第21練圓錐曲線的定義、方程與性質(zhì)明晰考情1.命題角度：圓錐曲線的定義、方程與幾何性質(zhì)是高考考查的熱點(diǎn).2.題目難度：中等偏難.考點(diǎn)一圓錐曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程方法技巧(1)應(yīng)用圓錐曲線的定義解題時(shí)，一定不要忽視定義中的隱含條件.(2)凡涉及橢圓或雙曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離、拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離，一般可以利用定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化.(3)求解圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法是“先定型，后計(jì)算”.1.已知A(0,7)，B(0，7)，C(12,2)，以C為一個(gè)焦點(diǎn)作過(guò)A，B的橢圓，則橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)F的軌跡方程是_.答案y21(y1)解析由兩點(diǎn)間距離公式，可得AC13，BC15，AB14，因?yàn)锳，B都在橢圓上，所以AFACBFBC，AFBFBCAC2<14，故F的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線的下支.由c7，a1，得b248，所以F的軌跡方程是y21(y1).2.已知雙曲線1(a>0，b>0)的左焦點(diǎn)為F，離心率為.若經(jīng)過(guò)F和P(0,4)兩點(diǎn)的直線平行于雙曲線的一條漸近線，則該雙曲線的方程為_.答案1解析由e知ab，且ca.雙曲線漸近線方程為yx.又kPF1，c4，則a2b28.故雙曲線方程為1.3.已知拋物線yx2，A，B是該拋物線上兩點(diǎn)，且AB24，則線段AB的中點(diǎn)P離x軸最近時(shí)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為_.答案8解析由題意得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x216y，焦點(diǎn)F(0,4)，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由ABAFBF(y14)(y24)y1y28，y1y216，則線段AB的中點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y8，線段AB的中點(diǎn)P離x軸最近時(shí)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為8.4.(2018如皋調(diào)研)已知橢圓C：1的右頂點(diǎn)為A，點(diǎn)M(2,4)，過(guò)橢圓C上任意一點(diǎn)P作直線MA的垂線，垂足為H，則2PMPH的最小值為_.答案22解析在橢圓中，a2，c1，所以橢圓的右焦點(diǎn)為F(1，0)，右準(zhǔn)線方程為x4.過(guò)點(diǎn)P作右準(zhǔn)線的垂線，設(shè)垂足為G，則PHPG2，由橢圓的第二定義得e，所以PG2PF.因此2PMPH2PM2PF22(PMPF)22MF222，當(dāng)且僅當(dāng)M，P，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，所以2PMPH的最小值為22.考點(diǎn)二圓錐曲線的幾何性質(zhì)方法技巧(1)確定橢圓和雙曲線的離心率的值及范圍，就是確立一個(gè)關(guān)于a，b，c的方程(組)或不等式(組)，再根據(jù)a，b，c的關(guān)系消掉b得到a，c的關(guān)系式.(2)要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點(diǎn)的坐標(biāo)的范圍等.5.(2018全國(guó)改編)雙曲線1(a0，b0)的離心率為，則其漸近線方程為_.答案yx解析雙曲線1的漸近線方程為bxay0.又離心率，a2b23a2，ba(a0，b0).漸近線方程為axay0，即yx.6.若雙曲線1(a>0，b>0)上存在點(diǎn)M，使得右焦點(diǎn)F關(guān)于直線OM(O為雙曲線的中心)的對(duì)稱點(diǎn)在y軸上，則該雙曲線的離心率的取值范圍是_.答案(，)解析若存在點(diǎn)M，使得右焦點(diǎn)F關(guān)于直線OM(O為雙曲線的中心)的對(duì)稱點(diǎn)在y軸上，則只要這個(gè)雙曲線上存在點(diǎn)M，使得OM的斜率的絕對(duì)值為1即可，所以只要漸近線的斜率的絕對(duì)值大于1，也就是離心率大于.7.(2018全國(guó)改編)設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：1(a0，b0)的左、右焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn).過(guò)F2作C的一條漸近線的垂線，垂足為P.若PF1OP，則C的離心率為_.答案解析如圖，過(guò)點(diǎn)F1向OP的反向延長(zhǎng)線作垂線，垂足為P，連結(jié)PF2，由題意可知，四邊形PF1PF2為平行四邊形，且PPF2是直角三角形.因?yàn)镕2Pb，F(xiàn)2Oc，所以O(shè)Pa.又PF1aF2P，PP2a，所以F2Pab，所以ca，所以e.8.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線1(a0，b0)的右支與焦點(diǎn)為F的拋物線x22py(p0)交于A，B兩點(diǎn)，若AFBF4OF，則該雙曲線的漸近線方程為_.答案yx解析設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得a2y22pb2ya2b20，y1,2，y1y2.又AFBF4OF，y1y24，即y1y2p，p，即，雙曲線的漸近線方程為yx.考點(diǎn)三圓錐曲線的綜合問(wèn)題方法技巧(1)圓錐曲線范圍、最值問(wèn)題的常用方法定義性質(zhì)轉(zhuǎn)化法；目標(biāo)函數(shù)法；條件不等式法.(2)圓錐曲線中的定值、定點(diǎn)問(wèn)題可以利用特例法尋求突破，然后對(duì)一般情況進(jìn)行證明.9.已知方程1表示橢圓，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_.答案解析由1轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)方程為1，假設(shè)焦點(diǎn)在x軸上，則2m(m1)0，解得m1；假設(shè)焦點(diǎn)在y軸上，則(m1)2m0，解得2m.綜上可知，m的取值范圍為.10.已知F1，F(xiàn)2是雙曲線E：1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在E上，MF1與x軸垂直，sinMF2F1，則E的離心率為_.答案解析如圖，因?yàn)镸F1與x軸垂直，所以MF1.又sinMF2F1，所以，即MF23MF1.由雙曲線的定義得2aMF2MF12MF1，所以b2a2，所以c2b2a22a2，所以離心率e.11.過(guò)拋物線yax2 (a>0)的焦點(diǎn)F作一條直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若線段AF，BF的長(zhǎng)分別為m，n，則_.答案解析顯然直線AB的斜率存在，故設(shè)直線方程為ykx，與yax2聯(lián)立，消去y得ax2kx0，設(shè)A(x1，ax)，B(x2，ax)，因?yàn)閤1,2，所以x1x2，x1x2，xx，max，nax，mn，mn，.12.已知橢圓1(a>b>0)的短軸長(zhǎng)為2，上頂點(diǎn)為A，左頂點(diǎn)為B，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，且F1AB的面積為，點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn)，則的取值范圍為_.答案1，4解析由已知得2b2，故b1，F(xiàn)1AB的面積為，(ac)b，ac2，又a2c2(ac)(ac)b21，a2，c，又2PF12，1PF4PF14，14，即的取值范圍為.1.若點(diǎn)O和點(diǎn)F(2,0)分別為雙曲線y21(a0)的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線右支上的任意一點(diǎn)，則的取值范圍為_.答案32，)解析由題意，得22a21，即a，設(shè)P(x，y)，x，(x2，y)，則(x2)xy2x22x12，因?yàn)閤，所以的取值范圍為32，).2.若橢圓的對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸，且短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)組成一個(gè)正三角形，焦點(diǎn)到同側(cè)頂點(diǎn)的距離為，則橢圓的方程為_.答案1或1解析由題意，得所以所以b2a2c29.所以當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，橢圓的方程為1；當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，橢圓的方程為1.故橢圓的方程為1或1.3.已知A(1,2)，B(1,2)，動(dòng)點(diǎn)P滿足.若雙曲線1(a>0，b>0)的漸近線與動(dòng)點(diǎn)P的軌跡沒(méi)有公共點(diǎn)，則雙曲線離心率的取值范圍是_.答案(1,2)解析設(shè)P(x，y)，由題設(shè)條件，得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為(x1)(x1)(y2)(y2)0，即x2(y2)21，它是以(0,2)為圓心，1為半徑的圓.又雙曲線1(a>0，b>0)的漸近線方程為yx，即bxay0，由題意，可得>1，即>1，所以e<2，又e>1，故1<e<2.解題秘籍(1)橢圓的焦點(diǎn)位置不明確時(shí)，要分焦點(diǎn)在x軸上或y軸上進(jìn)行討論.(2)范圍問(wèn)題要注意圓錐曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)的范圍和幾何意義，不要忽略離心率本身的限制條件.1. (2018全國(guó)改編)已知橢圓C：1的一個(gè)焦點(diǎn)為(2,0)，則C的離心率為_.答案解析a24228，a2，e.2.已知橢圓1(a)的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，且離心率e，若點(diǎn)P在橢圓上，PF14，則PF2的值為_.答案2解析橢圓1(a)，橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，b，c，則離心率e，即，解得a29，a3，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a6，由橢圓的定義可知，PF1PF24PF26，PF22.3.設(shè)F為拋物線C：y24x的焦點(diǎn)，曲線y(k>0)與C交于點(diǎn)P，PFx軸，則k_.答案2解析因?yàn)閽佄锞€方程是y24x，所以F(1,0). 又因?yàn)镻Fx軸，所以P(1,2)，把P點(diǎn)坐標(biāo)代入曲線方程y(k>0)，即2，所以k2.4.過(guò)拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)作直線交拋物線于P，Q兩點(diǎn)，若線段PQ中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，PQ10，則拋物線的方程是_.答案y28x解析設(shè)拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)為F，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由拋物線的定義可知，PQPFQFx1x2(x1x2)p，線段PQ中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，又PQ10，106p，可得p4，拋物線的方程為y28x.5.已知直線l過(guò)點(diǎn)A(1,0)且與B：x2y22x0相切于點(diǎn)D，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的雙曲線E過(guò)點(diǎn)D，一條漸近線平行于l，則E的方程為_.答案1解析直線l的斜率存在，可設(shè)直線方程為yk(x1)，B：x2y22x0的圓心為(1,0)，半徑為1，由相切可得圓心到直線的距離d1，即k，所以直線l的方程為y(x1)，故漸近線方程為yx，聯(lián)立直線l和圓的方程，解得x，y，即D，設(shè)雙曲線方程為y2x2m(m0)，代入點(diǎn)D，解得m，所以雙曲線方程為1.6.已知雙曲線：1(a>0，b>0)的一條漸近線為l，圓C：(xa)2y28與l交于A，B兩點(diǎn)，若ABC是等腰直角三角形，且5(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則雙曲線的離心率為_.答案解析雙曲線的漸近線方程為yx，圓(xa)2y28的圓心為(a,0)，半徑r2，由于ACB，由勾股定理得AB4，故OAAB1.在OAC，OBC中，由余弦定理得cosBOC，解得a213.由圓心到直線yx的距離為2，得2，結(jié)合c2a2b2，解得c，故離心率為.7.(2018天津改編)已知雙曲線1(a0，b0)的離心率為2，過(guò)右焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn).設(shè)A，B到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為d1和d2，且d1d26，則雙曲線的方程為_.答案1解析如圖，不妨設(shè)A在B的上方，則A，B.其中的一條漸近線為bxay0，則d1d22b6，b3.又由e2，知a2b24a2，a.雙曲線的方程為1.8.設(shè)F1，F(xiàn)2分別為雙曲線1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，雙曲線上存在一點(diǎn)P使得PF1PF23b，PF1PF2ab，則該雙曲線的離心率為_.答案解析不妨設(shè)P為雙曲線右支上一點(diǎn)，PF1r1，PF2r2.根據(jù)雙曲線的定義，得r1r22a，又r1r23b，故r1，r2.又r1r2ab，所以ab，解得(負(fù)值舍去)，故e.9.設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓1的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓上任一點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(6,4)，則PMPF1的最大值為_.答案15解析因?yàn)闄E圓1中，a5，b4，所以c3，得焦點(diǎn)為F1(3,0)，F(xiàn)2(3,0).根據(jù)橢圓的定義，得PMPF1PM(2aPF2)10(PMPF2).因?yàn)镻MPF2MF2，當(dāng)且僅當(dāng)P在MF2的延長(zhǎng)線上時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)PMPF1的最大值為10515.10.已知F是拋物線C：y28x的焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)，F(xiàn)M的延長(zhǎng)線交y軸于點(diǎn)N.若M為FN的中點(diǎn)，則FN_.答案6解析如圖，不妨設(shè)點(diǎn)M位于第一象限內(nèi)，拋物線C的準(zhǔn)線交x軸于點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)M作準(zhǔn)線的垂線，垂足為點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)P，PMOF.由題意知，F(xiàn)(2,0)，F(xiàn)OAO2.點(diǎn)M為FN的中點(diǎn)，PMOF，MPFO1.又BPAO2，MBMPBP3.由拋物線的定義知MFMB3，故FN2MF6.11.已知拋物線y22px(p>0)上的一點(diǎn)M(1，t)(t>0)到焦點(diǎn)的距離為5，雙曲線1(a>0)的左頂點(diǎn)為A，若雙曲線的一條漸近線與直線AM平行，則實(shí)數(shù)a的值為_.答案3解析由題意知15，p8.M(1,4)，由于雙曲線的左頂點(diǎn)A(a,0)，且直線AM平行于一條雙曲線的漸近線，則a3.12.已知橢圓C：1(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P是橢圓上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，若M是線段PF1上一點(diǎn)，且滿足MF12，MF20，則橢圓C的離心率的取值范圍為_.答案解析設(shè)P(x，y)(y0)，取MF1的中點(diǎn)N，由MF12知，NF1，解得點(diǎn)N，又MF20，所以MF2，連結(jié)ON，由三角形的中位線可知，即(x，y)0，整理得(xc)2y2c2(y0)，所以點(diǎn)P的軌跡為以(c,0)為圓心，c為半徑的圓(去除兩點(diǎn)(0,0)，(2c,0)，要使得圓與橢圓有公共點(diǎn)，則acc，所以e，又0<e<1，所以橢圓的離心率的取值范圍為.