第一部分 專題七 第三講 概率、隨機變量及其分布列A組1小敏打開計算機時，忘記了開機密碼的前兩位，只記得第一位是M，I，N中的一個字母，第二位是1,2,3,4,5中的一個數(shù)字，則小敏輸入一次密碼能夠成功開機的概率是( C )ABCD解析根據(jù)題意可以知道，所輸入密碼所有可能發(fā)生的情況如下：M1，M2，M3，M4，M5，I1，I2，I3，I4，I5，N1，N2，N3，N4，N5共15種情況，而正確的情況只有其中一種，所以輸入一次密碼能夠成功開機的概率是.2(2018濰坊模擬)在某項測量中，測量結(jié)果服從正態(tài)分布N(1，2)(>0)，若在(0,2)內(nèi)取值的概率為0.8，則在(0,1)內(nèi)取值的概率為( C )A0.1 B0.2 C0.4 D0.8解析因為1，所以P(0<<2)0.82P(0<<1)，故P(0<<1)0.4.3某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測資料表明，一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75，連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6，已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是( A )A0.8 B0.75 C0.6 D0.45解析本題考查條件概率的求法設(shè)A“某一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良”，B“隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良”，則P(B|A)0.8，故選A4隨機變量的取值為0,1,2.若P(0)，E()1，則D().解析設(shè)P(1)p，則P(2)p，從而由E()01p2(p)1，得p.故D()(01)2(11)2(21)2.5(2018河南信陽二模)如圖所示，A，B兩點由5條連線并聯(lián)，它們在單位時間內(nèi)能通過的最大信息量依次為2,3,4,3,2.現(xiàn)記從中任取三條線且在單位時間內(nèi)都通過的最大信息總量為，則P(8).解析解法一(直接法)：由已知得，的可能取值為7,8,9,10，P(7)，P(8)，P(9)，P(10)，的概率分布列為：78910PP(8)P(8)P(9)P(10).解法二(間接法)：由已知得，的可能取值為7,8,9,10，故P(8)與P(7)是對立事件，所以P(8)1P(7)1.6某小型玩具廠擬對n件產(chǎn)品在出廠前進行質(zhì)量檢測，若一件產(chǎn)品通過質(zhì)量檢測能獲利潤10元；否則產(chǎn)品報廢，虧損10元設(shè)該廠的每件產(chǎn)品能通過質(zhì)量檢測的概率為，每件產(chǎn)品能否通過質(zhì)量檢測相互獨立，現(xiàn)記對n件產(chǎn)品進行質(zhì)量檢測后的總利潤為Sn.(1)若n6時，求恰有4件產(chǎn)品通過質(zhì)量檢測的概率；(2)記XS5，求X的分布列，并計算數(shù)學(xué)期望EX.解析(1)n6時，恰有4件產(chǎn)品通過質(zhì)量檢測的概率：PC()4(1)2.(2)因為XS5，所以X的可能取值為50，30，10,10,30,50，P(X50)C()0(1)5，P(X30)C()1(1)4，P(X10)C()2(1)3，P(X10)C()3(1)2，P(X30)C()4(1)1，P(X50)C()5(1)0，所以X的分布列為：X503010103050PEX503010103050.7甲、乙兩人組成“星隊”參加猜成語活動，每輪活動由甲、乙各猜一個成語，在一輪活動中，如果兩人都猜對，則“星隊”得3分；如果只有一個人猜對，則“星隊”得1分；如果兩人都沒猜對，則“星隊”得0分已知甲每輪猜對的概率是，乙每輪猜對的概率是；每輪活動中甲、乙猜對與否互不影響，各輪結(jié)果亦互不影響假設(shè)“星隊”參加兩輪活動，求：(1)“星隊”至少猜對3個成語的概率；(2)“星隊”兩輪得分之和X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX.解析(1)記事件A：“甲第一輪猜對”，記事件B：“乙第一輪猜對”，記事件C：“甲第二輪猜對”，記事件D：“乙第二輪猜對”，記事件E：“星隊至少猜對3個成語”由題意，EABCDBCDACDABDABC.由事件的獨立性與互斥性，得P(E)P(ABCD)P(BCD)P(ACD)P(ABD)P(ABC)P(A)P(B)P(C)P(D)P()P(B)P(C)P(D)P(A)P()P(C)P(D)P(A)P(B)P()P(D)P(A)P(B)P(C)P()2().所以“星隊”至少猜對2個成語的概率為.()由題意，隨機變量X可能的取值為0,1,2,3,4,6.由事件的獨立性與互斥性，得P(X0)，P(X1)2()，P(X2)，P(X3)，P(X4)2()，P(X6).可得隨機變量X的分布列為X012346P所以數(shù)學(xué)期望EX012346.B組1為了了解今年某校高三畢業(yè)班準(zhǔn)備報考飛行員學(xué)生的身體素質(zhì)，學(xué)校對他們的體重進行了測量，將所得的數(shù)據(jù)整理后，畫出了頻率分布直方圖(如圖)，已知圖中從左到右的前3個小組的頻率之比為123，其中第2小組的頻數(shù)為12.(1)求該校報考飛行員的總?cè)藬?shù)；(2)以這所學(xué)校的樣本數(shù)據(jù)來估計全省的總體數(shù)據(jù)，若從全省報考飛行員的學(xué)生中(人數(shù)很多)任選3人，設(shè)X表示體重超過60kg的學(xué)生人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望解析(1)設(shè)報考飛行員的人數(shù)為n，前3個小組的頻率分別為p1，p2，p3，則由條件可得：解得p10.125，p20.25，p30.375.又因為p20.25，故n48.(2)由(1)可得，一個報考學(xué)生體重超過60kg的概率為Pp3(0.0370.013)5，由題意知X服從二項分布B(3，)，P(xk)C()k()3k(k0,1,2,3)，所以隨機變量X的分布列為X0123PE(X)0123.2從甲地到乙地要經(jīng)過3個十字路口，設(shè)各路口信號燈工作相互獨立，且在各路口遇到紅燈的概率分別為，.(1)記X表示一輛車從甲地到乙地遇到紅燈的個數(shù)，求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)若有2輛車獨立地從甲地到乙地，求這2輛車共遇到1個紅燈的概率解析(1)隨機變量X的所有可能取值為0,1,2,3.P(X0)(1)(1)(1)，P(X1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)，P(X2)(1)(1)(1)，P(X3).所以隨機變量X的分布列為X0123P隨機變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)0123.(2)設(shè)Y表示第一輛車遇到紅燈的個數(shù)，Z表示第二輛車遇到紅燈的個數(shù)，則所求事件的概率為P(YZ1)P(Y0，Z1)P(Y1，Z0)P(Y0)P(Z1)P(Y1)P(Z0).所以這2輛車共遇到1個紅燈的概率為.3已知2件次品和3件正品混放在一起，現(xiàn)需要通過檢測將其區(qū)分，每次隨機檢測一件產(chǎn)品，檢測后不放回，直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時檢測結(jié)束(1)求第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品的概率；(2)已知每檢測一件產(chǎn)品需要費用100元，設(shè)X表示直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時所需要的檢測費用(單位：元)，求X的分布列和均值(數(shù)學(xué)期望)解析(1)記“第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品”為事件AP(A).(2)X的可能取值為200,300,400.P(X200).P(X300).P(X400)1P(X200)P(X300)1.故X的分布列為X200300400PEX200300400350.4某公司計劃購買2臺機器，該種機器使用三年后即被淘汰機器有一易損零件，在購進機器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個200元在機器使用期間，如果備件不足再購買，則每個500元現(xiàn)需決策在購買機器時應(yīng)同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖：以這100臺機器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺機器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記X表示2臺機器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)，n表示購買2臺機器的同時購買的易損零件數(shù)(1)求X的分布列(2)若要求P(Xn)0.5，確定n的最小值(3)以購買易損零件所需費用的期望值為決策依據(jù)，在n19與n20之中選其一，應(yīng)選用哪個？【解析】(1)每臺機器更換的易損零件數(shù)為8,9,10,11，記事件Ai為第一臺機器3年內(nèi)換掉i7個零件(i1,2,3,4)記事件Bi為第二臺機器3年內(nèi)換掉i7個零件(i1,2,3,4)由題知P(A1)P(A3)P(A4)P(B1)P(B3)P(B4)0.2，P(A2)P(B2)0.4.設(shè)2臺機器共需更換的易損零件數(shù)的隨機變量為X，則X的可能的取值為16,17,18,19,20,21,22，P(X16)P(A1)P(B1)0.20.20.04，P(X17)P(A1)P(B2)P(A2)P(B1)0.20.40.40.20.16，P(X18)P(A1)P(B3)P(A2)P(B2)P(A3)P(B1)0.20.20.40.40.20.20.24，P(X19)P(A1)P(B4)P(A2)P(B3)P(A3)P(B2)P(A4)P(B1)0.20.20.40.20.20.40.20.20.24，P(X20)P(A2)P(B4)P(A3)P(B3)P(A4)P(B2)0.40.20.20.20.20.40.2，P(X21)P(A3)P(B4)P(A4)P(B3)0.20.20.20.20.08，P(X22)P(A4)P(B4)0.20.20.04.所以X的分布列為X16171819202122P0.040.160.240.240.20.080.04(2)要令P(Xn)0.5，0.040.160.24<0.5,0.040.160.240.240.5，則n的最小值為19.(3)購買零件所需費用含兩部分，一部分為購買機器時購買零件的費用，另一部分為備件不足時額外購買的費用，當(dāng)n19時，費用的期望為192005000.21 0000.081 5000.044 040，當(dāng)n20時，費用的期望為202005000.081 0000.044 080.所以應(yīng)選用n19.