第28練壓軸小題專練(2)明晰考情高考題中填空題的最后2或3個小題，往往出現(xiàn)邏輯思維深刻，難度高檔的題目.考點一與向量有關(guān)的壓軸小題方法技巧(1)以向量為載體的綜合問題，要準(zhǔn)確使用平面向量知識進行轉(zhuǎn)化，最后歸結(jié)為不含向量的問題.(2)平面向量常與三角函數(shù)、平面幾何、解析幾何等相結(jié)合，利用向量共線或數(shù)量積的知識解題.1.在ABC中，已知9，sinBcosAsinC，SABC6，P為線段AB上的點，且xy，則xy的最大值為_.答案3解析由題設(shè)sinBsin(AC)sinAcosCcosAsinCsinCcosA，即sinAcosC0，也即cosC0，C90.又bccosA9，故b29，即b3.ab6，故a4，c5，故建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系xCy，則A(3,0)，B(0,4)，則由題設(shè)可知P(x，y)，直線AB的方程為1且x0，y0，12，即xy3，當(dāng)且僅當(dāng)x，y2時“”成立.2.已知點O是ABC內(nèi)部一點，且滿足2340，則AOB，BOC，AOC的面積之比為_.答案423解析如圖所示，延長OA，OB，OC，使OD2OA，OE3OB，OF4OC，2340，0，即O是DEF的重心，故DOE，EOF，DOF的面積相等，不妨令它們的面積均為1，則AOB的面積為，BOC的面積為，AOC的面積為，故AOB，BOC，AOC的面積之比為423.3.(2017江蘇)如圖，在同一個平面內(nèi)，向量，的模分別為1,1，與的夾角為，且tan7，與的夾角為45.若mn(m，nR)，則mn_.答案3解析如圖，過點C作CDOB交OA的延長線于點D.設(shè)m，n，則在ODC中有ODm，DCn，OC，OCD45，由tan7，得cos，又由余弦定理知，即得42nm0，即m105n，代入得12n249n490，解得n或n，當(dāng)n時，m105<0(舍去)，當(dāng)n時，m105，故mn3.4.已知(1,0)，(1,1)，(x，y).若012時，z(m0，n0)的最大值為2，則mn的最小值為_.答案解析(x，y)(，)xy，y，所以0xy1y2，可行域為一個平行四邊形及其內(nèi)部，由直線z斜率小于零知直線z過點(3,2)取最大值，即2，因此mn(mn)，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.考點二與解析幾何有關(guān)的壓軸小題方法技巧求圓錐曲線范圍，最值問題的常用方法(1)定義性質(zhì)轉(zhuǎn)化法：利用圓錐曲線的定義性質(zhì)進行轉(zhuǎn)化，根據(jù)平面幾何中的結(jié)論確定最值或范圍.(2)目標(biāo)函數(shù)法：建立所求的目標(biāo)函數(shù)，將所求最值轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值解決.(3)條件不等式法：找出與變量相關(guān)的所有限制條件，然后再通過解決不等式(組)求變量的范圍.5.(2018全國改編)已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：1(ab0)的左、右焦點，A是C的左頂點，點P在過A且斜率為的直線上，PF1F2為等腰三角形，F(xiàn)1F2P120，則C的離心率為_.答案解析如圖，作PBx軸于點B.由題意可設(shè)F1F2PF22，則c1，由F1F2P120，可得PB，BF21，故ABa11a2，tanPAB，解得a4，所以e.6.已知A，B是橢圓C上關(guān)于原點對稱的兩點，若橢圓C上存在點P，使得直線PA，PB斜率的絕對值之和為1，則橢圓C的離心率的取值范圍是_.答案解析不妨設(shè)橢圓C的方程為1(a>b>0)，P(x，y)，A(x1，y1)，則B，所以1，1，兩式相減得，所以，所以直線PA，PB斜率的絕對值之和為2，由題意得1，所以a24b24a24c2，即3a24c2，所以e2，又因為0<e<1，所以e<1.7.等腰直角AOB內(nèi)接于拋物線y22px(p0)，O為拋物線的頂點，OAOB，AOB的面積是16，拋物線的焦點為F，若M是拋物線上的動點，則的最大值為_.答案解析因為等腰直角AOB內(nèi)接于拋物線y22px(p0)，O為拋物線的頂點，OAOB，所以可設(shè)A(a，a)(a0)，SAOBa2a16，得a4，將A(4,4)代入y22px，得p2，拋物線的方程為y24x，所以F(1,0).設(shè)M(x，y)，則x0，設(shè)t(0<t1)，則，當(dāng)t時“”成立.8.如圖，拋物線y24x的一條弦AB經(jīng)過焦點F，取線段OB的中點D，延長OA至點C，使OAAC，過點C，D作y軸的垂線，垂足分別為E，G，則EG的最小值為_.答案4解析設(shè)點A(xA，yA)，B(xB，yB)，由題意可知EGOEOG222，當(dāng)直線AB的斜率存在時，設(shè)直線AB的斜率為k，則直線AB的方程為yk(x1)，聯(lián)立得ky24y4k0，所以yA，B，所以yAyB4，由此可知EG4，當(dāng)且僅當(dāng)|yB|4|yA|時等號成立，即EG的最小值為4.當(dāng)直線AB的斜率不存在時，直線AB：x1，此時A(1，2)，B(1,2)，所以C(2，4)，D，即G(0,1)，E(0，4)，所以EG5.綜上，EG的最小值為4.1.(2018天津改編)在如圖所示的平面圖形中，已知OM1，ON2，MON120，2，2，則的值為_.答案6解析如圖，連結(jié)MN.2，2，MNBC，且，33()，3(2)3(21cos12012)6.2.已知向量a，b滿足|a|2|b|0，且關(guān)于x的函數(shù)f(x)2x33|a|x26abx7在實數(shù)集R上單調(diào)遞增，則向量a，b的夾角的取值范圍是_.答案解析求導(dǎo)可得f(x)6x26|a|x6ab，則由函數(shù)f(x)2x33|a|x26abx7在實數(shù)集R上單調(diào)遞增，可得f(x)6x26|a|x6ab0在R上恒成立，即x2|a|xab0恒成立，故判別式a24ab0，再由|a|2|b|0，可得8|b|28|b|2cosa，b，cosa，b，又a，b0，a，b.3.設(shè)集合A(x，y)|(x3sin)2(y3cos)21，R，B(x，y)|3x4y100，記PAB，則點集P所表示的軌跡長度為_.答案4解析由題意得圓(x3sin )2(y3cos )21的圓心(3sin ，3cos )在圓x2y29上，當(dāng)變化時，該圓繞著原點轉(zhuǎn)動，集合A表示的區(qū)域是如圖所示的環(huán)形區(qū)域(陰影部分所示).由于原點(0,0)到直線3x4y100的距離為d2，所以直線3x4y100恰好與圓環(huán)的小圓相切.所以PAB表示的是直線3x4y100截圓環(huán)的大圓x2y216所得的弦長.故點集P所表示的軌跡長度為24.4.已知點M(1,0)，A，B是橢圓y21上的動點，且0，則的取值范圍是_.答案解析設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則(x11，y1)，(x21，y2)，(x1x2，y1y2)，由題意有(x11)(x21)y1y20，所以(x11)(x1x2)y1(y1y2)(x11)x1(x11)x2yy1y2xx1y(x11)(x21)y1y2(x11)xx11xx11x2x122，x12,2.所以當(dāng)x12時，有最大值9，當(dāng)x1時，有最小值.5.設(shè)雙曲線1(a0，b0)的右焦點為F，過點F作與x軸垂直的直線l交兩漸近線于A，B兩點，且與雙曲線在第一象限的交點為P，設(shè)O為坐標(biāo)原點，若(，R)，則該雙曲線的離心率為_.答案解析雙曲線的漸近線方程為yx，焦點F(c,0)，不妨設(shè)yA>0，yB<0，則A，B，P，因為，所以，所以1，解得，又由，得，解得2，所以e.6.已知ABC三個內(nèi)角A，B，C的對應(yīng)邊分別為a，b，c，且C，c2，當(dāng)取得最大值時，的值為_.答案2解析設(shè)ABC的外接圓半徑為R，則2R，bccosA2bcosA2sinBcosAsinBcosA，BA，cosAsincosA4cos2AsinAcosA2(1cos2A)sin2Asin2A2cos2A22sin2.0<A<，0<2A<，<2A<，當(dāng)2A，即A時，取得最大值2，此時ABC中，B，2.7.拋物線C：yx2的焦點為F，其準(zhǔn)線l與y軸交于點A，點M在拋物線C上，當(dāng)時，AMF的面積為_.答案2解析F(0,1)，A(0，1)，過M作MNl，垂足為N，AMF的高為AN，設(shè)M(m>0)，則SAMF2mm.又由，MNMF，AMN為等腰直角三角形，m21m，m2，AMF的面積為2.8.在直角梯形ABCD中，ABAD，ADBC，ABBC2AD2，E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點，以A為圓心，AD為半徑的圓交AB于點G，點P在上運動(如圖).若，其中，R，則6的取值范圍是_.答案2,2解析建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則A(0,0)，B(2,0)，E(2,1)，C(2,2)，D(0,1)，F(xiàn).設(shè)P(cos，sin )，其中0，則(cos，sin )，(2,1)，(cos，sin )(2,1)，即解得62sin 2cos 2sin，0，22sin2，即6的取值范圍是2,2.9.在ABC中，A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知a2b2c2ab，且acsinB2sinC，則_.答案3解析由a2b2c2ab，得2cosC，即cosC，由acsinB2sinC，得，由，得ab2，所以abcosC23.10.設(shè)A，B，C是橢圓1(a>b>0)上的三個不同的點，若四邊形OABC(其中O為坐標(biāo)原點)為矩形，則該橢圓的離心率的最小值為_.答案解析設(shè)點A(x1，y1)，C(x2，y2)，因為四邊形OABC為矩形，所以點B(x1x2，y1y2)，則問題轉(zhuǎn)化為方程組存在實數(shù)解的問題，展開第三個方程，整理得x1x2.易知直線OA和OC的斜率均存在，分別設(shè)為k，由得x，同理x，因此2，令tk2，則關(guān)于t的二次方程t2t10有正解，即240，且38>0，又a>b，所以a23b2，所以e，故橢圓的離心率的最小值為.11.已知平面向量a，b滿足|a|，|b|，|ab|1,3，則ab的取值范圍是_.答案解析如圖，設(shè)平面內(nèi)a，b，|ab|.于是問題轉(zhuǎn)化為在圓環(huán)1r3(r為圓的半徑)上的兩點A，B之間的距離在1,3之間，求的取值范圍.易知，22，其中M為線段AB的中點.又129，故只需考慮2的取值范圍，顯然當(dāng)A，B位于半徑為3的圓周上，且AB的長度為1時，2取得最大值，為322，從而2的取值范圍是02，因此022，從而，即ab的取值范圍是.12.已知拋物線C：y22px(0p4)的焦點為F，點P為C上一動點，A(4,0)，B(p，p)，且PA的最小值為，則BF_.答案解析設(shè)P(x，y)且y22px，則PA，根號下二次函數(shù)的對稱軸為x4p(0,4)，所以在對稱軸處取得最小值，即，解得p3或5(舍去)，經(jīng)檢驗p3符合題意.所以拋物線方程為y26x，B(3,3)，易知點B在拋物線上，所以BF3.