階段質(zhì)量檢測(cè)（二） 專題一二“綜合檢測(cè)”(時(shí)間：120分鐘滿分：150分)一、選擇題(本大題共10小題，每小題4分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1已知m，n是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是()A若m，n，則mnB若m，n，則mnC若m，mn，則nD若m，m，則解析：選D選項(xiàng)A，因?yàn)閚可以是平面內(nèi)的任意一條直線，所以m，n可能平行，可能異面，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；與同一個(gè)平面平行的兩條直線可能平行，也可能相交，還可能異面，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；易知選項(xiàng)C錯(cuò)誤故選D.2“sin A>tan A”是“ABC是鈍角三角形”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件解析：選A若sin A>tan A，則sin A>，因?yàn)閟in A>0，所以1>，易得1<cos A<0，所以A，所以ABC為鈍角三角形假設(shè)B，A，ABC為鈍角三角形，則sin A<tan A.所以“sin A>tan A”是“ABC是鈍角三角形”的充分不必要條件3某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的內(nèi)切球的體積為()A.B.C. D.解析：選D由三視圖可知該幾何體是一個(gè)三棱錐幾何體的表面積S23323627，幾何體的體積V333.設(shè)幾何體的內(nèi)切球的半徑為r，則VSr9r，得r，故幾何體的內(nèi)切球的體積V球r3.故選D.4已知sin，則cos(2 0182)()A B.C D.解析：選C因?yàn)閟insinsincos ，所以cos(2 0182)cos 22cos21221.故選C.5為了得到函數(shù)ysin的圖象，只需將ycos 2x的圖象上的每一點(diǎn)()A向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度B向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度D向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度解析：選Bycos 2xsin，由ysin的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到的函數(shù)圖象的解析式是ysinsin.所以選B.6已知 (，R)，且A，B，C三點(diǎn)不共線()A若，則G是ABC的重心B若，則G是ABC的垂心C若，則G是ABC的內(nèi)心D若，則G是ABC的外心解析：選A如圖，設(shè)ABC中BC邊上的中線為AD，則()，即2.當(dāng)時(shí)，所以().所以G為ABC的重心，A正確當(dāng)或時(shí)，G，B，C三點(diǎn)共線，故B、C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，()，即點(diǎn)G在中線AD的延長(zhǎng)線上，而外心為三角形三邊中垂線的交點(diǎn)，所以G不一定是ABC的外心，D錯(cuò)誤，故選A.7如圖，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB1，BC1的中點(diǎn)下列結(jié)論中，正確的是()AEFBB1 BEF平面ACC1A1CEFBD DEF平面BCC1B1解析：選B如圖，取BB1的中點(diǎn)M，連接ME，MF，延長(zhǎng)ME交AA1于點(diǎn)P，延長(zhǎng)MF交CC1于點(diǎn)Q，連接PQ.E，F(xiàn)分別是AB1，BC1的中點(diǎn)，P是AA1的中點(diǎn)，Q是CC1的中點(diǎn)，從而可得E是MP的中點(diǎn)，F(xiàn)是MQ的中點(diǎn)，所以EFPQ，又PQ平面ACC1A1，EF平面ACC1A1，所以EF平面ACC1A1.故選B.8在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)M是直線AB1上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P是A1C1D所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，記直線D1P與直線CM所成的角為，若的最小值為，則點(diǎn)P的軌跡是()A圓 B橢圓C拋物線 D雙曲線解析：選A將空間中線線角的最值問題轉(zhuǎn)化為線面角的問題點(diǎn)在動(dòng)，平面沒有動(dòng)，將動(dòng)變成定連接CA，CB1，可知平面ACB1平面A1C1D，所以CM平面A1C1D.所以把CM平移到平面A1C1D中，直線D1P與直線CM所成角的最小值即為直線D1P與平面A1C1D所成的線面角，即原問題轉(zhuǎn)化為直線D1P與平面A1C1D所成的線面角為.因?yàn)辄c(diǎn)P是A1C1D上的動(dòng)點(diǎn)，所以點(diǎn)P的軌跡為一個(gè)圓(如圖所示)9向量a，b滿足|a|4，b(a2b)0.則|a4b|()A0 B4C8 D12解析：選B因?yàn)閎(a2b)0，所以b與a2b垂直，如圖，在RtACB中，a，2b，a2b，O為AB的中點(diǎn)，則|a2b|2，所以|a4b|4.10已知點(diǎn)P是四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)，且點(diǎn)P在平面ABCD上的射影O在四邊形ABCD的內(nèi)部，記二面角P-AB-O，P-BC-O，P-CD-O，P-DA-O的大小分別是，則以下四個(gè)命題中正確的是()必不存在點(diǎn)P，使必存在點(diǎn)P，使必存在點(diǎn)P，使必存在點(diǎn)P，使且A BC D解析：選D若要存在某兩個(gè)二面角的平面角相等，則需要射影O到這兩個(gè)二面角棱的距離相等平面四邊形ABCD兩個(gè)內(nèi)角的平分線必有交點(diǎn)，三個(gè)內(nèi)角的平分線不一定交于一點(diǎn)，故命題錯(cuò)誤；易知命題正確，如圖，不規(guī)則平面四邊形ABCD中，M，N的平分線必交于一點(diǎn)；而四邊形ABCD為平行四邊形、梯形時(shí)，也可驗(yàn)證命題是正確的故選D.二、填空題(本大題共7小題，多空題每題6分，單空題每題4分，共36分)11已知tan 2，則tan_，cos2_.解析：tan 2，tan3，cos2.答案：312某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是_，表面積是_解析：由三視圖可知，該幾何體是以四邊形ABB1A1為底面的四棱柱，根據(jù)三視圖易求得該幾何體的體積V226.四邊形ABB1A1為直角梯形，且A1B11，AA1AB2，BB1，表面積S22221222162.答案：616213在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c.若a(1cos C)ccos A，且|8，則ABC面積的最大值是_，當(dāng)ABC面積最大時(shí)tan A_.解析：由a(1cos C)ccos A及正弦定理得sin A(1cos C)sin Ccos A，移項(xiàng)得sin Asin Ccos Asin Acos Csin(AC)sin B，因?yàn)锳，B(0，)，所以AB，所以ab，又a2b2c22bccos A，所以c2bcos A.設(shè)AC邊上的中線為BD，由|8得到BD的長(zhǎng)為4，由余弦定理得16c222ccos A，所以b2，所以ABC的面積Sbcsin A.由基本不等式得S，當(dāng)且僅當(dāng)tan A3時(shí)，等號(hào)成立所以ABC面積的最大值為.答案：314在ABC中，D為AB的中點(diǎn)，AC2CD4，ABC的面積為3.作BECD于E，將BCD沿CD翻折，翻折過程中AC與BE所成的最小角的余弦值為_解析：將BCD沿CD翻折過程中，BE掃過的區(qū)域即為如圖所示的圓面E.故AC與BE所成的最小角即為AC與圓面E所成的線面角由于D為AB的中點(diǎn)，故將ACD沿CD翻折的過程中，點(diǎn)A的軌跡是與圓面E平行的圓面O.此時(shí)AC與BE所成的最小角即為AC與圓面O所成的線面角，即CAO.因?yàn)镈為AB的中點(diǎn)，所以BEOA，因?yàn)锳C2CD4，SABC3，且SABCSACDSBCD，所以CDAOCDBE3，解得AOBE，所以cosCAO.故AC與BE所成的最小角的余弦值為.答案：15在矩形ABCD中，AB4，BC3，沿AC將矩形ABCD折成一個(gè)直二面角B-AC-D，則四面體DABC的外接球的表面積為_，四面體DABC的體積為_解析：由題意知，四面體的外接球的球心到4個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，所以球心在對(duì)角線AC上，且為AC的中點(diǎn)，而AC5，所以外接球的半徑rAC，故外接球的表面積S4r225.因?yàn)槠矫鍰AC平面ABC，所以點(diǎn)D到AC的距離即為點(diǎn)D到平面ABC的距離，為，故四面體D-ABC的體積VSABC43.答案：2516已知向量a，b滿足|ab|a3b|2，則|b|的取值范圍是_解析：法一：如圖，作a，b，3b，則|ab|2，|a3b|2.所以0|4b|4，故有0|b|1.法二：由|ab|a3b|2，得則其中表示向量a與向量b的夾角，當(dāng)cos 0時(shí)，有|a|，代入|a|23|b|24，有23|b|24，所以|b|2，因?yàn)?<cos21，所以0<|b|21；而當(dāng)cos 0時(shí)，|a|2，|b|0.故有0|b|1.答案：0,117.在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB，BCAA11，點(diǎn)M為AB1的中點(diǎn)，點(diǎn)P為體對(duì)角線AC1上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q為底面ABCD上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P，Q可以重合)，則MPPQ的最小值為_解析：由題意，要求MPPQ的最小值，就是求點(diǎn)P到底面ABCD的距離的最小值與MP的最小值之和Q是P在底面ABCD上的射影時(shí)，點(diǎn)P到底面的距離最小，此時(shí)Q在AC上，且PQAC.展開三角形ACC1與三角形AB1C1，使它們?cè)谕粋€(gè)平面上，如圖，易知B1AC1C1AC30，AM，PQAC，可知當(dāng)MQAC，即P，Q，M三點(diǎn)共線時(shí)，MPPQ最小，最小值為sin 60.答案：三、解答題(本大題共5小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)18(本小題滿分14分)(2018天津五區(qū)縣聯(lián)考)在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且8sin22cos 2C7.(1)求tan C的值；(2)若c，sin B2sin A，求a，b的值解：(1)在ABC中，因?yàn)锳BC，所以，則sincos.由8sin22cos 2C7，得8cos22cos 2C7，所以4(1cos C)2(2cos2C1)7，即(2cos C1)20，所以cos C.因?yàn)?C，所以C，于是tan Ctan.(2)由sin B2sin A，得b2a.又c，由余弦定理得c2a2b22abcos，即a2b2ab3.聯(lián)立，解得a1，b2.19(本小題滿分15分)在四棱錐PABCD中，底面ABCD是菱形，ABAP2，CP2，BADBAP120，點(diǎn)E為PB的中點(diǎn)(1)求證：AEBC；(2)求直線AP和平面ACE所成角的正弦值解：(1)證明：APAB，E為PB的中點(diǎn)，AEPB，又BAP120，APBABP30.在RtAPE中，PEPAcosAPE，AE1，PB2.由PB2，CP2，BC2，得BCP90，CEPB，由底面ABCD是菱形，BAD120，易得AC2.AE2CE2AC2，AEC為直角三角形，AECE，又PBCEE，PB平面BCP，CE平面BCP，AE平面BCP，BC平面BCP，AEBC.(2)設(shè)點(diǎn)P到平面ACE的距離為h.VPACEVAPCE，即SACEhSPCEAE，由(1)可知，SACEAECE1，SPCESPBC22，h1，h.直線AP和平面ACE所成角的正弦值為.20(本小題滿分15分)已知函數(shù)f(x)ab，其中a(2cos x，sin 2x)，b(cos x,1)，xR.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，f(A)1，a，且向量m(3，sin B)與n(2，sin C)共線，求b和c的值解：(1)由題知，f(x)2cos2xsin 2x1cos 2xsin 2x12cos，令2k2x2k(kZ)，解得kxk(kZ)，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(kZ)(2)f(A)12cos1，cos1，又<2A<，2A，即A.又a，由余弦定理得a2b2c22bccos A(bc)23bc7.向量m(3，sin B)與n(2，sin C)共線，2sin B3sin C，由正弦定理得2b3c.由得b3，c2.21(本小題滿分15分)在三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，AC1平面ABC，BCCAAC1.(1)求證：AC平面AB1C1；(2)求二面角A1BB1C的余弦值解：(1)證明：在三棱柱ABCA1B1C1中，BCB1C1.因?yàn)锳CB90，所以ACBC，所以ACB1C1.因?yàn)锳C1平面ABC，AC平面ABC，所以AC1AC，因?yàn)锳C1B1C1C1，AC1平面AB1C1，B1C1平面AB1C1，所以AC平面AB1C1.(2)法一：因?yàn)辄c(diǎn)A1在平面A1ABB1內(nèi)，故只需求二面角ABB1C的平面角分別取BB1，CC1的中點(diǎn)M，N，連接AM，MN，AN，由(1)可知，AB1AB，因?yàn)镸為BB1的中點(diǎn)，所以AMBB1.因?yàn)锳C1平面ABC，BC平面ABC，所以AC1BC，又因?yàn)锳CB90，所以ACBC，因?yàn)锳CAC1A，AC平面ACC1，AC1平面ACC1，所以BC平面ACC1，因?yàn)镃C1平面ACC1，所以BCCC1，即平行四邊形BCC1B1為矩形，因?yàn)镸，N分別為BB1，CC1的中點(diǎn)，所以MNBB1，所以AMN為二面角ABB1C的平面角設(shè)BCCAAC11，則ABAB1BB1，MN1，AN，所以AM.由余弦定理得，cosAMN，所以二面角A1BB1C的余弦值為.法二：如圖所示，以A為原點(diǎn)，分別以AC所在直線為x軸，底面內(nèi)AC的垂線為y軸，AC1所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)BCCAAC11，由題意知A(0,0,0)，B(1,1,0)，C(1,0,0)，B1(0,1,1)，所以(1,1,0)，1(0,1,1)，(0,1,0)，1(1,1,1)設(shè)平面A1B1BA的法向量為m(x1，y1，z1)，平面BB1C的法向量為n(x2，y2，z2)由得可取m(1，1,1)由得可取n(1,0,1)于是|cosm，n|，由題意知，所求二面角的平面角為銳角，故二面角A1BB1C的余弦值為.22(本小題滿分15分)如圖，在三棱臺(tái)ABCA1B1C1中，AB4，BC2，CA2，B1C11，CC1，BCCC1.D是AC上的一點(diǎn)，滿足AD3DC，過點(diǎn)B1，C1，D的平面交AB于點(diǎn)F.(1)求證：BCDF；(2)若二面角ABCB1的平面角的大小為60，求直線AB1與平面B1C1DF所成角的正切值解：(1)證明：因?yàn)锳BCA1B1C1為三棱臺(tái)，所以BCB1C1，又因?yàn)锽C平面B1C1DF，B1C1平面B1C1DF，所以BC平面B1C1DF，又因?yàn)锽C平面ABC，平面ABC平面B1C1DFDF，所以BCDF.(2)因?yàn)锳B4，BC2，CA2，所以AB2BC2CA2，所以BCCA，又因?yàn)锽CCC1，平面ABC平面BCB1BC，所以ACC1是二面角ABCB1的平面角，即ACC160，又因?yàn)镃DCA，CC1，所以C1D，所以C1D2CD2CC，所以C1DC90，即ADDC1，因?yàn)锽CDF，BCAC，所以ADDF，又因?yàn)镈C1DFD，DC1平面B1C1DF，DF平面B1C1DF，所以AD平面B1C1DF，連接DB1，則AB1D是直線AB1與平面B1C1DF所成的角易知BC平面ACC1A1，所以B1C1平面ACC1A1，因?yàn)镈C1平面ACC1A1，所以B1C1DC1，又因?yàn)镈C1，B1C11，所以DB1，所以tanAB1D.所以直線AB1與平面B1C1DF所成角的正切值為.