第27練壓軸小題專練(1)明晰考情高考題中填空題的最后2或3個小題，往往出現(xiàn)邏輯思維深刻，難度高檔的題目.考點一與函數(shù)有關(guān)的壓軸小題方法技巧本類壓軸題常以超越方程、分段函數(shù)、抽象函數(shù)等為載體，考查函數(shù)性質(zhì)、函數(shù)零點、參數(shù)的范圍和通過函數(shù)性質(zhì)求解不等式.解決該類問題的途徑往往是構(gòu)造函數(shù)，進而研究函數(shù)的性質(zhì)，利用函數(shù)性質(zhì)去求解問題是常用方法，其間要注意導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.1.偶函數(shù)f(x)滿足f(x1)f(x1)，且當(dāng)x1,0時，f(x)x2，若函數(shù)g(x)f(x)|lgx|，則g(x)在(0,10)上的零點個數(shù)為_.答案10解析由題意g(x)f(x)|lg x|f(x1)f(x1)，f(x)f(x2)，故f(x)是周期函數(shù)，且T2，又函數(shù)f(x)是R上的偶函數(shù)，f(1x)f(1x)，f(x)的圖象關(guān)于x1對稱，當(dāng)x>0時，在同一坐標(biāo)系中作出yf(x)和y|lg x|的圖象，如圖所示.由圖象知函數(shù)g(x)的零點個數(shù)為10.2.已知函數(shù)f(x)2x(x<0)與g(x)log2(xa)的圖象上存在關(guān)于y軸對稱的點，則a的取值范圍是_.答案(，)解析由f(x)關(guān)于y軸對稱的函數(shù)為h(x)f(x)2x(x>0)，令h(x)g(x)，得2xlog2(xa)(x>0)，則方程2xlog2(xa)在(0，)上有解，作出y2x與ylog2(xa)的圖象，如圖所示，當(dāng)a0時，函數(shù)y2x與ylog2(xa)的圖象在(0，)上必有交點，符合題意；若a>0，兩函數(shù)在(0，)上必有交點，則log2a<，解得0<a<，綜上可知，實數(shù)a的取值范圍是(，).3.函數(shù)f(x)的定義域為D，若滿足：f(x)在D內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；存在a，bD使得f(x)在a，b上的值域為，則稱函數(shù)f(x)為“成功函數(shù)”.若函數(shù)f(x)logm(mx2t)(其中m>0，且m1)是“成功函數(shù)”，則實數(shù)t的取值范圍為_.答案解析無論m>1還是0<m<1，f(x)logm(mx2t)都是R上的單調(diào)增函數(shù)，故應(yīng)有則問題可轉(zhuǎn)化為求f(x)，即f(x)logm(mx2t)，即mx2t在R上有兩個不相等的實數(shù)根的問題，令(>0)，則mx2t可化為2t22，結(jié)合圖形(圖略)可得t.4.(2018江蘇省如東高級中學(xué)月考)已知函數(shù)f(x)(x23)ex，設(shè)關(guān)于x的方程f2(x)af(x)0(aR)有4個不同的實數(shù)解，則a的取值范圍是_.答案(2e,0)解析由題意知，f(x)2xex(x23)exex(x22x3)，令f(x)0，解得x1或x3，所以當(dāng)x<3或x>1時，f(x)>0，當(dāng)3<x<1時，f(x)<0，所以f(x)在(，3)上單調(diào)遞增，在(3,1)上單調(diào)遞減，在(1，)上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x3時，f(x)取得極大值；當(dāng)x1時，f(x)取得極小值2e，當(dāng)x時，f(x)0，作出函數(shù)f(x)的圖象，如圖所示，由f2(x)af(x)0，得f(x)0或f(x)a，由圖象可知f(x)0有兩解，所以f(x)a也有兩解，所以a或2e<a<0.考點二與數(shù)列有關(guān)的壓軸小題方法技巧數(shù)列與函數(shù)的交匯、數(shù)列與不等式的交匯問題是高考的熱點.解決這類問題的關(guān)鍵在于利用數(shù)列與函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，將條件進行準確的轉(zhuǎn)化，確定數(shù)列的通項或前n項和，利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象求解最值問題，不等關(guān)系或恒成立問題.5.在公比為q的正項等比數(shù)列an中，a44，則當(dāng)2a2a6取得最小值時，log2q_.答案解析2a2a6228，即2a2a6a4q28，所以q42q220，即(q2)20，當(dāng)且僅當(dāng)q42時取等號，所以log2qlog22.6.已知數(shù)列an滿足：a11，an1(nN*).若bn1(n2)(nN*)，b1，且數(shù)列bn是單調(diào)遞增數(shù)列，則實數(shù)的取值范圍是_.答案解析由an1，得1，即12，所以是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以12n12n，所以bn1(n2)2n.因為數(shù)列bn是單調(diào)遞增數(shù)列，所以當(dāng)n2時，由bn1>bn，得(n2)2n>(n12)2n1，解得n>21，即2>21，所以<；當(dāng)n1時，由b2>b1得(12)2>，解得<，因此<.7.已知Sn和Tn分別為數(shù)列an與數(shù)列bn的前n項和，且a1e4，SneSn1e5，an，則當(dāng)Tn取得最大值時n的值為_.答案4或5解析由SneSn1e5，得Sn1eSne5(n2)，兩式相減，得anean1(n2)，易知a2e3，所以數(shù)列an是首項為e4，公比為的等比數(shù)列，所以ane5n.因為an，所以bn5n.由即解得4n5，所以當(dāng)n4或n5時，Tn取得最大值.8.已知函數(shù)f(x)x2(a8)xa2a12，且f(a24)f(2a8)，設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為Sn(nN*)，若Snf(n)，則的最小值為_.答案解析由題意可得a242a8或a242a82，解得a1或a4.當(dāng)a1時，f(x)x29x10，數(shù)列an不是等差數(shù)列；當(dāng)a4時，f(x)x24x，Snf(n)n24n，a15，a27，an5(75)(n1)2n3，1，當(dāng)且僅當(dāng)n1，即n1(舍負)時取等號，n為正整數(shù)，2<1<3，當(dāng)n2時，；當(dāng)n3時，故當(dāng)n3時原式取最小值.1.(2018全國改編)已知f(x)是定義域為(，)的奇函數(shù)，滿足f(1x)f(1x).若f(1)2，則f(1)f(2)f(3)f(50)_.答案2解析f(x)是奇函數(shù)，f(x)f(x)，f(1x)f(x1).f(1x)f(1x)，f(x1)f(x1)，f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)f(x)，函數(shù)f(x)是周期為4的周期函數(shù).由f(x)為奇函數(shù)及其定義域為R得f(0)0.又f(1x)f(1x)，f(x)的圖象關(guān)于直線x1對稱，f(2)f(0)0，f(2)0.又f(1)2，f(1)2，f(1)f(2)f(3)f(4)f(1)f(2)f(1)f(0)20200，f(1)f(2)f(3)f(4)f(49)f(50)012f(49)f(50)f(1)f(2)202.2.已知實數(shù)f(x)若關(guān)于x的方程f2(x)f(x)t0有三個不同的實根，則t的取值范圍為_.答案(，2解析設(shè)mf(x)，作出函數(shù)f(x)的圖象，如圖所示，則當(dāng)m1時，mf(x)有兩個根，當(dāng)m<1時，mf(x)有一個根.若關(guān)于x的方程f2(x)f(x)t0有三個不同的實根，則等價為m2mt0有兩個不同的實數(shù)根m1，m2，且m11，m21.當(dāng)m1時，t2，此時由m2m20，解得m1或m2，f(x)1有兩個根，f(x)2有一個根，滿足條件；當(dāng)m1時，設(shè)h(m)m2mt，其對稱軸為m，則需h(1)<0即可，即11t<0，解得t<2.綜上，實數(shù)t的取值范圍為t2.3.若存在兩個正實數(shù)x，y使等式2xm(y2ex)(lnylnx)0成立(其中e2.71828)，則實數(shù)m的取值范圍是_.答案(，0)解析當(dāng)m0時，不滿足題意，由題意可得m，則ln，令t，構(gòu)造函數(shù)g(t)lnt(t>0)，則g(t)lntlnt(t>0)，設(shè)h(t)g(t)，則h(t)<0恒成立，則g(t)在(0，)上單調(diào)遞減，當(dāng)te時，g(t)0，則當(dāng)t(0，e)時，g(t)>0，函數(shù)g(t)單調(diào)遞增，當(dāng)t(e，)時，g(t)<0，函數(shù)g(t)單調(diào)遞減，則當(dāng)te時，g(t)取得最大值g(e)，且當(dāng)t0時，g(t)，據(jù)此有，m<0或m.綜上可得實數(shù)m的取值范圍是(，0).4.已知函數(shù)f(x)，函數(shù)g(x)asinx2a2(a0)，若存在x1，x20,1，使得f(x1)g(x2)成立，則實數(shù)a的取值范圍是_.答案解析當(dāng)x0,1時，f(x)是增函數(shù)，其值域是0,1.g(x)asinx2a2(a0)的值域是，因為存在x1，x20,1，使得f(x1)g(x2)成立，所以0,1，若0,1，則22a1或2a0，即a<或a，所以a的取值范圍是.5.設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn，若為常數(shù)，則稱數(shù)列an為“精致數(shù)列”.已知等差數(shù)列bn的首項為1，公差不為0，若數(shù)列bn為“精致數(shù)列”，則數(shù)列bn的通項公式為_.答案bn2n1(nN*)解析設(shè)等差數(shù)列bn的公差為d，由為常數(shù)，設(shè)k且b11，得nn(n1)dk，即2(n1)d4k2k(2n1)d，整理得(4k1)dn(2k1)(2d)0，因為對任意正整數(shù)n上式恒成立，則解得所以數(shù)列bn的通項公式為bn2n1(nN*).6.若數(shù)列an滿足0，nN*，p為非零常數(shù)，則稱數(shù)列an為“夢想數(shù)列”.已知正項數(shù)列為“夢想數(shù)列”，且b1b2b3b99299，則b8b92的最小值是_.答案4解析依題意可得bn1pbn，則數(shù)列bn為等比數(shù)列.又b1b2b3b99299b，則b502.b8b9222b504，當(dāng)且僅當(dāng)b8b922，即該數(shù)列為常數(shù)數(shù)列時取等號.7.當(dāng)n為正整數(shù)時，定義函數(shù)N(n)表示n的最大奇因數(shù).如N(3)3，N(10)5，S(n)N(1)N(2)N(3)N(2n)，則S(5)_.答案342解析N(2n)N(n)，N(2n1)2n1，而S(n)N(1)N(2)N(3)N(2n)，S(n)N(1)N(3)N(5)N(2n1)N(2)N(4)N(2n)，S(n)1352n1N(1)N(2)N(3)N(2n1)，S(n)S(n1)(n2)，即S(n)S(n1)4n1，又S(1)N(1)N(2)112，S(5)S(1)S(5)S(4)S(4)S(3)S(2)S(1)4443424，S(5)24424344342.8.拋物線x2y在第一象限內(nèi)圖象上的一點(ai,2a)處的切線與x軸交點的橫坐標(biāo)記為ai1，其中iN*，若a232，則a2a4a6_.答案42解析拋物線x2y可化為y2x2，則y4x，拋物線在點(ai,2a)處的切線方程為y2a4ai(xai)，所以切線與x軸交點的橫坐標(biāo)為ai1ai，所以數(shù)列a2k是以a232為首項，為公比的等比數(shù)列，所以a2a4a6328242.9.已知等比數(shù)列an的前n項和為Sn，a2>a1，S4a128，且a32是a2，a4的等差中項，若數(shù)列的前n項和Tn2n2M恒成立，則M的最小值為_.答案解析設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，依題意得2(a32)a2a4，又S4a128，a2a3a428，得a38，解得或又a2>a1，a12，q2，an2n，Sn2n12.令bn，bn，Tn.故Tn2n22n2.又Tn2n2(Tn12n1)2n2>2n20，即Tn2n2>Tn12n1，故數(shù)列Tn2n2單調(diào)遞減，故(Tn2n2)max21.又Tn2n2M恒成立，即MTn2n2恒成立，故M，所以M的最小值為.10.已知數(shù)列an的奇數(shù)項是首項為1的等差數(shù)列，偶數(shù)項是首項為2的等比數(shù)列，數(shù)列an的前n項和為Sn，且滿足a4S3，a9a3a4，則使得恰好為數(shù)列an的奇數(shù)項的正整數(shù)k的值為_.答案1解析設(shè)等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q，則a11，a22，a31d，a42q，a914d.因為a4S3，a9a3a4，所以121d2q,14d1d2q，解得d2，q3，則對于nN*，有a2n12n1，a2n23n1，所以S2n13(2n1)2(13323n1)3nn21，S2n1S2na2n3n1n21.若恰好為數(shù)列an的奇數(shù)項，則可設(shè)m(m為正奇數(shù))，所以m，即(3m)3k1(m1)(k21).當(dāng)k1時，m3，滿足條件；當(dāng)k1時，由>0，得>0，解得1<m<3，因為m為正奇數(shù)，所以此時滿足條件的正整數(shù)k不存在.綜上，k1.11.已知函數(shù)f(x)x2(ln3x)22a(x3ln3x)10a2，若存在x0使得f(x0)成立，則實數(shù)a的值為_.答案解析f(x)x2(ln3x)22a(x3ln3x)10a2(xa)2(ln3x3a)2表示點M(x，ln3x)與點N(a,3a)距離的平方，M點的軌跡是函數(shù)g(x)ln3x的圖象，N點的軌跡是直線y3x，則g(x).作g(x)的平行于直線y3x的切線，切點為(x1，y1)，則3，所以x1，切點為P，所以曲線上點P到直線y3x的距離最小，最小距離d，所以f(x)，根據(jù)題意，要使f(x0)，則f(x0)，此時N為垂足，點M與點P重合，kMN，得a.12.(2018江蘇省海安高級中學(xué)月考)已知公比不為1的等比數(shù)列an中，a11，a2a，且an1k(anan2)對任意正整數(shù)n都成立，且對任意相鄰三項am，am1，am2按某順序排列后成等差數(shù)列，則滿足題意的k的值為_.答案解析設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，則qa(a1)，所以amam1，am1am，am2am1.若am1為等差中項，則2am1amam2，即2amam1am1，解得a1，不合題意.若am為等差中項，則2amam1am2，即2am1amam1，化簡得a2a20，解得a2或a1(舍去).k.若am2為等差中項，則2am2am1am，即2am1amam1，化簡得2a2a10，解得a或a1(舍去)，k.綜上可得滿足要求的實數(shù)k有且僅有一個，且k.