課時(shí)跟蹤檢測(cè)（十一）大題考法數(shù)列的綜合應(yīng)用及數(shù)學(xué)歸納法1數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn2ana1，且a1，a21，a3成等差數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.解：(1)Sn2ana1，當(dāng)n2時(shí)，Sn12an1a1，得，an2an2an1，即an2an1.由a1，a21，a3成等差數(shù)列，得2(a21)a1a3，2(2a11)a14a1，解得a12.數(shù)列an是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列an2n.(2)an2n，Sn2ana12n12，Sn12n22.bn.數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.2(2018浙江“七彩陽光”聯(lián)盟聯(lián)考)已知等比數(shù)列an為遞增數(shù)列，且a4，a3a5，設(shè)bnlog3(nN*)(1)求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn；(2)令Tnb1b2b22b2n1，求使Tn>0成立的最小值n.解：(1)設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，由題意知，兩式相除，得，解得q3或q，an為遞增數(shù)列，q3，a1.ana1qn13n123n5.bnlog3n5，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn(n29n)(2)Tnb1b2b22b2n1(15)(25)(225)(2n15)5n>0，即2n>5n1，24<541,25>551，nmin5.3已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若an3Sn4，bnlog2an1.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式與數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；(2)令cn，其中nN*，若數(shù)列cn的前n項(xiàng)和為Tn，求Tn.解：(1)由a13a14，得a11，由an3Sn4，知an13Sn14，兩式相減并化簡(jiǎn)得an1an，ann1，bnlog2an1log2n2n.(2)由題意知，cn.令Hn，則Hn，得，Hn1.Hn2.又TnHn11，TnHn(TnHn)2.4(2018江蘇泰州中學(xué)模擬)已知數(shù)列an滿足：a11，an1(nN*)，設(shè)bna2n1.(1)求b2，b3，并證明bn12bn2；(2)證明：數(shù)列bn2為等比數(shù)列；若a2k，a2k1,9a2k2成等比數(shù)列，求正整數(shù)k的值解：(1)數(shù)列an滿足a11，an1(nN*)，bna2n1，b2a32a22(a11)4，b3a52a42(a31)10，同理，bn1a2n12a2n2(a2n11)2(bn1)2bn2.(2)證明：b1a11，b120，2，數(shù)列bn2為等比數(shù)列由知bn232n1，bn32n12，a2n132n12，a2na2n1132n11，a2k，a2k1,9a2k2成等比數(shù)列，(32k2)2(32k11)(32k8)，令2kt，得(3t2)2(3t8)，整理，得3t214t80，解得t或t4，kN*，2k4，解得k2.5(2019屆高三浙江五校聯(lián)考)已知各項(xiàng)均不相等的等差數(shù)列an的前4項(xiàng)和為14，且a1，a3，a7恰為等比數(shù)列bn的前3項(xiàng)(1)分別求數(shù)列an，bn的前n項(xiàng)和Sn，Tn；(2)設(shè)Kn為數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和，若不等式SnTnKnn對(duì)一切nN*恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值解：(1)設(shè)數(shù)列an的公差為d，則解得d1或d0(舍去)，a12，所以ann1，Sn.bn2n，Tn2n12.(2)由題意得Kn221322(n1)2n，則2Kn222323n2n(n1)2n1，得Kn22122232n(n1)2n1，Knn2n1.要使SnTnKnn對(duì)一切nN*恒成立，即恒成立，設(shè)g(n)，因?yàn)?lt;<1，所以g(n)隨n的增加而減小，所以g(n)maxg(1)，所以當(dāng)時(shí)不等式恒成立，因此的最小值為.6已知在數(shù)列an中，a1，an1a2an2，nN*，其前n項(xiàng)和為Sn.(1)求證：1<an1<an<2；(2)求證：an；(3)求證：n<Sn<n2.證明：(1)先用數(shù)學(xué)歸納法證明1<an<2.當(dāng)n1時(shí)，1<a1<2，假設(shè)當(dāng)nk時(shí)，1<ak<2.當(dāng)nk1時(shí)，ak1a2ak2(ak1)21，又ak(1,2)，所以ak1(1,2)由知1<an<2，nN*恒成立an1ana3an2(an1)(an2)<0，所以1<an1<an<2成立(2)a1，a2>，當(dāng)n3時(shí)，<1，又1<an<2，所以an.由an1a2an2得2an12ana，即<，所以1<，所以1<(n2，nN*)，所以an<，當(dāng)n1時(shí)，a1，所以an(nN*)所以an.(3)由1<an<2得Sn>n.由an1<1，得Sn<nn2<n2，故n<Sn<n2.