1 1第54練 平行與垂直綜合練訓(xùn)練目標(biāo)能熟練應(yīng)用線面平行、垂直的定理及性質(zhì)證明平行、垂直問(wèn)題訓(xùn)練題型(1)證明線線、線面、面面平行與垂直；(2)探求平行、垂直關(guān)系成立時(shí)滿(mǎn)足的條件解題策略用分析法找思路，用綜合法寫(xiě)過(guò)程，注意特殊元素的運(yùn)用.1.(20xx·天津模擬)如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AD，DD1的中點(diǎn)求證：(1)EF平面C1BD；(2)A1C平面C1BD.2如圖所示，在RtABC中，AC6，BC3，ABC90°，CD為ACB的平分線，點(diǎn)E在線段AC上，CE4，將BCD沿CD折起，使得平面BCD平面ACD，連接AB，BE，如圖所示，設(shè)點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)(1)求證：DE平面BCD；(2)若EF平面BDG，其中G為AC上一點(diǎn)，求三棱錐BDEG的體積3.如圖，四棱錐PABCD的底面為矩形，AB，BC1，E，F(xiàn)分別是AB，PC的中點(diǎn)，DEPA.(1)求證：EF平面PAD；(2)求證：平面PAC平面PDE.4(20xx·北京海淀區(qū)下學(xué)期期中)如圖1，在梯形ABCD中，ADBC，ADDC，BC2AD，四邊形ABEF是矩形，將矩形ABEF沿AB折起到四邊形ABE1F1的位置，使平面ABE1F1平面ABCD，M為AF1的中點(diǎn)，如圖2.(1)求證：BE1DC；(2)求證：DM平面BCE1；(3)判斷直線CD與ME1的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由答案精析1證明(1)如圖，連接AD1，E，F(xiàn)分別是AD和DD1的中點(diǎn)，EFAD1.在正方體ABCDA1B1C1D1中，ABD1C1，ABD1C1，四邊形ABC1D1為平行四邊形，即有AD1BC1，EFBC1.又EF平面C1BD，BC1平面C1BD，EF平面C1BD.(2)如圖，連接AC，則ACBD.在正方體ABCDA1B1C1D1中，AA1平面ABCD，BD平面ABCD，AA1BD.又AA1ACA，AA1平面AA1C，AC平面AA1C，BD平面AA1C，A1C平面AA1C，A1CBD.同理可證A1CBC1.又BDBC1B，BD平面C1BD，BC1平面C1BD，A1C平面C1BD.2(1)證明取AC的中點(diǎn)P，連接DP，因?yàn)樵赗tABC中，AC6，BC3，ABC90°，CD為ACB的平分線，所以A30°，ADC是等腰三角形，所以DPAC，DP，DCP30°，PDC60°.又點(diǎn)E在線段AC上，CE4，所以AE2，EP1，所以EDP30°，所以EDC90°，所以EDDC.因?yàn)槠矫鍮CD平面ACD，且平面BCD平面ACDDC，所以DE平面BCD.(2)解若EF平面BDG，其中G為AC上一點(diǎn)，則易知G為EC的中點(diǎn)，此時(shí)AEEGGC2.因?yàn)樵赗tABC中，AC6，BC3，ABC90°，CD為ACB的平分線，所以BD，DC2，所以B到DC的距離h.因?yàn)槠矫鍮CD平面ACD，平面BCD平面ACDDC，所以B到DC的距離h就是三棱錐BDEG的高，所以三棱錐BDEG的體積V·SDEG·h××.3證明(1)如圖，取PD中點(diǎn)G，連接AG，F(xiàn)G，因?yàn)镕，G分別為PC，PD的中點(diǎn)，所以FGCD，且FGCD.又因?yàn)镋為AB中點(diǎn)，所以AECD，且AECD.所以AEFG，AEFG.所以四邊形AEFG為平行四邊形所以EFAG，又EF平面PAD，AG平面PAD，所以EF平面PAD.(2)設(shè)ACDEH，由AEHCDH及E為AB中點(diǎn)，得，又因?yàn)锳B，BC1，所以AC，AHAC.所以，又BAC為公共角，所以HAEBAC.所以AHEABC90°，即DEAC.又DEPA，PAACA，PA平面PAC，AC平面PAC，所以DE平面PAC.又DE平面PDE，所以平面PAC平面PDE.4(1)證明因?yàn)樗倪呅蜛BE1F1為矩形，所以BE1AB.因?yàn)槠矫鍭BCD平面ABE1F1，且平面ABCD平面ABE1F1AB，BE1平面ABE1F1，所以BE1平面ABCD.因?yàn)镈C平面ABCD，所以BE1DC.(2)證明因?yàn)樗倪呅蜛BE1F1為矩形，所以AMBE1.因?yàn)锳DBC，ADAMA，BCBE1B，AD平面ADM，AM平面ADM，BC平面BCE1，BE1平面BCE1，所以平面ADM平面BCE1.因?yàn)镈M平面ADM，所以DM平面BCE1.(3)解直線CD與ME1相交，理由如下：取BC的中點(diǎn)P，CE1的中點(diǎn)Q，連接AP，PQ，QM，所以PQBE1，且PQBE1.在矩形ABE1F1中，M為AF1的中點(diǎn)，所以AMBE1，且AMBE1，所以PQAM，且PQAM.所以四邊形APQM為平行四邊形，所以MQAP，MQAP.因?yàn)樗倪呅蜛BCD為梯形，P為BC的中點(diǎn)，BC2AD，所以ADPC，ADPC，所以四邊形ADCP為平行四邊形所以CDAP且CDAP.所以CDMQ且CDMQ.所以四邊形CDMQ是平行四邊形所以DMCQ，即DMCE1.因?yàn)镈MCE1，所以四邊形DME1C是以DM，CE1為底邊的梯形，所以直線CD與ME1相交