèi)用為W元,則y=kv2+96,又當(dāng)v=10時(shí),k102=6,解得k=0.06,所以y=0.06v2+96,又勻速行駛10海里所用的時(shí)間為10v小時(shí),故W=10vy=10v(0.06v2+96)=0.6v+960v20.6v960v=48,當(dāng)且僅當(dāng)0.6v=960v,即v=40時(shí)等號(hào)成立.故總費(fèi)用最小時(shí)輪船的速度為40海里/時(shí).9.某食品的保鮮時(shí)間y(單位:小時(shí))與儲(chǔ)藏溫度x(單位:)滿足函數(shù)關(guān)系y=ekx+b(e=2.718為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),k,b為常數(shù)).若該食品在0的保鮮時(shí)間是192小時(shí),在22的保鮮時(shí)間是48小時(shí),則該食品在33的保鮮時(shí)間是小時(shí).答案24解析依題意有192=eb,48=e22k+b=e22keb,所以e22k=48eb=48192=14,所以e11k=12或-12(舍去),于是該食品在33的保鮮時(shí)間是e33k+b=(e11k)3eb=123192=24(小時(shí)).10.某地上年度電價(jià)為0.8元,年用電量為1億千瓦時(shí).本年度計(jì)劃將電價(jià)調(diào)至0.55元0.75元之間(包含0.55元和0.75元),經(jīng)測(cè)算,若電價(jià)調(diào)至x元,則本年度新增用電量y(億千瓦時(shí))與(x-0.4)(元)成反比.又當(dāng)x=0.65時(shí),y=0.8.(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;(2)若每千瓦時(shí)電的成本為0.3元,則電價(jià)調(diào)至多少時(shí),本年度電力部門的收益將比上年增加20%?收益=用電量(實(shí)際電價(jià)-成本價(jià))解析(1)因?yàn)閥與(x-0.4)成反比,所以可設(shè)y=kx-0.4(k0),把x=0.65,y=0.8代入上式得0.8=k0.65-0.4,解得k=0.2,所以y=0.2x-0.4=15x-2,則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=15x-2(0.55x0.75).(2)根據(jù)題意,得1+15x-2(x-0.3)=1(0.8-0.3)(1+20%),整理得x2-1.1x+0.3=0.解得x1=0.5,x2=0.6,因?yàn)閤的取值范圍是0.55,0.75,所以x=0.5不符合題意,舍去,則x=0.6,所以當(dāng)電價(jià)調(diào)至0.6元時(shí),本年度電力部門的收益將比上年增加20%.11.某山區(qū)外圍有兩條相互垂直的直線型公路,為進(jìn)一步改善山區(qū)的交通現(xiàn)狀,計(jì)劃修建一條連接兩條公路和山區(qū)邊界的直線型公路,記兩條相互垂直的公路為l1,l2,山區(qū)邊界曲線為C,計(jì)劃修建的公路為l,如圖所示,M,N為C的兩個(gè)端點(diǎn),測(cè)得點(diǎn)M到l1,l2的距離分別為5千米和40千米,點(diǎn)N到l1,l2的距離分別為20千米和2.5千米,以l2,l1所在的直線分別為x,y軸,建立平面直角坐標(biāo)系xOy,假設(shè)曲線C符合函數(shù)y=ax2+b(其中a,b為常數(shù))模型.(1)求a,b的值;(2)設(shè)公路l與曲線C相切于P點(diǎn),P的橫坐標(biāo)為t.請(qǐng)寫出公路l長度的函數(shù)解析式f(t),并寫出其定義域;當(dāng)t為何值時(shí),公路l的長度最短?求出最短長度.解析(1)由題意知,點(diǎn)M,N的坐標(biāo)分別為(5,40),(20,2.5).將其分別代入y=ax2+b,得a25+b=40,a400+b=2.5,解得a=1000,b=0.(2)由(1)知,y=1000x2(5x20),則點(diǎn)P的坐標(biāo)為t,1000t2,y=-2000x3,設(shè)在點(diǎn)P處的切線l交x,y軸分別于A,B點(diǎn),l的方程為y-1000t2=-2000t3(x-t),由此得A3t2,0,B0,3000t2.故f(t)=3t22+3000t22=32t2+4106t4,t5,20.設(shè)g(t)=t2+4106t4,則g(t)=2t-16106t5.令g(t)=0,解得t=102.當(dāng)t(5,102)時(shí),g(t)<0,g(t)是減函數(shù);當(dāng)t(102,20)時(shí),g(t)>0,g(t)是增函數(shù).從而,當(dāng)t=102時(shí),函數(shù)g(t)有極小值,也是最小值,所以g(t)min=300,此時(shí)f(t)min=153.答:當(dāng)t=102時(shí),公路l的長度最短,最短長度為153千米.B組提升題組1.某市生產(chǎn)總值連續(xù)兩年持續(xù)增加,第一年的增長率為p,第二年的增長率為q,則該市這兩年生產(chǎn)總值的年平均增長率為() A.p+q2B.(p+1)(q+1)-12C.pqD.(p+1)(q+1)-1答案D設(shè)兩年前的年底該市的生產(chǎn)總值為a,則第二年年底的生產(chǎn)總值為a(1+p)(1+q).設(shè)這兩年生產(chǎn)總值的年平均增長率為x,則a(1+x)2=a(1+p)(1+q),由于連續(xù)兩年持續(xù)增加,所以x>0,所以x=(1+p)(1+q)-1,故選D.2.某鄉(xiāng)鎮(zhèn)現(xiàn)在人均一年占有糧食360千克,如果該鄉(xiāng)鎮(zhèn)人口平均每年增長1.2%,糧食總產(chǎn)量平均每年增長4%,那么x年后若人均一年占有y千克糧食,則y關(guān)于x的解析式為()A.y=3601.041.012x-1B.y=3601.04xC.y=3601.04x1.012D.y=3601.041.012x答案D設(shè)該鄉(xiāng)鎮(zhèn)現(xiàn)在人口總量為M,則該鄉(xiāng)鎮(zhèn)現(xiàn)在一年的糧食總產(chǎn)量為360M千克,1年后,該鄉(xiāng)鎮(zhèn)糧食總產(chǎn)量為360M(1+4%)千克,人口總量為 M(1+1.2%),則人均占有糧食360M(1+4%)M(1+1.2%)千克,2年后,人均占有糧食360M(1+4%)2M(1+1.2%)2千克,x年后,人均占有糧食360M(1+4%)xM(1+1.2%)x千克,即所求解析式為y=3601.041.012x.3.汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程,下圖描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下的燃油效率情況.下列敘述中正確的是()A.消耗1升汽油,乙車最多可行駛5千米B.以相同速度行駛相同路程,三輛車中,甲車消耗汽油最多C.甲車以80km/h的速度行駛1小時(shí),消耗10升汽油D.某城市機(jī)動(dòng)車最高限速80km/h.相同條件下,在該市用丙車比用乙車更省油答案D對(duì)于A選項(xiàng):由題圖可知,當(dāng)乙車速度大于40km/h時(shí),乙車每消耗1升汽油,行駛里程都超過5km,則A錯(cuò);對(duì)于B選項(xiàng):由題意可知,以相同速度行駛相同路程,燃油效率越高,耗油越少,故三輛車中甲車耗油最少,則B錯(cuò);對(duì)于C選項(xiàng):甲車以80km/h的速度行駛時(shí),燃油效率為10km/L,則行駛1小時(shí),消耗了汽油80110=8(L),則C錯(cuò);對(duì)于D選項(xiàng):當(dāng)行駛速度小于80km/h時(shí),在相同條件下,丙車的燃油效率高于乙車,則在該市用丙車比用乙車更省油,則D對(duì).綜上,選D.4.某公司為了實(shí)現(xiàn)1000萬元銷售利潤的目標(biāo),準(zhǔn)備制訂一個(gè)激勵(lì)銷售人員的獎(jiǎng)勵(lì)方案:在銷售利潤達(dá)到10萬元時(shí),按照銷售利潤進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì),且獎(jiǎng)金y(單位:萬元)隨銷售利潤x(單位:萬元)的增加而增加,但獎(jiǎng)金不超過5萬元,同時(shí)獎(jiǎng)金不超過銷售利潤的25%,則下列函數(shù)最符合要求的是()A.y=14xB.y=lgx+1C.y=32xD.y=x答案B由題意知,x10,1000,符合公司要求的模型需同時(shí)滿足:函數(shù)為增函數(shù);函數(shù)的最大值不超過5;yx25%.對(duì)于y=14x,易知滿足,但當(dāng)x>20時(shí),y>5,不滿足要求;對(duì)于y=32x,易知滿足,因?yàn)?24>5,故當(dāng)x>4時(shí),不滿足要求;對(duì)于y=x,易知滿足,但當(dāng)x>25時(shí),y>5,不滿足要求;對(duì)于y=lgx+1,易知滿足,當(dāng)x10,1000時(shí),2y4,滿足,再證明lgx+1x25%,即4lgx+4-x0,設(shè)F(x)=4lgx+4-x,則F(x)=4xln10-1<0,x10,1000,所以F(x)為減函數(shù),f(x)max=F(10)=4lg10+4-10=-2<0,滿足,故選B. 5.(2019湯溪中學(xué)月考)某遠(yuǎn)程教育網(wǎng)推出兩種上網(wǎng)學(xué)習(xí)卡收取傭金的方案:A方案是先收取20元學(xué)習(xí)傭金,再按上網(wǎng)學(xué)習(xí)的累計(jì)時(shí)間收取傭金,B方案是直接按上網(wǎng)學(xué)習(xí)的累計(jì)時(shí)間收取傭金.已知一個(gè)月的學(xué)習(xí)累計(jì)時(shí)間t(小時(shí))與上網(wǎng)費(fèi)用s(元)的函數(shù)關(guān)系如圖所示,則當(dāng)累計(jì)學(xué)習(xí)150小時(shí)時(shí),這兩種方案收取的傭金相差元.答案10解析設(shè)A方案對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為s1=k1t+20,B方案對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為s2=k2t,當(dāng)t=100時(shí),100k1+20=100k2,k2-k1=15,當(dāng)t=150時(shí),150k2-150k1-20=15015-20=10.6.(2018遼寧撫順模擬)食品安全問題越來越引起人們的重視,農(nóng)藥、化肥的濫用給人民群眾的健康帶來了一定的危害,為了給消費(fèi)者帶來放心的蔬菜,某農(nóng)村合作社每年投入200萬元,搭建了甲、乙兩個(gè)無公害蔬菜大棚,每個(gè)大棚至少要投入20萬元,其中甲大棚種西紅柿,乙大棚種黃瓜,根據(jù)以往的種菜經(jīng)驗(yàn),發(fā)現(xiàn)種西紅柿的年收入P(單位:萬元)、種黃瓜的年收入Q(單位:萬元)與投入a(單位:萬元)滿足P=80+42a,Q=14a+120,設(shè)甲大棚的投入為x(單位:萬元),每年兩個(gè)大棚的總收益為f(x)(單位:萬元).(1)求f(50)的值;(2)如何安排甲、乙兩個(gè)大棚的投入,才能使總收益f(x)最大?解析(1)甲大棚投入了50萬元,乙大棚投入了150萬元,f(50)=80+4250+14150+120=277.5.(2)f(x)=80+42x+14(200-x)+120=-14x+42x+250,依題意得x20,200-x2020x180,故f(x)=-14x+42x+250(20x180).令t=x,則t25,65,f(t)=-14t2+42t+250=-14(t-82)2+282,當(dāng)t=82,即x=128時(shí),f(x)max=282.所以甲大棚投入128萬元,乙大棚投入72萬元時(shí),總收益最大,且最大收益為282萬元.