1 1第七節(jié)雙曲線考綱傳真1.了解雙曲線的實際背景，了解雙曲線在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用.2.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程，知道它的簡單的幾何性質(zhì)3.了解雙曲線的簡單應用4.理解數(shù)形結合的思想1雙曲線的定義(1)平面內(nèi)到兩定點F1、F2的距離之差的絕對值等于常數(shù)(大于零且小于|F1F2|)的點的集合叫作雙曲線，定點F1，F(xiàn)2叫作雙曲線的焦點，兩個焦點之間的距離叫作雙曲線的焦距(2)集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a，c為常數(shù)且a>0，c>0.當2a<|F1F2|時，M點的軌跡是雙曲線；當2a|F1F2|時，M點的軌跡是兩條射線；當2a>|F1F2|時，M點不存在2雙曲線的標準方程和幾何性質(zhì)標準方程1(a>0，b>0)1(a>0，b>0)圖形性質(zhì)范圍xa或xa，yRxR，ya或ya對稱性對稱軸：坐標軸，對稱中心：原點頂點A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a)漸近線y±xy±x離心率e，e(1，)，其中ca，b，c的關系c2a2b2(c>a>0，c>b>0)1(思考辨析)判斷下列結論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)平面內(nèi)到點F1(0,4)，F(xiàn)2(0，4)距離之差的絕對值等于8的點的軌跡是雙曲線()(2)方程1(mn>0)表示焦點在x軸上的雙曲線()(3)雙曲線方程(m>0，n>0，0)的漸近線方程是0，即±0.()(4)等軸雙曲線的漸近線互相垂直，離心率等于.()答案(1)×(2)×(3)(4)2(教材改編)已知雙曲線1(a>0)的離心率為2，則a()A2B.C.D1D依題意，e2，2a，則a21，a1.3(20xx·福州質(zhì)檢)若雙曲線E：1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P在雙曲線E上，且|PF1|3，則|PF2|等于() 【導學號：57962406】A11B9C5D3B由題意知a3，b4，c5.由雙曲線的定義|PF1|PF2|3|PF2|2a6，|PF2|9.4(20xx·全國卷)已知方程1表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點間的距離為4，則n的取值范圍是()A(1,3)B(1，)C(0,3)D(0，)A原方程表示雙曲線，且兩焦點間的距離為4.則因此1<n<3.5(20xx·北京高考)雙曲線1(a>0，b>0)的漸近線為正方形OABC的邊OA，OC所在的直線，點B為該雙曲線的焦點若正方形OABC的邊長為2，則a_.2雙曲線1的漸近線方程為y±x，易得兩條漸近線方程互相垂直，由雙曲線的對稱性知1.又正方形OABC的邊長為2，所以c2，所以a2b2c28，因此a2.雙曲線的定義及應用(20xx·全國卷改編)已知F是雙曲線C：x21的右焦點，P是C的左支上一點，A(0,6)則APF周長的最小值為_ 32由雙曲線方程x21可知，a1，c3，故F(3,0)，F(xiàn)1(3,0)，當點P在雙曲線左支上運動時，由雙曲線定義知|PF|PF1|2.所以|PF|PF1|2，從而APF的周長|AP|PF|AF|AP|PF1|2|AF|.因為|AF|15為定值，所以當(|AP|PF1|)最小時，APF的周長最小，A，F(xiàn)1，P三點共線又因為|AP|PF1|AF1|AF|15.所以APF周長的最小值為1515232.規(guī)律方法1.應用雙曲線的定義需注意的問題：在雙曲線的定義中，要注意雙曲線上的點(動點)具備的幾何條件，即“到兩定點(焦點)的距離之差的絕對值為一常數(shù)，且該常數(shù)必須小于兩定點間的距離”若定義中的“絕對值”去掉，點的軌跡是雙曲線的一支同時需注意定義的轉(zhuǎn)化應用2在焦點三角形中，注意定義、余弦定理的活用，常將|PF1|PF2|2a平方，建立|PF1|·|PF2|間的聯(lián)系變式訓練1已知雙曲線C的離心率為2，焦點為F1，F(xiàn)2，點A在C上若|F1A|2|F2A|，則cosAF2F1()A.BC.DA由e2得c2a，如圖，由雙曲線的定義得|F1A|F2A|2a.又|F1A|2|F2A|，故|F1A|4a，|F2A|2a，cosAF2F1.雙曲線的標準方程(1)(20xx·廣州模擬)已知雙曲線C：1的離心率e，且其右焦點為F2(5,0)，則雙曲線C的方程為() 【導學號：57962407】A.1B1C.1D1(2)(20xx·天津高考)已知雙曲線1(b0)，以原點為圓心，雙曲線的實半軸長為半徑長的圓與雙曲線的兩條漸近線相交于A，B，C，D四點，四邊形ABCD的面積為2b，則雙曲線的方程為()A.1B1C.1D1(1)C(2)D(1)由焦點F2(5,0)知c5.又e，得a4，b2c2a29.雙曲線C的標準方程為1.(2)由題意知雙曲線的漸近線方程為y±x，圓的方程為x2y24，聯(lián)立解得或 即第一象限的交點為.由雙曲線和圓的對稱性得四邊形ABCD為矩形，其相鄰兩邊長為，故2b，得b212.故雙曲線的方程為1.故選D.規(guī)律方法1.確定雙曲線的標準方程也需要一個“定位”條件，兩個“定量”條件“定位”是指確定焦點在哪條坐標軸上，“定量”是指確定a，b的值，常用待定系數(shù)法若雙曲線的焦點不能確定時，可設其方程為Ax2By21(AB<0)2對于共焦點、共漸近線的雙曲線方程，可靈活設出恰當?shù)男问角蠼馊粢阎獫u近線方程為mxny0，則雙曲線方程可設為m2x2n2y2(0)變式訓練2(1)(20xx·全國卷)已知雙曲線過點(4，)，且漸近線方程為y±x，則該雙曲線的標準方程為_(2)設橢圓C1的離心率為，焦點在x軸上且長軸長為26，若曲線C2上的點到橢圓C1的兩個焦點的距離的差的絕對值等于8，則曲線C2的標準方程為_(1)y21(2)1(1)雙曲線的漸近線方程為y±x，可設雙曲線的方程為x24y2(0)雙曲線過點(4，)，164×()24，雙曲線的標準方程為y21.(2)由題意知橢圓C1的焦點坐標為F1(5,0)，F(xiàn)2(5,0)，設曲線C2上的一點P，則|PF1|PF2|8.由雙曲線的定義知：a4，b3.故曲線C2的標準方程為1，即1.雙曲線的簡單幾何性質(zhì)(1)(20xx·全國卷)已知F1，F(xiàn)2是雙曲線E：1的左、右焦點，點M在E上，MF1與x軸垂直，sinMF2F1，則E的離心率為()A.B.C.D2(2)(20xx·石家莊調(diào)研)設雙曲線1(a>0，b>0)的右焦點是F，左、右頂點分別是A1，A2，過F作A1A2的垂線與雙曲線交于B，C兩點若A1BA2C，則該雙曲線的漸近線為_. 【導學號：57962408】 (1)A(2)x±y0(1)如圖，因為MF1x軸，所以|MF1|.在RtMF1F2中，由sinMF2F1得tanMF2F1.所以，即，即，整理得c2aca20，兩邊同除以a2得e2e10.解得e(負值舍去)(2)由題設易知A1(a,0)，A2(a,0)，B，C.因為A1BA2C，所以·1，整理得ab.因此該雙曲線的漸近線為y±x，即x±y0.規(guī)律方法1.(1)求雙曲線的漸近線，要注意雙曲線焦點位置的影響；(2)求離心率的關鍵是確定含a，b，c的齊次方程，但一定注意e>1這一條件2雙曲線中c2a2b2，可得雙曲線漸近線的斜率與離心率的關系.抓住雙曲線中“六點”、“四線”、“兩三角形”，研究a，b，c，e間相互關系及轉(zhuǎn)化，簡化解題過程變式訓練3(20xx·全國卷)已知A，B為雙曲線E的左，右頂點，點M在E上，ABM為等腰三角形，且頂角為120°，則E的離心率為()A.B2C.DD不妨取點M在第一象限，如圖所示，設雙曲線方程為1(a>0，b>0)，則|BM|AB|2a，MBx180°120°60°，M點的坐標為.M點在雙曲線上，1，ab，ca，e.故選D.思想與方法1求雙曲線標準方程的主要方法：(1)定義法：由條件判定動點的軌跡是雙曲線，求出a2，b2，得雙曲線方程(2)待定系數(shù)法：即“先定位，后定量”，如果不能確定焦點的位置，應注意分類討論或恰當設置簡化討論若已知雙曲線過兩點，焦點位置不能確定，可設方程為Ax2By21(AB<0)當已知雙曲線的漸近線方程bx±ay0，求雙曲線方程時，可設雙曲線方程為b2x2a2y2(0)與雙曲線1有相同的漸近線的雙曲線方程可設為(0)2已知雙曲線的標準方程求雙曲線的漸近線方程，只需將雙曲線的標準方程中“1”改為“0”即可易錯與防范1區(qū)分雙曲線中a，b，c的關系與橢圓中a，b，c的關系，在橢圓中a2b2c2，在雙曲線中c2a2b2.2雙曲線的離心率大于1，橢圓的離心率e(0,1)求它們的離心率，不要忽視這一前提條件，否則會產(chǎn)生增解或擴大取值范圍3直線與雙曲線有一個公共點時，不一定相切，也可能直線與漸近線平行