4.7 正弦定理和余弦定理教師專用真題精編1.(2018課標(biāo)全國,6,5分)在ABC中,cosC2=55,BC=1,AC=5,則AB=()A.42B.30C.29D.25答案A本題考查二倍角公式和余弦定理.cos C2=55,cos C=2cos2C2-1=215-1=-35,又BC=1,AC=5,AB=BC2+AC2-2BCACcosC=1+25-215-35=42.故選A.2.(2018課標(biāo)全國,9,5分)ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.若ABC的面積為a2+b2-c24,則C=()A.2B.3C.4D.6答案C本題考查解三角形及其綜合應(yīng)用.根據(jù)余弦定理得a2+b2-c2=2abcos C,因?yàn)镾ABC=a2+b2-c24,所以SABC=2abcosC4,又SABC=12absin C,所以tan C=1,因?yàn)镃(0,),所以C=4.故選C.3.(2018江蘇,13,5分)在ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,ABC=120,ABC的平分線交AC于點(diǎn)D,且BD=1,則4a+c的最小值為.答案9解析本題考查基本不等式及其應(yīng)用.依題意畫出圖形,如圖所示.易知SABD+SBCD=SABC,即12csin 60+12asin 60=12acsin 120,a+c=ac,1a+1c=1,4a+c=(4a+c)1a+1c=5+ca+4ac9,當(dāng)且僅當(dāng)ca=4ac,即a=32,c=3時(shí)取“=”.4.(2018課標(biāo)全國,17,12分)在平面四邊形ABCD中,ADC=90,A=45,AB=2,BD=5.(1)求cosADB;(2)若DC=22,求BC.解析(1)在ABD中,由正弦定理得BDsinA=ABsinADB.由題設(shè)知,5sin45=2sinADB,所以sinADB=25.由題設(shè)知,ADB<90,所以cosADB=1-225=235.(2)由題設(shè)及(1)知,cosBDC=sinADB=25.在BCD中,由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2BDDCcosBDC=25+8-252225=25.所以BC=5.5.(2018北京理,15,13分)在ABC中,a=7,b=8,cos B=-17.(1)求A;(2)求AC邊上的高.解析(1)在ABC中,因?yàn)閏os B=-17,所以sin B=1-cos2B=437.由正弦定理得sin A=asinBb=32.由題設(shè)知2<B<,所以0<A<2.所以A=3.(2)在ABC中,因?yàn)閟in C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=3314,所以AC邊上的高為asin C=73314=332.6.(2018天津,15,13分)在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知bsin A=acosB-6.(1)求角B的大小;(2)設(shè)a=2,c=3,求b和sin(2A-B)的值.解析本小題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系,兩角差的正弦與余弦公式,二倍角的正弦與余弦公式,以及正弦定理、余弦定理等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力.(1)在ABC中,由正弦定理asinA=bsinB,可得bsin A=asin B,又由bsin A=acosB-6,得asin B=acosB-6,即sin B=cosB-6,可得tan B=3.又因?yàn)锽(0,),可得B=3.(2)在ABC中,由余弦定理及a=2,c=3,B=3,有b2=a2+c2-2accos B=7,故b=7.由bsin A=acosB-6,可得sin A=37.因?yàn)閍<c,故cos A=27.因此sin 2A=2sin Acos A=437,cos 2A=2cos2A-1=17.所以,sin(2A-B)=sin 2Acos B-cos 2Asin B=43712-1732=3314.