考點(diǎn)規(guī)范練35　數(shù)學(xué)歸納法 基礎(chǔ)鞏固組 1.用數(shù)學(xué)歸納法證明2n>2n+1,n的第一個(gè)取值應(yīng)是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.1 B.2 C.3 D.4 答案C 解析當(dāng)n=1時(shí),21=2,21+1=3,2n>2n+1不成立; 當(dāng)n=2時(shí),22=4,22+1=5,2n>2n+1不成立; 當(dāng)n=3時(shí),23=8,23+1=7,2n>2n+1成立. 故n的第一個(gè)取值應(yīng)是3. 2.已知f(n)=1n+1n+1+1n+2+…+1n2,則(　　) A.f(n)中共有n項(xiàng),當(dāng)n=2時(shí),f(2)=12+13 B.f(n)中共有n+1項(xiàng),當(dāng)n=2時(shí),f(2)=12+13 C.f(n)中共有n2-n項(xiàng),當(dāng)n=2時(shí),f(2)=12+13 D.f(n)中共有n2-n+1項(xiàng),當(dāng)n=2時(shí),f(2)=12+13+14 答案D 解析總項(xiàng)數(shù)為n2-(n-1),f(2)=12+13+14.故選D. 3.用數(shù)學(xué)歸納法證明“1+a+a2+…+an+1=1-an+21-a(a≠1,n∈N*)”,在驗(yàn)證n=1時(shí),左端計(jì)算所得的結(jié)果是(　　) A.1 B.1+a C.1+a+a2 D.1+a+a2+a3 答案C 解析當(dāng)n=1時(shí),左邊=1+a+a2.故選C. 4.某個(gè)命題與自然數(shù)n有關(guān),若n=k(k∈N*)時(shí)命題成立,則可推得當(dāng)n=k+1時(shí)該命題也成立.現(xiàn)已知當(dāng)n=5時(shí),該命題不成立,則可推得(　　) A.當(dāng)n=6時(shí),該命題不成立 B.當(dāng)n=6時(shí),該命題成立 C.當(dāng)n=4時(shí),該命題不成立 D.當(dāng)n=4時(shí),該命題成立 答案C 解析因?yàn)楫?dāng)n=k時(shí)命題成立可推出當(dāng)n=k+1時(shí)成立,所以當(dāng)n=5時(shí)命題不成立,則當(dāng)n=4時(shí)命題也一定不成立. 5.對(duì)于不等式n2+n<n+1(n∈N*),某同學(xué)用數(shù)學(xué)歸納法證明的過(guò)程如下: (1)當(dāng)n=1時(shí),12+1<1+1,不等式成立. (2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*)時(shí),不等式成立,即k2+k<k+1,則當(dāng)n=k+1時(shí),(k+1)2+(k+1)=k2+3k+2<(k2+3k+2)+(k+2)=(k+2)2=(k+1)+1.所以當(dāng)n=k+1時(shí),不等式成立,則上述證法(　　) A.過(guò)程全部正確 B.n=1驗(yàn)得不正確 C.歸納假設(shè)不正確 D.從n=k到n=k+1的推理不正確 答案D 解析在n=k+1時(shí),沒(méi)有應(yīng)用n=k時(shí)的假設(shè),不是數(shù)學(xué)歸納法. 6.在數(shù)列{an}中,已知a1=2,an+1=an3an+1(n∈N*),依次計(jì)算出a2,a3,a4的值分別為　　　　　;歸納可知an=　　　　　. 答案27,213,219　26n-5 解析a1=2,a2=232+1=27,a3=27327+1=213,a4=2133213+1=219.由此,猜想an的分子為2,分母是以1為首項(xiàng),6為公差的等差數(shù)列.故an=26n-5.用數(shù)學(xué)歸納法可證明. 7.用數(shù)學(xué)歸納法證明:12+22+…+n2+…+22+12=n(2n2+1)3,第二步證明由“k到k+1”時(shí),左邊應(yīng)加　　　　　. 答案(k+1)2+k2 解析當(dāng)n=k時(shí),左邊=12+22+…+k2+…+22+12,當(dāng)n=k+1時(shí),左邊=12+22+…+k2+(k+1)2+k2+…+22+12. 8.用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí),xn-yn能被x+y整除”第一步應(yīng)驗(yàn)證n=　　　　　時(shí),命題成立;第二步歸納假設(shè)成立應(yīng)寫(xiě)成　　　　　. 答案2　x2k-y2k能被x+y整除 解析因?yàn)閚為正偶數(shù),故第一個(gè)值n=2,第二步假設(shè)n取第k個(gè)正偶數(shù)成立,即n=2k,故應(yīng)假設(shè)成x2k-y2k能被x+y整除. 能力提升組 9.用數(shù)學(xué)歸納法證明112+123+134+…+1n(n+1)=nn+1(n∈N*)時(shí),從“n=k”到“n=k+1”,等式左邊需增添的項(xiàng)是(　　) A.1k(k+1) B.1k(k+1)+1(k+1)(k+2) C.1(k+1)(k+2) D.1k(k+2) 答案C 解析假設(shè)n=k時(shí),112+123+…+1k(k+1)=kk+1成立, 那么n=k+1時(shí),112+123+…+1k(k+1)+1(k+1)(k+2)=kk+1+1(k+1)(k+2), 所以從“k→k+1”需增添的項(xiàng)是1(k+1)(k+2).故選C. 10.利用數(shù)學(xué)歸納法證明“12n+1+12n+2+…+13n>13(n≥2,且n∈N*)”的過(guò)程中,由假設(shè)“n=k時(shí)”成立,推導(dǎo)“n=k+1時(shí)”也成立時(shí),該不等式左邊的變化是(　　) A.增加13k+3 B.增加13k+1+13k+2+13k+3 C.增加13k+3并減少12k+1+12k+2 D.增加13k+1+13k+2+13k+3并減少12k+1+12k+2 答案D 解析n=k+1時(shí),不等式為12k+3+12k+4+…+13k+3>13,增加13k+1+13k+2+13k+3并減少12k+1+12k+2.故選D. 11.已知f(x)是定義域?yàn)檎麛?shù)集的函數(shù),對(duì)于定義域內(nèi)任意的k,若f(k)≥k2成立,則f(k+1)≥(k+1)2成立,下列命題成立的是(　　) A.若f(3)≥9成立,且對(duì)于任意的k≥1,均有f(k)≥k2成立 B.若f(4)≥16成立,則對(duì)于任意的k≥4,均有f(k)<k2成立 C.若f(7)≥49成立,則對(duì)于任意的k<7,均有f(k)<k2成立 D.若f(4)=25成立,則對(duì)于任意的k≥4,均有f(k)≥k2成立 答案D 解析因?yàn)閒(4)=25>42,所以對(duì)于k≥4,均有f(k)≥k2.僅有D選項(xiàng)符合題意. 12.用數(shù)學(xué)歸納法證明3(2+7k)能被9整除,證明n=k+1時(shí),應(yīng)將3(2+7k+1)配湊成(　　) A.6+217k B.3(2+7k)+21 C.3(2+7k) D.21(2+7k)-36 答案D 解析要配湊出歸納假設(shè),即3(2+7k+1)=3(2+77k)=6+217k=21(2+7k)-36.故選D. 13.設(shè)平面內(nèi)有n條直線(n≥3),其中有且僅有兩條直線互相平行,任意三條直線不過(guò)同一點(diǎn).若用f(n)表示這n條直線交點(diǎn)的個(gè)數(shù),則f(n)=(　　)(n≥3). A.(n+1)(n-2) B.12(n+1)(n-2) C.n(n-1) D.12n(n-1) 答案B 解析f(3)=2,f(4)=f(3)+3=2+3=5, f(n)=f(3)+3+4+…+(n-1) =2+3+4+…+(n-1) =12(n+1)(n-2)(n≥3). 14.若不等式1n+1+1n+2+…+13n+1>a24對(duì)一切正整數(shù)n都成立,正整數(shù)a的最大值為　　　　　. 答案25 解析當(dāng)n=1時(shí),11+1+11+2+13+1>a24, 即2624>a24,所以a<26. 而a是正整數(shù),所以取a=25, 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明1n+1+1n+2+…+13n+1>2524. (1)當(dāng)n=1時(shí),已證得不等式成立. (2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*)時(shí),不等式成立, 即1k+1+1k+2+…+13k+1>2524. 則當(dāng)n=k+1時(shí), 有1(k+1)+1+1(k+1)+2+…+13(k+1)+1 =1k+1+1k+2+…+13k+1+13k+2+13k+3+13k+4-1k+1>2524+13k+2+13k+4-23(k+1). 因?yàn)?3k+2+13k+4-23(k+1)=6(k+1)(3k+2)(3k+4)-23(k+1) =18(k+1)2-2(9k2+18k+8)(3k+2)(3k+4)(3k+3)=2(3k+2)(3k+4)(3k+3)>0, 所以當(dāng)n=k+1時(shí)不等式也成立. 由(1)(2)知,對(duì)一切正整數(shù)n,都有1n+1+1n+2+…+13n+1>2524, 所以a的最大值等于25. 15.(2018浙江衢州模擬)在數(shù)列{an}中,已知a1=a(a>2),且an+1=an22(an-1)(n∈N*). (1)用數(shù)學(xué)歸納法證明an>2(n∈N*); (2)求證:an+1<an(n∈N*). 證明(1)①當(dāng)n=1時(shí),a1=a>2,命題成立. ②假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*,k≥1)時(shí),命題成立,即ak>2. 則當(dāng)n=k+1時(shí),ak+1-2=ak22(ak-1)-2=(ak-2)22(ak-1)>0, 所以當(dāng)n=k+1時(shí)ak+1>2也成立, 由①②知對(duì)任意正整數(shù)n,都有an>2. (2)an+1-an=an22(an-1)-an=an(2-an)2(an-1), 由(1)可知an>2>0,所以an+1<an. 16.(2018浙江寧波效實(shí)中學(xué)高三期中)已知數(shù)列{an},a1=3,an+1=3an-4an-1(n∈N*). (1)求a2,a3,a4的值,并猜想{an}的通項(xiàng)公式; (2)用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想. (1)解因?yàn)閍1=3,且an+1=3an-4an-1, 所以a2=33-43-1=52,a3=352-452-1=73,a1=373-473-1=94,由此猜想an=2n+1n. (2)證明①當(dāng)n=1時(shí),a1=21+11=3,滿足要求,猜想成立; ②假設(shè)n=k(k≥1且k∈N*)時(shí),猜想成立, 即ak=2k+1k,那么當(dāng)n=k+1時(shí),ak+1=3ak-4ak-1=32k+1k-42k+1k-1=2k+3k+1=2(k+1)+1k+1, 這就表明當(dāng)n=k+1時(shí),猜想成立,根據(jù)①②可以斷定,對(duì)所有的正整數(shù)該猜想成立,即an=2n+1n. 17.設(shè)a1=1,an+1=an2-2an+2+b(n∈N*). (1)若b=1,求a2,a3及數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式. (2)若b=-1,問(wèn):是否存在實(shí)數(shù)c使得a2n<c<a2n+1對(duì)所有n∈N*成立?證明你的結(jié)論. (1)解法一a2=2,a3=2+1. 再由題設(shè)條件知(an+1-1)2=(an-1)2+1. 從而{(an-1)2}是首項(xiàng)為0,公差為1的等差數(shù)列, 故(an-1)2=n-1,即an=n-1+1(n∈N*). 解法二a2=2,a3=2+1.可寫(xiě)為a1=1-1+1,a2=2-1+1,a3=3-1+1. 因此猜想an=n-1+1.下用數(shù)學(xué)歸納法證明上式: 當(dāng)n=1時(shí)結(jié)論顯然成立. 假設(shè)n=k時(shí)結(jié)論成立,即ak=k-1+1, 則ak+1=(ak-1)2+1+1=(k-1)+1+1 =(k+1)-1+1. 這就是說(shuō),當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論成立. 所以an=n-1+1(n∈N*). (2)解法一設(shè)f(x)=(x-1)2+1-1,則an+1=f(an). 令c=f(c),即c=(c-1)2+1-1,解得c=14. 下用數(shù)學(xué)歸納法證明加強(qiáng)命題a2n<c<a2n+1<1. 當(dāng)n=1時(shí),a2=f(1)=0,a3=f(0)=2-1, 所以a2<14<a3<1,結(jié)論成立. 假設(shè)n=k時(shí)結(jié)論成立,即a2k<c<a2k+1<1. 易知f(x)在(-∞,1]上為減函數(shù), 從而c=f(c)>f(a2k+1)>f(1)=a2, 即1>c>a2k+2>a2. 再由f(x)在(-∞,1]上為減函數(shù)得c=f(c)<f(a2k+2)<f(a2)=a3<1. 故c<a2k+3<1,因此a2(k+1)<c<a2(k+1)+1<1. 這就是說(shuō),當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論成立. 綜上,符合條件的c存在,其中一個(gè)值為c=14. 解法二設(shè)f(x)=(x-1)2+1-1,則an+1=f(an). 先證:0≤an≤1(n∈N*). ① 當(dāng)n=1時(shí),結(jié)論明顯成立. 假設(shè)n=k時(shí)結(jié)論成立,即0≤ak≤1. 易知f(x)在(-∞,1]上為減函數(shù), 從而0=f(1)≤f(ak)≤f(0)=2-1<1. 即0≤ak+1≤1,這就是說(shuō),當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論成立. 故①成立. 再證:a2n<a2n+1(n∈N*). ② 當(dāng)n=1時(shí),a2=f(1)=0,a3=f(a2)=f(0)=2-1,有a2<a3,即n=1時(shí)②成立. 假設(shè)n=k時(shí),結(jié)論成立,即a2k<a2k+1. 由①及f(x)在(-∞,1]上為減函數(shù),得a2k+1=f(a2k)>f(a2k+1)=a2k+2,a2(k+1)=f(a2k+1)<f(a2k+2)=a2(k+1)+1. 這就是說(shuō),當(dāng)n=k+1時(shí)②成立. 所以②對(duì)一切n∈N*成立. 由②得a2n<a2n2-2a2n+2-1, 即(a2n+1)2<a2n2-2a2n+2,因此a2n<14. ③ 又由①,②及f(x)在(-∞,1]上為減函數(shù)得f(a2n)>f(a2n+1),即a2n+1>a2n+2. 所以a2n+1>a2n+12-2a2n+1+2-1.解得a2n+1>14. ④ 綜上,由②,③,④知存在c=14使a2n<c<a2n+1對(duì)一切n∈N*成立. 18.(2018浙江余姚中學(xué)模擬)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=n2+n+1n2+nan+12n,n∈N*. (1)證明:當(dāng)n≥2時(shí),an≥2(n∈N*); (2)證明:an+1=112a1+123a2+…+1n(n+1)an+2-12n(n∈N*). 解(1)由題意, ①當(dāng)n=2時(shí),a2=32a1+12=2≥2成立; ②當(dāng)n=k時(shí),假設(shè)ak≥2成立,則n=k+1時(shí) ak+1=k2+k+1k2+kak+12k=ak+1k2+kak+12k≥2+2k2+k+12k>2,所以n=k+1時(shí),ak+1>2成立. 綜上①②可知,n≥2時(shí),an≥2. (2)由an+1=n2+n+1n2+nan+12n=an+1n(n+1)an+12n 得an+1-an=1n(n+1)an+12n, 所以a2-a1=112a1+121,a3-a2=123a2+122,a4-a3=134a3+123,…,an+1-an=1n(n+1)an+12n.所以an+1-a1=112a1+123a2+…+1n(n+1)+121+122+…+12n. 又a1=1,所以an+1=112a1+123a2+…+1n(n+1)an+1+121-12n1-12=112a1+123a2+…+1n(n+1)an+2-12n.