2.立體幾何1如圖，已知正方形ADEF與梯形ABCD所在平面互相垂直，點M在線段ED上，ADCD，ABCD，ABADCD1.(1)當(dāng)M為線段ED的中點時，求證：AM平面BEC；(2)求直線DE與平面BEC所成角的正弦值(1)證明取EC的中點N，連接MN，BN，如圖在EDC中，M，N分別為ED，EC的中點，所以MNCD，且MNCD.又ABCD，ABCD，所以MNAB，且MNAB.由此可知四邊形ABNM為平行四邊形，所以BNAM，又BN平面BEC，且AM平面BEC，所以AM平面BEC.(2)解在正方形ADEF中，EDAD，因為平面ADEF平面ABCD，且平面ADEF平面ABCDAD，所以ED平面ABCD，而BC平面ABCD，所以EDBC.在直角梯形ABCD中，ABAD1，CD2，易得BC，連接BD，在BCD中，BDBC，CD2，所以BD2BC2CD2，所以BCBD，又BDEDD，BD，ED平面BDE，所以BC平面BDE，而BC平面BCE，所以平面BDE平面BCE.過點D作DHEB，交EB于點H，則DH平面BCE，所以DEH為直線DE與平面BEC所成的角在RtBDE中，BE，SBDEBDDEBEDH，所以DH，所以sinDEH.所以直線DE與平面BEC所成角的正弦值為.2如圖，在所有棱長均相等的直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E，F(xiàn)分別是棱AA1，CC1，AB的中點(1)證明：BE平面CDF；(2)求直線EF與平面CDF所成角的正弦值(1)證明方法一連接AE交CD于G，連接GF，如圖1.因為D，E分別是棱AA1，CC1的中點，所以G是AE的中點在ABE中，GF是中位線，所以GFBE.又GF平面CDF，BE平面CDF.所以BE平面CDF.圖1圖2方法二連接A1B，A1E，如圖2.在A1AB中，DF是中位線，所以DFA1B.又A1B平面CDF，DF平面CDF，所以A1B平面CDF.因為D，E分別是棱AA1，CC1的中點，所以A1DCE，且A1DCE，所以四邊形A1ECD是平行四邊形，故A1ECD.又A1E平面CDF，CD平面CDF，所以A1E平面CDF.又A1BA1EA1，所以平面A1BE平面CDF，又BE平面A1BE，所以BE平面CDF.(2)解方法一如圖2，連接AB1，因為四邊形AA1B1B是正方形，所以A1BAB1.又DFA1B，所以AB1DF.因為ABC是正三角形，F(xiàn)是AB的中點，所以CFAB.又平面AA1B1B平面ABC，平面AA1B1B平面ABCAB，CF平面ABC，所以CF平面AA1B1B.而AB1平面AA1B1B，所以CFAB1，又DFCFF，且DF，CF平面CDF，所以AB1平面CDF.取BB1的中點H，連接HF，HE，則HFAB1，HF平面CDF.所以EFH是直線EF與平面CDF所成角的余角設(shè)直三棱柱ABCA1B1C1的棱長為2，則在EFH中，F(xiàn)H，EHEF2.所以cosEFH.故直線EF與平面CDF所成角的正弦值為.方法二以點F為坐標(biāo)原點，BF，CF所在直線分別為x軸，y軸建立如圖3所示的空間直角坐標(biāo)系設(shè)直三棱柱ABCA1B1C1的棱長為2，則F(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0，0)，D(1,0,1)，E(0，1)圖3所以(0，0)，(1,0,1)設(shè)平面CDF的法向量為n(x，y，z)，則所以則n(1,0,1)為平面CDF的一個法向量，又(0，1)所以cos，n.故直線EF與平面CDF所成角的正弦值為.3如圖，在四面體ABCD中，O是BD的中點，CACBCDBD2，ABAD，連接AO.(1)求證：AO平面BCD；(2)求直線AB與平面ACD所成角的余弦值(1)證明如圖，連接OC，因為ABAD，O是線段BD的中點，所以AOBD，同理可得COBD.又在ABD中，ABAD，BD2，所以AO1，在BCD中，CBCDBD2，所以CO，又AC2，所以AO2OC2AC2，所以AOC90，即AOOC.又OCBDO，OC，BD平面BCD，所以AO平面BCD.(2)解方法一如圖，過點B作BM平面ACD于點M，連接AM，則BAM為直線AB與平面ACD所成的角，由VABCDVBACD，可得AOSBCDBMSACD，因為AO1，SBCD2，SACD，所以BM.在RtAMB中，AM.所以cosBAM.所以直線AB與平面ACD所成角的余弦值為.方法二以O(shè)為坐標(biāo)原點，OB，OC，OA所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則B(1,0,0)，D(1,0,0)，C(0，0)，A(0,0,1)所以(1,0，1)，(0，1)，設(shè)平面ACD的法向量為n(x，y，z)，則所以令y1，得n(，1，)是平面ACD的一個法向量又(1,0，1)，所以cosn，故直線AB與平面ACD所成角的余弦值為.4在如圖所示的直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分別是BC，A1B1的中點(1)求證：DE平面ACC1A1；(2)若ABBC，ABBC，ACB160，求直線BC與平面AB1C所成角的正切值(1)證明取AB中點F，連接DF，EF.在ABC中，因為D，F(xiàn)分別為BC，AB的中點，所以DFAC，又DF平面ACC1A1，AC平面ACC1A1，所以DF平面ACC1A1.在矩形ABB1A1中，因為E，F(xiàn)分別為A1B1，AB的中點，所以EFAA1，又EF平面ACC1A1，AA1平面ACC1A1，所以EF平面ACC1A1.因為DFEFF，所以平面DEF平面ACC1A1.因為DE平面DEF，故DE平面ACC1A1.(2)解因為三棱柱ABCA1B1C1為直三棱柱，所以BCBB1，又ABBC，ABBB1B，所以BC平面ABB1A1.因為ABBC，BB1BB1，所以ABB1CBB1，AB1CB1，又ACB160，所以AB1C為正三角形，所以AB1ACAB，所以BB1AB.取AB1的中點O，連接BO，CO，所以AB1BO，AB1CO，所以AB1平面BCO，所以平面AB1C平面BCO，點B在平面AB1C上的射影在CO上，所以BCO即為直線BC與平面AB1C所成的角在RtBCO中，BOABBC，所以tanBCO.5如圖，在三棱錐DABC中，DADBDC，點D在底面ABC上的射影為點E，ABBC，DFAB于點F.(1)求證：平面ABD平面DEF；(2)若ADDC，AC4，BAC60，求直線BE與平面DAB所成角的正弦值(1)證明如圖，由題意知DE平面ABC，所以ABDE，又ABDF，DEDFD，DE，DF平面DEF，所以AB平面DEF，又AB平面ABD，所以平面ABD平面DEF.(2)解方法一由DADBDC知EAEBEC，所以E是ABC的外心又ABBC，所以E為AC的中點過點E作EHDF于點H，則由(1)知EH平面DAB，所以EBH即為BE與平面DAB所成的角由AC4，BAC60得BEDE2，EF，所以DF，EH，所以sinEBH.方法二如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0，2,0)，D(0,0,2)，B(，1,0)，所以(0，2，2)，(，1，2)，(，1,0)，設(shè)平面DAB的法向量為n(x，y，z)，由得取n.設(shè)與n的夾角為，所以cos，所以BE與平面DAB所成角的正弦值為.6如圖，在矩形ABCD中，已知AB2，AD4，點E，F(xiàn)分別在AD，BC上，且AE1，BF3，將四邊形AEFB沿EF折起，使點B在平面CDEF上的射影H在直線DE上(1)求證：CDBE；(2)求線段BH的長度；(3)求直線AF與平面EFCD所成角的正弦值(1)證明BH平面CDEF，CD平面CDEF，BHCD，又CDDE，BHDEH，BH，DE平面DBE，CD平面DBE，又BE平面DBE，CDBE.方法一(2)解設(shè)BHh，EHk，過F作FG垂直ED于點G，連接FH，BE.線段BE，BF在翻折過程中長度不變，根據(jù)勾股定理得即解得線段BH的長度為2.(3)解延長BA交EF于點M，AEBFMAMB13，點A到平面EFCD的距離為點B到平面EFCD距離的，點A到平面EFCD的距離為，而AF，設(shè)AF與平面EFCD所成角為，直線AF與平面EFCD所成角的正弦值為sin.方法二(2)解如圖，過點E作ERDC，過點E作ES平面EFCD，分別以ER，ED，ES為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點B(0，y，z)(y0，z0)，由于F(2,2,0)，BE，BF3，解得于是B(0,1,2)，線段BH的長度為2.(3)解從而(2，1,2)，故，設(shè)平面EFCD的一個法向量為n(0,0,1)，直線AF與平面EFCD所成角的大小為，則sin.