為了檢查產(chǎn)品質(zhì)量是否合格，工廠里通常使用各種檢驗儀器，為了辨別鈔票的真?zhèn)?，銀行里常常使用驗鈔機(jī)，類似地，在解一元二次方程有關(guān)問題時，最好能知道根的特性：如是否有實數(shù)根，有幾個實數(shù)根，根的符號特點等我們形象地說，判別式是一元二次方程根的“檢測器”，在以下方面有著廣泛的應(yīng)用： 利用判別式，判定方程實根的個數(shù)、根的特性； 運用判別式，建立等式、不等式，求方程中參數(shù)或參數(shù)的取值范圍； 通過判別式，證明與方程相關(guān)的代數(shù)問題； 借助判別式，運用一元二次方程必定有解的代數(shù)模型，解幾何存在性問題、最值問題【例題求解】【例1】 已知關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，那么的取值范圍是 (廣西中考題)思路點撥 利用判別式建立關(guān)于的不等式組，注意、的隱含制約注：運用判別式解題，需要注意的是： (1)解含參數(shù)的二次方程，必須注意二次項系數(shù)不為0的隱含制約； (2)在解涉及多個二次方程的問題時，需在整體方法、降次消元等方法思想的引導(dǎo)下，綜合運用方程、不等式的知識【例2】 已知三個關(guān)于的方程：，和，若其中至少有兩個方程有實根，則實數(shù)的取值范圍是( ) A B或 C D（山東省競賽題）思路點撥 “至少有兩個方程有實根”有多種情形，從分類討論人手，解關(guān)于的不等式組，綜合判斷選擇【例3】 已知關(guān)于的方程， (1)求證：無論取任何實數(shù)值，方程總有實數(shù)根； (2)若等腰三角形ABC的一邊長1，另兩邊長、c恰好是這個方程的兩個根，求ABC的周長 (湖北省荊門市中考題)思路點撥 對于(1)只需證明0；對于(2)由于未指明底與腰，須分或、中有一個與c相等兩種情況討論，運用判別式、根的定義求出、的值注：（1）涉及等腰三角形的考題，需要分類求解，這是命題設(shè)計的一個熱點，但不一定每個這類題均有多解，還須結(jié)合三角形三邊關(guān)系定理予以取舍 （2）運用根的判別式討論方程根的個數(shù)為人所熟悉，而組合多個判別式討論方程多個根(三個以上)是近年中考，競賽依托判別式的創(chuàng)新題型，解這類問題常用到換元、分類討論等思想方法【例4】 設(shè)方程，只有3個不相等的實數(shù)根，求的值和相應(yīng)的3個根 (重慶市競賽題)思路點撥 去掉絕對值符號，原方程可化為兩個一元二次方程原方程只有3個不相等的實數(shù)根，則其中一個判別式大于零，另一個判別式等于零【例5】已知：如圖，矩形ABCD中，AD，DC，在 AB上找一點E，使E點與C、D的連線將此矩形分成的三個三角形相似，設(shè)AE，問：這樣的點E是否存在?若存在， 這樣的點E有幾個?請說明理由 (云南省中考題) 思路點撥 要使RtADE、RtBEC、RtECD彼此相似，點E必須滿足AED+BEC90°，為此，可設(shè)在AE上存在滿足條件的點E使得RtADERtBEC，建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型，通過判別式討論點E的存在與否及存在的個數(shù) 注：有些與一元二次方程表面無關(guān)的問題，可通過構(gòu)造方程為判別式的運用鋪平道路，常見的構(gòu)造方法有： (1)利用根的定義構(gòu)造； (2)利用根與系數(shù)關(guān)系構(gòu)造； (3)確定主元構(gòu)造學(xué)力訓(xùn)練1已知，若方程有兩個相等的實數(shù)根，則= 2若關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)根，則的取值范圍是 (遼寧省中考題)3已知關(guān)于方程有兩個不相等的實數(shù)解，化簡= 4若關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則的取值范圍是( ) A B C且 D且(山西省中考題)5已知一直角三角形的三邊為、，B90°，那么關(guān)于的方程的根的情況為( ) A有兩個相等的實數(shù)根 B沒有實數(shù)根 C有兩個不相等的實數(shù)根 D無法確定 (河南省中考題)6如果關(guān)于的方程只有一個實數(shù)根，那么方程的根的情況是( ) A沒有實數(shù)根 B有兩個不相等的實數(shù)根 C有兩個相等的實數(shù)根 D只有一個實數(shù)根 (2003年河南省中考題)7在等腰三角形ABC中， A、B、C的對邊分別為、，已知，和是 關(guān)于的方程的兩個實數(shù)根，求ABC的周長 (濟(jì)南市中考題)8已知關(guān)于的方程 (1)求證：無論m取什么實數(shù)，方程總有實數(shù)根； (2)如果方程的兩實根分別為、，滿足=3，求實數(shù)的值 (鹽城市中考題)9、為實數(shù)，關(guān)于的方程有三個不等的實數(shù)根(1)求證：；(2)若該方程的三個不等實根，恰為一個三角形三內(nèi)角的度數(shù)，求證該三角形必有一個內(nèi)角是60°；(3)若該方程的三個不等實根恰為一直角三角形的三條邊，求和的值 (江蘇省蘇州市中考題)10關(guān)于的兩個方程，中至少有一個方程有實根，則m的取值范圍是 (2002年四川省競賽題)11當(dāng)= ，= 時，方程有實數(shù)根 (全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)12若方程有且只有相異二實根，則的取值范圍是 13如果關(guān)于的方程沒有實數(shù)根，那么關(guān)于的方程的實根的個數(shù)( ) A2 B1 C0 D不能確定14已知一元二次方程，且、可在1、2、3、4、5中取值，則在這些方程中有實數(shù)根的方程共有( ) A12個 B10個 C 7個 D5個 (河南省中考題)15已知ABC的三邊長為a、b、c，且滿足方程，則方程根的情況是( ) A有兩相等實根 B有兩相異實根 C無實根 D不能確定 (河北省競賽題)16若a、b、c、d>0，證明：在方程；中，至少有兩個方程有兩個不相等的實數(shù)根 (湖北省黃岡市競賽題)17已知三個實數(shù)a、b、c滿足，abc1，求證：a、b、c中至少有一個大于·18關(guān)于的方程有有理根，求整數(shù)是的值 (山東省競賽題) 19考慮方程(1)若=24，求一個實數(shù)，使得恰有3個不同的實數(shù)滿足式(2)若25，是否存在實數(shù)，使得恰有3個不同的實數(shù)滿足式?說明你的結(jié)論(國家理科實驗班招生試題)20如圖，已知邊長為的正方形ABCD內(nèi)接于邊長為的正方形EFGH，試求的取值范圍參考答案 最新精品語文資料