1 1專題能力訓(xùn)練9三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)能力突破訓(xùn)練1.為了得到函數(shù)y=sin2x-3的圖象,只需把函數(shù)y=sin 2x的圖象上所有的點(diǎn)()A.向左平行移動(dòng)3個(gè)單位長(zhǎng)度B.向右平行移動(dòng)3個(gè)單位長(zhǎng)度C.向左平行移動(dòng)6個(gè)單位長(zhǎng)度D.向右平行移動(dòng)6個(gè)單位長(zhǎng)度2.(20xx河北三調(diào))已知函數(shù)f(x)=Asin(x+)(A>0,>0)的圖象與直線y=a(0<a<A)的三個(gè)相鄰交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是2,4,8,則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是()A.6k,6k+3(kZ)B.6k-3,6k(kZ)C.6k,6k+3(kZ)D.6k-3,6k(kZ)3.若將函數(shù)y=2sin 2x的圖象向左平移12個(gè)單位長(zhǎng)度,則平移后圖象的對(duì)稱軸為()A.x=k2-6(kZ)B.x=k2+6(kZ)C.x=k2-12(kZ)D.x=k2+12(kZ)4.(20xx天津,理4)設(shè)R,則“-12<12”是“sin <12”的()A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件5.函數(shù)f(x)=Asin(x+)A>0,>0,|<2的圖象關(guān)于直線x=3對(duì)稱,若它的最小正周期為,則函數(shù)f(x)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是()A.3,1B.12,0C.512,0D.-12,06.(20xx北京,理12)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,角與角均以O(shè)x為始邊,它們的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱.若sin =13,則cos(-)=. 7.定義一種運(yùn)算:(a1,a2)(a3,a4)=a1a4-a2a3,將函數(shù)f(x)=(3,2sin x)(cos x,cos 2x)的圖象向左平移n(n>0)個(gè)單位所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù),則n的最小值為. 8.函數(shù)f(x)=Asin(x+)A>0,>0,|<2的部分圖象如圖所示,則f(x)=. 9.已知函數(shù)f(x)=sin x+cos x的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是點(diǎn)3,0,則函數(shù)g(x)=sin xcos x+sin2x的圖象的一條對(duì)稱軸是.(寫出其中的一條即可) 10.(20xx浙江,18)已知函數(shù)f(x)=sin2x-cos2x-23sin xcos x(xR).(1)求f23的值;(2)求f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間.11.已知函數(shù)f(x)=sin2x-sin2x-6,xR.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在區(qū)間-3,4上的最大值和最小值.思維提升訓(xùn)練12.下圖是函數(shù)f(x)=2sin(x+)(>0,0)的部分圖象,其中A,B兩點(diǎn)之間的距離為5,則f(-1)等于()A.2B.3C.-3D.-213.(20xx天津,理7)設(shè)函數(shù)f(x)=2sin(x+),xR,其中>0,|<,若f58=2,f118=0,且f(x)的最小正周期大于2,則()A.=23,=12B.=23,=-1112C.=13,=-1124D.=13,=72414.函數(shù)y=11-x的圖象與函數(shù)y=2sin x(-2x4)的圖象所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和等于()A.2B.4C.6D.815.如果兩個(gè)函數(shù)的圖象平移后能夠重合,那么稱這兩個(gè)函數(shù)為“互為生成”函數(shù).給出下列四個(gè)函數(shù):f(x)=sin x+cos x;f(x)=2(sin x+cos x);f(x)=sin x;f(x)=2sin x+2.其中為“互為生成”函數(shù)的是.(填序號(hào)) 16.(20xx江蘇,12)如圖,在同一個(gè)平面內(nèi),向量OA,OB,OC的模分別為1,1,2,OA與OC的夾角為,且tan =7,OB與OC的夾角為45°.若OC=mOA+nOB(m,nR),則m+n=. 17.已知函數(shù)f(x)的圖象是由函數(shù)g(x)=cos x的圖象經(jīng)如下變換得到:先將g(x)圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(橫坐標(biāo)不變),再將所得到的圖象向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度.(1)求函數(shù)f(x)的解析式,并求其圖象的對(duì)稱軸方程;(2)已知關(guān)于x的方程f(x)+g(x)=m在0,2)內(nèi)有兩個(gè)不同的解,.求實(shí)數(shù)m的取值范圍;證明:cos(-)=2m25-1.參考答案專題能力訓(xùn)練9三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)能力突破訓(xùn)練1.D解析由題意,為得到函數(shù)y=sin2x-3=sin2x-6,只需把函數(shù)y=sin2x的圖象上所有點(diǎn)向右平行移動(dòng)6個(gè)單位長(zhǎng)度,故選D.2.D解析函數(shù)f(x)=Asin(x+)(A>0,>0)的圖象與直線y=a(0<a<A)的三個(gè)相鄰交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是2,4,8,T=2=6,=3,且當(dāng)x=3時(shí)函數(shù)取得最大值,3×3+=2+2n,nZ.=-2+2n,nZ.f(x)=Asin3x-2(A>0).令2k+23x-22k+32,kZ.6k+3x6k+6,kZ,周期T=6,f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是6k-3,6k,kZ,故選D.3.B解析由題意可知,將函數(shù)y=2sin2x的圖象向左平移12個(gè)單位長(zhǎng)度得y=2sin2x+12=2sin2x+6的圖象,令2x+6=2+k(kZ),得x=k2+6(kZ).故選B.4.A解析當(dāng)-12<12時(shí),0<<6,0<sin<12.“-12<12”是“sin<12”的充分條件.當(dāng)=-6時(shí),sin=-12<12,但不滿足-12<12.“-12<12”不是“sin<12”的必要條件.“-12<12”是“sin<12”的充分而不必要條件.故選A.5.B解析由題意知T=,則=2.由函數(shù)圖象關(guān)于直線x=3對(duì)稱,得2×3+=2+k(kZ),即=-6+k(kZ).|<2,=-6,f(x)=Asin2x-6.令2x-6=k(kZ),則x=12+k2(kZ).函數(shù)f(x)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為12,0.故選B.6.-79解析方法1:因?yàn)榻桥c角的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱,根據(jù)三角函數(shù)定義可得sin=sin=13,cos=-cos,因此,cos(-)=coscos+sinsin=-2232+132=-79.方法2:由角與角的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱可得=(2k+1)-,kZ,則cos(-)=cos2-(2k+1)=-cos2=2sin2-1=2×132-1=-79.7.512解析f(x)=3cos2x-2sinxcosx=3cos2x-sin2x=2cos2x+6,將f(x)的圖象向左平移n個(gè)單位對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為f(x)=2cos2(x+n)+6=2cos2x+2n+6,要使它為偶函數(shù),則需要2n+6=k(kZ),所以n=k2-12(kZ).因?yàn)閚>0,所以當(dāng)k=1時(shí),n有最小值512.8.2sin8x+4解析由題意得A=2,函數(shù)的周期為T=16.T=2,=8,此時(shí)f(x)=2sin8x+.由f(2)=2,即sin8×2+=sin4+=1,則4+=2k+2,kZ,解得=2k+4,kZ.|<2,=4,函數(shù)的解析式為f(x)=2sin8x+4.9.x=-3(答案不唯一)解析將點(diǎn)3,0代入f(x)=sinx+cosx,得=-3.g(x)=-3sinxcosx+sin2x=-32sin2x+12-12cos2x=12-sin2x+6,令2x+6=k+2,kZ,得x=k2+6,kZ.由k=-1,得x=-3.10.解(1)由sin23=32,cos23=-12,f23=322-122-23×32×-12,得f23=2.(2)由cos2x=cos2x-sin2x與sin2x=2sinxcosx得f(x)=-cos2x-3sin2x=-2sin2x+6.所以f(x)的最小正周期是.由正弦函數(shù)的性質(zhì)得2+2k2x+632+2k,kZ,解得6+kx23+k,kZ,所以,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是6+k,23+k(kZ).11.解(1)由已知,有f(x)=1-cos2x2-1-cos2x-32=1212cos2x+32sin2x-12cos2x=34sin2x-14cos2x=12sin2x-6.所以,f(x)的最小正周期T=22=.(2)因?yàn)閒(x)在區(qū)間-3,-6上是減函數(shù),在區(qū)間-6,4上是增函數(shù),f-3=-14,f-6=-12,f4=34.所以f(x)在區(qū)間-3,4上的最大值為34,最小值為-12.思維提升訓(xùn)練12.A解析設(shè)函數(shù)f(x)的最小正周期為T,因?yàn)锳,B兩點(diǎn)之間的距離為5,所以T22+42=5,解得T=6.所以=2T=3.又圖象過(guò)點(diǎn)(0,1),代入得2sin=1,所以=2k+6或=2k+56(kZ).又0,所以=6或=56.所以f(x)=2sin3x+6或f(x)=2sin3x+56.對(duì)于函數(shù)f(x)=2sin3x+6,當(dāng)x略微大于0時(shí),有f(x)>2sin6=1,與圖象不符,故舍去.綜上,f(x)=2sin3x+56.故f(-1)=2sin-3+56=2.13.A解析由題意可知,2>2,118-5814·2,所以23<1.所以排除C,D.當(dāng)=23時(shí),f58=2sin58×23+=2sin512+=2,所以sin512+=1.所以512+=2+2k,即=12+2k(kZ).因?yàn)閨<,所以=12.故選A.14.D解析函數(shù)y1=11-x,y2=2sinx的圖象有公共的對(duì)稱中心(1,0),作出兩個(gè)函數(shù)的圖象如圖.當(dāng)1<x4時(shí),y1<0,而函數(shù)y2在(1,4)上出現(xiàn)1.5個(gè)周期的圖象,在1,32和52,72上是減函數(shù);在32,52和72,4上是增函數(shù).所以函數(shù)y1在(1,4)上函數(shù)值為負(fù)數(shù),且與y2的圖象有四個(gè)交點(diǎn)E,F,G,H.相應(yīng)地,y1在(-2,1)上函數(shù)值為正數(shù),且與y2的圖象有四個(gè)交點(diǎn)A,B,C,D,且xA+xH=xB+xG=xC+xF=xD+xE=2,故所求的橫坐標(biāo)之和為8.15.解析首先化簡(jiǎn)題中的四個(gè)解析式可得:f(x)=2sinx+4,f(x)=2sinx+4,f(x)=sinx,f(x)=2sinx+2.可知f(x)=sinx的圖象要與其他的函數(shù)圖象重合,單純經(jīng)過(guò)平移不能完成,必須經(jīng)過(guò)伸縮變換才能實(shí)現(xiàn),所以f(x)=sinx不能與其他函數(shù)成為“互為生成”函數(shù);同理f(x)=2sinx+4的圖象與f(x)=2sinx+4的圖象也必須經(jīng)過(guò)伸縮變換才能重合,而f(x)=2sinx+2的圖象可以向左平移4個(gè)單位,再向下平移2個(gè)單位即可得到f(x)=2sinx+4的圖象,所以為“互為生成”函數(shù).16.3解析|OA|=|OB|=1,|OC|=2,由tan=7,0,得0<<2,sin>0,cos>0,tan=sincos,sin=7cos,又sin2+cos2=1,得sin=7210,cos=210,OC·OA=15,OC·OB=1,OA·OB=cos+4=-35,得方程組m-35n=15,-35m+n=1,解得m=54,n=74,所以m+n=3.17.(1)解將g(x)=cosx的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(橫坐標(biāo)不變)得到y(tǒng)=2cosx的圖象,再將y=2cosx的圖象向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后得到y(tǒng)=2cosx-2的圖象,故f(x)=2sinx.從而函數(shù)f(x)=2sinx圖象的對(duì)稱軸方程為x=k+2(kZ).(2)解f(x)+g(x)=2sinx+cosx=525sinx+15cosx=5sin(x+)其中sin=15,cos=25.依題意,sin(x+)=m5在0,2)內(nèi)有兩個(gè)不同的解,當(dāng)且僅當(dāng)m5<1,故m的取值范圍是(-5,5).證法一因?yàn)?是方程5sin(x+)=m在0,2)內(nèi)的兩個(gè)不同的解,所以sin(+)=m5,sin(+)=m5.當(dāng)1m<5時(shí),+=22-,即-=-2(+);當(dāng)-5<m<1時(shí),+=232-,即-=3-2(+),所以cos(-)=-cos2(+)=2sin2(+)-1=2m52-1=2m25-1.證法二因?yàn)?是方程5sin(x+)=m在0,2)內(nèi)的兩個(gè)不同的解,所以sin(+)=m5,sin(+)=m5.當(dāng)1m<5時(shí),+=22-,即+=-(+);當(dāng)-5<m<1時(shí),+=232-,即+=3-(+).所以cos(+)=-cos(+).于是cos(-)=cos(+)-(+)=cos(+)cos(+)+sin(+)sin(+)=-cos2(+)+sin(+)sin(+)=-1-m52+m52=2m25-1.