專題10 四邊形一、選擇題1（2017四川省南充市）已知菱形的周長為，兩條對角線的和為6，則菱形的面積為（）A2BC3D4【答案】D考點：菱形的性質(zhì)2（2017四川省廣安市）下列說法：四邊相等的四邊形一定是菱形順次連接矩形各邊中點形成的四邊形一定是正方形對角線相等的四邊形一定是矩形經(jīng)過平行四邊形對角線交點的直線，一定能把平行四邊形分成面積相等的兩部分其中正確的有（）個A4B3C2D1【答案】D【解析】試題分析：四邊相等的四邊形一定是矩形，錯誤；順次連接矩形各邊中點形成的四邊形一定是菱形，錯誤；對角線相等的平行四邊形才是矩形，錯誤；經(jīng)過平行四邊形對角線交點的直線，一定能把平行四邊形分成面積相等的兩部分，正確；其中正確的有1個，故選D考點：1中點四邊形；2平行四邊形的性質(zhì)；3菱形的判定；4矩形的判定與性質(zhì)；5正方形的判定3（2017四川省眉山市）如圖，EF過ABCD對角線的交點O，交AD于E，交BC于F，若ABCD的周長為18，OE=1.5，則四邊形EFCD的周長為（）A14B13C12D10【答案】C考點：平行四邊形的性質(zhì)4（2017四川省綿陽市）如圖，矩形ABCD的對角線AC與BD交于點O，過點O作BD的垂線分別交AD，BC于E，F(xiàn)兩點若AC=，AEO=120°，則FC的長度為（）A1B2CD【答案】A【解析】試題分析：EFBD，AEO=120°，EDO=30°，DEO=60°，四邊形ABCD是矩形，OBF=OCF=30°，BFO=60°，F(xiàn)OC=60°30°=30°，OF=CF，又RtBOF中，BO=BD=AC=，OF=tan30°×BO=1，CF=1，故選A考點：1矩形的性質(zhì)；2全等三角形的判定與性質(zhì)；3解直角三角形5（2017四川省達(dá)州市）如圖，將矩形ABCD繞其右下角的頂點按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°至圖位置，繼續(xù)繞右下角的頂點按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°至圖位置，以此類推，這樣連續(xù)旋轉(zhuǎn)2017次若AB=4，AD=3，則頂點A在整個旋轉(zhuǎn)過程中所經(jīng)過的路徑總長為（）A2017B2034C3024D3026【答案】D考點：1軌跡；2矩形的性質(zhì)；3旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；4規(guī)律型；5綜合題6（2017山東省棗莊市）如圖，O是坐標(biāo)原點，菱形OABC的頂點A的坐標(biāo)為（3，4），頂點C在x軸的負(fù)半軸上，函數(shù)（x0）的圖象經(jīng)過頂點B，則k的值為（）A12B27C32D36【答案】C【解析】試題分析：A（3，4），OA= =5，四邊形OABC是菱形，AO=CB=OC=AB=5，則點B的橫坐標(biāo)為35=8，故B的坐標(biāo)為：（8，4），將點B的坐標(biāo)代入得，4=，解得：k=32故選C考點：1菱形的性質(zhì)；2反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征7（2017廣東?。┤鐖D，已知正方形ABCD，點E是BC邊的中點，DE與AC相交于點F，連接BF，下列結(jié)論：SABF=SADF；SCDF=4SCEF；SADF=2SCEF；SADF=2SCDF，其中正確的是（）ABCD【答案】C考點：正方形的性質(zhì)8（2017河北?。┣笞C：菱形的兩條對角線互相垂直已知：如圖，四邊形ABCD是菱形，對角線AC，BD交于點O求證：ACBD以下是排亂的證明過程：又BO=DO；AOBD，即ACBD；四邊形ABCD是菱形；AB=AD證明步驟正確的順序是（）ABCD【答案】B【解析】試題分析：四邊形ABCD是菱形，AB=AD，對角線AC，BD交于點O，BO=DO，AOBD，即ACBD，證明步驟正確的順序是，故選B 考點：菱形的性質(zhì)9（2017河北?。┤鐖D是邊長為10的正方形鐵片，過兩個頂點剪掉一個三角形，以下四種剪法中，裁剪線長度所標(biāo)的數(shù)據(jù)（單位：）不正確的（）A B C D【答案】A考點：1正方形的性質(zhì)；2勾股定理10（2017浙江省麗水市）如圖，在ABCD中，連結(jié)AC，ABC=CAD=45°，AB=2，則BC的長是（）ABCD【答案】C【解析】試題分析：四邊形ABCD是平行四邊形，CD=AB=2，BC=AD，D=ABC=CAD=45°，AC=CD=2，ACD=90°，即ACD是等腰直角三角形，BC=AD=；故選C考點：平行四邊形的性質(zhì)11（2017浙江省臺州市）如圖，矩形EFGH的四個頂點分別在菱形ABCD的四條邊上，BE=BF，將AEH，CFG分別沿邊EH，F(xiàn)G折疊，當(dāng)重疊部分為菱形且面積是菱形ABCD面積的時，則為（）A B2C D4【答案】A考點：1翻折變換（折疊問題）；2菱形的性質(zhì)；3矩形的性質(zhì)12（2017重慶市B卷）如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，分別以A、C為圓心，AD、CB為半徑畫弧，交AB于點E，交CD于點F，則圖中陰影部分的面積是（）ABCD【答案】C【解析】試題分析：矩形ABCD，AD=CB=2，S陰影=S矩形S半圓=2×4×22=82，故選C考點：1扇形面積的計算；2矩形的性質(zhì)二、填空題13（2017四川省南充市）如圖，在ABCD中，過對角線BD上一點P作EFBC，GHAB，且CG=2BG，SBPG=1，則SAEPH= 【答案】4考點：平行四邊形的性質(zhì)14（2017四川省南充市）如圖，正方形ABCD和正方形CEFG邊長分別為a和b，正方形CEFG繞點C旋轉(zhuǎn)，給出下列結(jié)論：BE=DG；BEDG；，其中正確結(jié)論是 （填序號）【答案】【解析】試題分析：設(shè)BE，DG交于O，四邊形ABCD和EFGC都為正方形，BC=CD，CE=CG，BCD=ECG=90°，BCE+DCE=ECG+DCE=90°+DCE，即BCE=DCG，在BCE和DCG中，BC=DC，BCE=DCG，CE=CG，BCEDCG（SAS），BE=DG，1=2，1+4=3+1=90°，2+3=90°，BOC=90°，BEDG；故正確；連接BD，EG，如圖所示，DO2+BO2=BD2=BC2+CD2=2a2，EO2+OG2=EG2=CG2+CE2=b2，則BG2+DE2=DO2+BO2+EO2+OG2=2a2+b2，故正確故答案為：考點：1旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；2全等三角形的判定與性質(zhì)；3正方形的性質(zhì)15（2017四川省綿陽市）如圖，將平行四邊形ABCO放置在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O為坐標(biāo)原點，若點A的坐標(biāo)是（6，0），點C的坐標(biāo)是（1，4），則點B的坐標(biāo)是 【答案】（7，4）【解析】試題分析：四邊形ABCO是平行四邊形，O為坐標(biāo)原點，點A的坐標(biāo)是（6，0），點C的坐標(biāo)是（1，4），BC=OA=6，6+1=7，點B的坐標(biāo)是（7，4）；故答案為：（7，4）考點：1平行四邊形的性質(zhì)；2坐標(biāo)與圖形性質(zhì)16（2017四川省達(dá)州市）如圖，矩形ABCD中，E是BC上一點，連接AE，將矩形沿AE翻折，使點B落在CD邊F處，連接AF，在AF上取點O，以O(shè)為圓心，OF長為半徑作O與AD相切于點P若AB=6，BC=，則下列結(jié)論：F是CD的中點；O的半徑是2；AE=CE；其中正確結(jié)論的序號是 【答案】【解析】試題分析：AF是AB翻折而來，AF=AB=6，AD=BC=，DF=3，F(xiàn)是CD中點；正確；連接OP，O與AD相切于點P，OPAD，ADDC，OPCD，設(shè)OP=OF=x，則，解得：x=2，正確；RTADF中，AF=6，DF=3，DAF=30°，AFD=60°，EAF=EAB=30°，AE=2EF；AFE=90°，EFC=90°AFD=30°，EF=2EC，AE=4CE，錯誤；連接OG，作OHFG，AFD=60°，OF=OG，OFG為等邊；同理OPG為等邊；POG=FOG=60°，OH=OG=，S扇形OPG=S扇形OGF，S陰影=（S矩形OPDHS扇形OPGSOGH）+（S扇形OGFSOFG）=S矩形OPDHSOFG=正確；故答案為：考點：1切線的性質(zhì)；2矩形的性質(zhì)；3扇形面積的計算；4翻折變換（折疊問題）；5綜合題17（2017山東省棗莊市）如圖，在ABCD中，AB為O的直徑，O與DC相切于點E，與AD相交于點F，已知AB=12，C=60°，則的長為 【答案】考點：1切線的性質(zhì)；2平行四邊形的性質(zhì)；3弧長的計算18（2017山東省棗莊市）在矩形ABCD中，B的角平分線BE與AD交于點E，BED的角平分線EF與DC交于點F，若AB=9，DF=2FC，則BC= （結(jié)果保留根號）【答案】考點：1矩形的性質(zhì)；2等腰三角形的判定；3相似三角形的判定與性質(zhì)19（2017廣東省）一個n邊形的內(nèi)角和是720°，則n= 【答案】6【解析】試題分析：設(shè)所求正n邊形邊數(shù)為n，則（n2）180°=720°，解得n=6考點：多邊形內(nèi)角與外角20（2017廣東?。┤鐖D，矩形紙片ABCD中，AB=5，BC=3，先按圖（2）操作：將矩形紙片ABCD沿過點A的直線折疊，使點D落在邊AB上的點E處，折痕為AF；再按圖（3）操作，沿過點F的直線折疊，使點C落在EF上的點H處，折痕為FG，則A、H兩點間的距離為 【答案】考點：1翻折變換（折疊問題）；2矩形的性質(zhì)；3綜合題21（2017廣西四市）如圖，菱形ABCD的對角線相交于點O，AC=2，BD=，將菱形按如圖方式折疊，使點B與點O重合，折痕為EF，則五邊形AEFCD的周長為 【答案】7【解析】試題分析：四邊形ABCD是菱形，AC=2，BD=，ABO=CBO，ACBD，AO=1，BO=，tanABO=，ABO=30°，AB=2，ABC=60°，由折疊的性質(zhì)得，EFBO，OE=BE，BEF=OEF，BE=BF，EFAC，BEF是等邊三角形，BEF=60°，OEF=60°，AEO=60°，AEO是等邊三角形，AE=OE，BE=AE，EF是ABC的中位線，EF=AC=1，AE=OE=1，同理CF=OF=1，五邊形AEFCD的周長為=1+1+1+2+2=7故答案為：7考點：1翻折變換（折疊問題）；2菱形的性質(zhì)；3綜合題22（2017江蘇省連云港市）如圖，在ABCD中，AEBC于點E，AFCD于點F若EAF=60°，則B= 【答案】60°考點：平行四邊形的性質(zhì)23（2017浙江省紹興市）如圖為某城市部分街道示意圖，四邊形ABCD為正方形，點G在對角線BD上，GECD，GFBC，AD=1500m，小敏行走的路線為BAGE，小聰行走的路線為BADEF若小敏行走的路程為3100m，則小聰行走的路程為 m【答案】4600【解析】試題分析：小敏走的路程為AB+AG+GE=1500+（AG+GE）=3100，則AG+GE=1600m，小聰走的路程為BA+AD+DE+EF=3000+（DE+EF）連接CG，在正方形ABCD中，ADG=CDG=45°，AD=CD，在ADG和CDG中，AD=CD，ADG=CDG，DG=DG，ADGCDG，AG=CG又GECD，GFBC，BCD=90°，四邊形GECF是矩形，CG=EF又CDG=45°，DE=GE，小聰走的路程為BA+AD+DE+EF=3000+（GE+AG）=3000+1600=4600（m）故答案為：4600考點：1全等三角形的判定與性質(zhì)；2正方形的性質(zhì)24（2017重慶市B卷）如圖，正方形ABCD中，AD=4，點E是對角線AC上一點，連接DE，過點E作EFED，交AB于點F，連接DF，交AC于點G，將EFG沿EF翻折，得到EFM，連接DM，交EF于點N，若點F是AB的中點，則EMN的周長是 【答案】【解析】試題分析：如圖1，過E作PQDC，交DC于P，交AB于Q，連接BE，DCAB，PQAB，四邊形ABCD是正方形，ACD=45°，PEC是等腰直角三角形，PE=PC，設(shè)PC=x，則PE=x，PD=4x，EQ=4x，PD=EQ，DPE=EQF=90°，PED=EFQ，DPEEQF，DE=EF，易證明DECBEC，DE=BE，EF=BE，EQFB，F(xiàn)Q=BQ=BF，AB=4，F(xiàn)是AB的中點，BF=2，F(xiàn)Q=BQ=PE=1，CE=，RtDAF中，DF=，DE=EF，DEEF，DEF是等腰直角三角形，DE=EF=，PD=3，如圖2，DCAB，DGCFGA， = =2，CG=2AG，DG=2FG，F(xiàn)G=，AC=，CG=，EG=，連接GM、GN，交EF于H，GFE=45°，GHF是等腰直角三角形，GH=FH= =，EH=EFFH=，NDE=AEF，tanNDE=tanAEF=， =，EN=，NH=EHEN=，RtGNH中，GN= = =，由折疊得：MN=GN，EM=EG，EMN的周長=EN+MN+EM=+=；故答案為：考點：1翻折變換（折疊問題）；2正方形的性質(zhì)；3綜合題三、解答題25（2017四川省南充市）如圖，在正方形ABCD中，點E、G分別是邊AD、BC的中點，AF=AB（1）求證：EFAG；（2）若點F、G分別在射線AB、BC上同時向右、向上運動，點G運動速度是點F運動速度的2倍，EFAG是否成立（只寫結(jié)果，不需說明理由）？（3）正方形ABCD的邊長為4，P是正方形ABCD內(nèi)一點，當(dāng)，求PAB周長的最小值【答案】（1）證明見解析；（2）成立；（3）【解析】（2）證明AEFBAG，得出AEF=BAG，再由角的互余關(guān)系和三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論；（3）過O作MNAB，交AD于M，BC于N，則MNAD，MN=AB=4，由三角形面積關(guān)系得出點P在線段MN上，當(dāng)P為MN的中點時，PAB的周長最小，此時PA=PB，PM=MN=2，連接EG，則EGAB，EG=AB=4，證明AOFGOE，得出 =，證出 =，得出AM=AE=，由勾股定理求出PA，即可得出答案試題解析：（1）證明：四邊形ABCD是正方形，AD=AB，EAF=ABG=90°，點E、G分別是邊AD、BC的中點，AF=AB， =， =，AEFBAG，AEF=BAG，BAG+EAO=90°，AEF+EAO=90°，AOE=90°，EFAG；（2）解：成立；理由如下：根據(jù)題意得： =， =，=，又EAF=ABG，AEFBAG，AEF=BAG，BAG+EAO=90°，AEF+EAO=90°，AOE=90°，EFAG；（3）解：過O作MNAB，交AD于M，BC于N，如圖所示：則MNAD，MN=AB=4，P是正方形ABCD內(nèi)一點，當(dāng)SPAB=SOAB，點P在線段MN上，當(dāng)P為MN的中點時，PAB的周長最小，此時PA=PB，PM=MN=2，連接EG、PA、PB，則EGAB，EG=AB=4，AOFGOE，=，MNAB， =，AM=AE=×2=，由勾股定理得：PA= =，PAB周長的最小值=2PA+AB=考點：1四邊形綜合題；2探究型；3動點型；4最值問題26（2017四川省廣安市）如圖，四邊形ABCD是正方形，E、F分別是了AB、AD上的一點，且BFCE，垂足為G，求證：AF=BE【答案】證明見解析考點：1正方形的性質(zhì)；2全等三角形的判定與性質(zhì)27（2017四川省眉山市）如圖，點E是正方形ABCD的邊BC延長線上一點，連結(jié)DE，過頂點B作BFDE，垂足為F，BF分別交AC于H，交BC于G（1）求證：BG=DE；（2）若點G為CD的中點，求的值【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】試題分析：（1）由于BFDE，所以GFD=90°，從而可知CBG=CDE，根據(jù)全等三角形的判定即可證明BCGDCE，從而可知BG=DE；（2）設(shè)CG=1，從而知CG=CE=1，由勾股定理可知：DE=BG=，由易證ABHCGH，所以=2，從而可求出HG的長度，進(jìn)而求出的值試題解析：（1）BFDE，GFD=90°，BCG=90°，BGC=DGF，CBG=CDE，在BCG與DCE中，CBG=CDE，BC=CD，BCG=DCE，BCGDCE（ASA），BG=DE；（2）設(shè)CG=1，G為CD的中點，GD=CG=1，由（1）可知：BCGDCE（ASA），CG=CE=1，由勾股定理可知：DE=BG=，sinCDE=，GF=，ABCG，ABHCGH，BH=，GH=， =考點：1相似三角形的判定與性質(zhì)；2全等三角形的判定與性質(zhì)；3正方形的性質(zhì)28（2017四川省綿陽市）如圖，已知ABC中，C=90°，點M從點C出發(fā)沿CB方向以1cm/s的速度勻速運動，到達(dá)點B停止運動，在點M的運動過程中，過點M作直線MN交AC于點N，且保持NMC=45°，再過點N作AC的垂線交AB于點F，連接MF，將MNF關(guān)于直線NF對稱后得到ENF，已知AC=8cm，BC=4cm，設(shè)點M運動時間為t（s），ENF與ANF重疊部分的面積為y（cm2）（1）在點M的運動過程中，能否使得四邊形MNEF為正方形？如果能，求出相應(yīng)的t值；如果不能，說明理由；（2）求y關(guān)于t的函數(shù)解析式及相應(yīng)t的取值范圍；（3）當(dāng)y取最大值時，求sinNEF的值【答案】（1）；（2）；（3）【解析】試題分析：（1）由已知得出CN=CM=t，F(xiàn)NBC，得出AN=8t，由平行線證出ANFACB，得出對應(yīng)邊成比例求出NF=AN=（8t），由對稱的性質(zhì)得出ENF=MNF=NMC=45°，MN=NE，OE=OM=CN=t，由正方形的性質(zhì)得出OE=ON=FN，得出方程，解方程即可；（3）當(dāng)點E在AB邊上時，y取最大值，連接EM，則EF=BF，EM=2CN=2CM=2t，EM=2BM，得出方程，解方程求出CN=CM=2，AN=6，得出BM=2，NF=AN=3，因此EM=2BM=4，作FDNE于D，由勾股定理求出EB= =，求出EF=EB=，由等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理得出DF= HF=，在RtDEF中，由三角函數(shù)定義即可求出sinNEF的值試題解析：（1）能使得四邊形MNEF為正方形；理由如下：連接ME交NF于O，如圖1所示：C=90°，NMC=45°，NFAC，CN=CM=t，F(xiàn)NBC，AN=8t，ANFACB， =2，NF=AN=（8t），由對稱的性質(zhì)得：ENF=MNF=NMC=45°，MN=NE，OE=OM=CN=t，四邊形MNEF是正方形，OE=ON=FN，t=×（8t），解得：t=；即在點M的運動過程中，能使得四邊形MNEF為正方形，t的值為； （2）分兩種情況：當(dāng)0t2時，y=×（8t）×t=，即（0t2）；當(dāng)2t4時，如圖2所示：作GHNF于H，由（1）得：NF=（8t），GH=NH，GH=2FH，GH=NF=（8t），y=NFGH=×（8t）×（8t）=，即（2t4）；綜上所述： 考點：1四邊形綜合題；2最值問題；3動點型；4存在型；5分類討論；6壓軸題29（2017四川省達(dá)州市）如圖，在ABC中，點O是邊AC上一個動點，過點O作直線EFBC分別交ACB、外角ACD的平分線于點E、F（1）若CE=8，CF=6，求OC的長；（2）連接AE、AF問：當(dāng)點O在邊AC上運動到什么位置時，四邊形AECF是矩形？并說明理由【答案】（1）5；（2）當(dāng)點O在邊AC上運動到AC中點時，四邊形AECF是矩形【解析】試題分析：（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)得出OEC=OCE，OFC=OCF，證出OE=OC=OF，ECF=90°，由勾股定理求出EF，即可得出答案；（2）解：當(dāng)點O在邊AC上運動到AC中點時，四邊形AECF是矩形理由如下：連接AE、AF，如圖所示：當(dāng)O為AC的中點時，AO=CO，EO=FO，四邊形AECF是平行四邊形，ECF=90°，平行四邊形AECF是矩形考點：1矩形的判定；2平行線的性質(zhì)；3等腰三角形的判定與性質(zhì)；4探究型；5動點型30（2017山東省棗莊市）已知正方形ABCD，P為射線AB上的一點，以BP為邊作正方形BPEF，使點F在線段CB的延長線上，連接EA，EC（1）如圖1，若點P在線段AB的延長線上，求證：EA=EC；（2）如圖2，若點P在線段AB的中點，連接AC，判斷ACE的形狀，并說明理由；（3）如圖3，若點P在線段AB上，連接AC，當(dāng)EP平分AEC時，設(shè)AB=a，BP=b，求a：b及AEC的度數(shù)【答案】（1）證明見解析；（2）ACE是直角三角形；（3）：1，45°【解析】試題分析：（1）由正方形的性質(zhì)證明APECFE，可得結(jié)論；（2）分別證明PAE=45°和BAC=45°，則CAE=90°，即ACE是直角三角形；（2）ACE是直角三角形，理由是：如圖2，P為AB的中點，PA=PB，PB=PE，PA=PE，PAE=45°，又BAC=45°，CAE=90°，即ACE是直角三角形；（3）設(shè)CE交AB于G，EP平分AEC，EPAG，AP=PG=ab，BG=a（2a2b）=2ba，PECF，即，解得：a=b，a：b=：1，作GHAC于H，CAB=45°，HG=AG=（2b2b）=（2）b，又BG=2ba=（2）b，GH=GB，GHAC，GBBC，HCG=BCG，PECF，PEG=BCG，AEC=ACB=45°考點：1四邊形綜合題；2探究型；3變式探究31（2017山東省濟寧市）實驗探究：（1）如圖1，對折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展開；再一次折疊紙片，使點A落在EF上，并使折痕經(jīng)過點B，得到折痕BM，同時得到線段BN，MN請你觀察圖1，猜想MBN的度數(shù)是多少，并證明你的結(jié)論（2）將圖1中的三角形紙片BMN剪下，如圖2，折疊該紙片，探究MN與BM的數(shù)量關(guān)系，寫出折疊方案，并結(jié)合方案證明你的結(jié)論【答案】（1）MBN=30°；（2）MN=BM【解析】試題分析：（1）猜想：MBN=30°只要證明ABN是等邊三角形即可；（2）結(jié)論：MN=BM折紙方案：如圖2中，折疊BMN，使得點N落在BM上O處，折痕為MP，連接OP理由：由折疊可知MOPMNP，MN=OM，OMP=NMP=OMN=30°=B，MOP=MNP=90°，BOP=MOP=90°，OP=OP，MOPBOP，MO=BO=BM，MN=BM考點：1翻折變換（折疊問題）；2矩形的性質(zhì)；3剪紙問題32（2017廣東?。┤鐖D所示，已知四邊形ABCD，ADEF都是菱形，BAD=FAD，BAD為銳角（1）求證：ADBF；（2）若BF=BC，求ADC的度數(shù)【答案】（1）證明見解析；（2）150°【解析】試題分析：（1）連結(jié)DB、DF根據(jù)菱形四邊相等得出AB=AD=FA，再利用SAS證明BADFAD，得出DB=DF，那么D在線段BF的垂直平分線上，又AB=AF，即A在線段BF的垂直平分線上，進(jìn)而證明ADBF；（2）如圖，設(shè)ADBF于H，作DGBC于G，則四邊形BGDH是矩形，DG=BH=BFBF=BC，BC=CD，DG=CD在直角CDG中，CGD=90°，DG=CD，C=30°，BCAD，ADC=180°C=150°考點：菱形的性質(zhì)33（2017廣西四市）如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，點E，F(xiàn)在BD上，BE=DF（1）求證：AE=CF；（2）若AB=6，COD=60°，求矩形ABCD的面積【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】試題分析：（1）由矩形的性質(zhì)得出OA=OC，OB=OD，AC=BD，ABC=90°，證出OE=OF，由SAS證明AOECOF，即可得出AE=CF；（2）證出AOB是等邊三角形，得出OA=AB=6，AC=2OA=12，在RtABC中，由勾股定理求出BC的長，即可得出矩形ABCD的面積試題解析：（1）證明：四邊形ABCD是矩形，OA=OC，OB=OD，AC=BD，ABC=90°，BE=DF，OE=OF，在AOE和COF中，OA=OC，AOE=COF，OE=OF，AOECOF（SAS），AE=CF；（2）解：OA=OC，OB=OD，AC=BD，OA=OB，AOB=COD=60°，AOB是等邊三角形，OA=AB=6，AC=2OA=12，在RtABC中，BC=，矩形ABCD的面積=ABBC=6×=考點：1矩形的性質(zhì)；2全等三角形的判定與性質(zhì)34（2017江蘇省鹽城市）如圖，矩形ABCD中，ABD、CDB的平分線BE、DF分別交邊AD、BC于點E、F（1）求證：四邊形BEDF是平行四邊形；（2）當(dāng)ABE為多少度時，四邊形BEDF是菱形？請說明理由【答案】（1）證明見解析；（2）ABE=30°【解析】試題分析：（1）由矩形可得ABD=CDB，結(jié)合BE平分ABD、DF平分BDC得EBD=FDB，即可知BEDF，根據(jù)ADBC即可得證；（2）當(dāng)ABE=30°時，四邊形BEDF是菱形，BE平分ABD，ABD=2ABE=60°，EBD=ABE=30°，四邊形ABCD是矩形，A=90°，EDB=90°ABD=30°，EDB=EBD=30°，EB=ED，又四邊形BEDF是平行四邊形，四邊形BEDF是菱形考點：1矩形的性質(zhì)；2平行四邊形的判定與性質(zhì)；3菱形的判定；4探究型35（2017江蘇省鹽城市）（探索發(fā)現(xiàn)】如圖，是一張直角三角形紙片，B=60°，小明想從中剪出一個以B為內(nèi)角且面積最大的矩形，經(jīng)過多次操作發(fā)現(xiàn)，當(dāng)沿著中位線DE、EF剪下時，所得的矩形的面積最大，隨后，他通過證明驗證了其正確性，并得出：矩形的最大面積與原三角形面積的比值為 【拓展應(yīng)用】如圖，在ABC中，BC=a，BC邊上的高AD=h，矩形PQMN的頂點P、N分別在邊AB、AC上，頂點Q、M在邊BC上，則矩形PQMN面積的最大值為 （用含a，h的代數(shù)式表示）【靈活應(yīng)用】如圖，有一塊“缺角矩形”ABCDE，AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，小明從中剪出了一個面積最大的矩形（B為所剪出矩形的內(nèi)角），求該矩形的面積 【實際應(yīng)用】如圖，現(xiàn)有一塊四邊形的木板余料ABCD，經(jīng)測量AB=50cm，BC=108cm，CD=60cm，且tanB=tanC=，木匠徐師傅從這塊余料中裁出了頂點M、N在邊BC上且面積最大的矩形PQMN，求該矩形的面積【答案】【探索發(fā)現(xiàn)】；【拓展應(yīng)用】；【靈活應(yīng)用】720；【實際應(yīng)用】1944【拓展應(yīng)用】：由APNABC知，可得PN=aPQ，設(shè)PQ=x，由S矩形PQMN=PQPN，據(jù)此可得；【靈活應(yīng)用】：添加如圖1輔助線，取BF中點I，F(xiàn)G的中點K，由矩形性質(zhì)知AE=EH20、CD=DH=16，分別證AEFHED、CDGHDE得AF=DH=16、CG=HE=20，從而判斷出中位線IK的兩端點在線段AB和DE上，利用【探索發(fā)現(xiàn)】結(jié)論解答即可；【實際應(yīng)用】：延長BA、CD交于點E，過點E作EHBC于點H，由tanB=tanC知EB=EC、BH=CH=54，EH=BH=72，繼而求得BE=CE=90，可判斷中位線PQ的兩端點在線段AB、CD上，利用【拓展應(yīng)用】結(jié)論解答可得試題解析：【探索發(fā)現(xiàn)】EF、ED為ABC中位線，EDAB，EFBC，EF=BC，ED=AB，又B=90°，四邊形FEDB是矩形，則 =，故答案為：；【拓展應(yīng)用】PNBC，APNABC，即，PN=aPQ，設(shè)PQ=x，則S矩形PQMN=PQPN=x（ax）= =，當(dāng)PQ=時，S矩形PQMN最大值為，故答案為：；【靈活應(yīng)用】如圖1，延長BA、DE交于點F，延長BC、ED交于點G，延長AE、CD交于點H，取BF中點I，F(xiàn)G的中點K，由題意知四邊形ABCH是矩形，AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，EH=20、DH=16，AE=EH、CD=DH，在AEF和HED中，F(xiàn)AE=DHE，AE=AH，AEF=HED，AEFHED（ASA），AF=DH=16，同理CDGHDE，CG=HE=20，BI=（AB+AF）=24，BI=2432，中位線IK的兩端點在線段AB和DE上，過點K作KLBC于點L，由【探索發(fā)現(xiàn)】知矩形的最大面積為×BGBF=×（40+20）×（32+16）=720，答：該矩形的面積為720；【實際應(yīng)用】如圖2，延長BA、CD交于點E，過點E作EHBC于點H，tanB=tanC=，B=C，EB=EC，BC=108cm，且EHBC，BH=CH=BC=54cm，tanB=，EH=BH=×54=72cm，在RtBHE中，BE=90cm，AB=50cm，AE=40cm，BE的中點Q在線段AB上，CD=60cm，ED=30cm，CE的中點P在線段CD上，中位線PQ的兩端點在線段AB、CD上，由【拓展應(yīng)用】知，矩形PQMN的最大面積為BCEH=1944cm2答：該矩形的面積為1944cm2考點：1四邊形綜合題；2閱讀型；3探究型；4最值問題；5壓軸題36（2017江蘇省連云港市）問題呈現(xiàn)：如圖1，點E、F、G、H分別在矩形ABCD的邊AB、BC、CD、DA上，AE=DG，求證：（S表示面積）實驗探究：某數(shù)學(xué)實驗小組發(fā)現(xiàn)：若圖1中AHBF，點G在CD上移動時，上述結(jié)論會發(fā)生變化，分別過點E、G作BC邊的平行線，再分別過點F、H作AB邊的平行線，四條平行線分別相交于點A1、B1、C1、D1，得到矩形A1B1C1D1如圖2，當(dāng)AHBF時，若將點G向點C靠近（DGAE），經(jīng)過探索，發(fā)現(xiàn)：2S四邊形EFGH=S矩形ABCD+S如圖3，當(dāng)AHBF時，若將點G向點D靠近（DGAE），請?zhí)剿鱏四邊形EFGH、S矩形ABCD與S之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由遷移應(yīng)用：請直接應(yīng)用“實驗探究”中發(fā)現(xiàn)的結(jié)論解答下列問題：（1）如圖4，點E、F、G、H分別是面積為25的正方形ABCD各邊上的點，已知AHBF，AEDG，S四邊形EFGH=11，HF=，求EG的長（2）如圖5，在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，點E、H分別在邊AB、AD上，BE=1，DH=2，點F、G分別是邊BC、CD上的動點，且FG=，連接EF、HG，請直接寫出四邊形EFGH面積的最大值【答案】問題呈現(xiàn)：；實驗探究：；遷移應(yīng)用：（1）EG=；（2）（2）分兩種情形探究即可解決問題試題解析：問題呈現(xiàn)：證明：如圖1中，四邊形ABCD是矩形，ABCD，A=90°，AE=DG，四邊形AEGD是矩形，SHGE=S矩形AEGD，同理SEGF=S矩形BEGC，S四邊形EFGH=SHGE+SEFG=S矩形BEGC實驗探究：結(jié)論：2S四邊形EFGH=S矩形ABCD理由： =， =， =， =，S四邊形EFGH=+，2S四邊形EFGH=2+2+2+22，2S四邊形EFGH=S矩形ABCD遷移應(yīng)用：解：（1）如圖4中，2S四邊形EFGH=S矩形ABCD， =252×11=3=A1B1A1D1，正方形的面積為25，邊長為5，A1D12=HF252=2925=4，A1D1=2，A1B1=，EG2=A1B12+52=，EG=（2）2S四邊形EFGH=S矩形ABCD+，四邊形A1B1C1D1面積最大時，矩形EFGH的面積最大如圖51中，當(dāng)G與C重合時，四邊形A1B1C1D1面積最大時，矩形EFGH的面積最大此時矩形A1B1C1D1面積=1×（2）=如圖52中，當(dāng)G與D重合時，四邊形A1B1C1D1面積最大時，矩形EFGH的面積最大此時矩形A1B1C1D1面積=21=2，2，矩形EFGH的面積最大值=考點：1四邊形綜合題；2最值問題；3閱讀型；4探究型；5壓軸題37（2017浙江省麗水市）如圖，在矩形ABCD中，點E是AD上的一個動點，連接BE，作點A關(guān)于BE的對稱點F，且點F落在矩形ABCD的內(nèi)部，連接AF，BF，EF，過點F作GFAF交AD于點G，設(shè)（1）求證：AE=GE；（2）當(dāng)點F落在AC上時，用含n的代數(shù)式表示的值；（3）若AD=4AB，且以點F，C，G為頂點的三角形是直角三角形，求n的值【答案】（1）證明見解析；（2）= ；（3）n=16或 【解析】試題分析：（1）因為GFAF，由對稱易得AE=EF，則由直角三角形的兩個銳角的和為90度，且等邊對等角，即可證明E是AG的中點；（2）可設(shè)AE=a，則AD=na，即需要用n或a表示出AB，由BEAF和BAE=D=90°，可證明ABEDAC ， 則，因為AB=DC，且DA，AE已知表示出來了，所以可求出AB，即可解答；（3）求以點F，C，G為頂點的三角形是直角三角形時的n，需要分類討論，一般分三個，F(xiàn)CG=90°，CFG=90°，CGF=90°；根據(jù)點F在矩形ABCD的內(nèi)部就可排除FCG=90°，所以就以CFG=90°和CGF=90°進(jìn)行分析解答試題解析：（1）證明：由對稱得AE=FE，EAF=EFA，GFAE，EAF+FGA=EFA+EFG=90°，F(xiàn)GA=EFG，EG=EF，AE=EG（2）解：設(shè)AE=a，則AD=na，當(dāng)點F落在AC上時（如圖1），由對稱得BEAF，ABE+BAC=90°，DAC+BAC=90°，ABE=DAC，又BAE=D=90°，ABEDAC ，AB=DC，AB2=AD·AE=na·a=na2，AB>0，AB=，= =，= 考點：1矩形的性質(zhì)；2解直角三角形的應(yīng)用；3相似三角形的判定與性質(zhì)；4分類討論；5壓軸題38（2017浙江省紹興市）定義：有一組鄰邊相等，并且它們的夾角是直角的凸四邊形叫做等腰直角四邊形（1）如圖1，等腰直角四邊形ABCD，AB=BC，ABC=90°若AB=CD=1，ABCD，求對角線BD的長若ACBD，求證：AD=CD；（2）如圖2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=9，點P是對角線BD上一點，且BP=2PD，過點P作直線分別交邊AD，BC于點E，F(xiàn)，使四邊形ABFE是等腰直角四邊形，求AE的長【答案】（1）；證明見解析；（2）5或6.5【解析】試題分析：（1）只要證明四邊形ABCD是正方形即可解決問題；只要證明ABDCBD，即可解決問題；（2）如圖1中，連接AC、BDAB=BC，ACBD，ABD=CBD，BD=BD，ABDCBD，AD=CD（2）若EFBC，則AEEF，BFEF，四邊形ABFE表示等腰直角四邊形，不符合條件若EF與BC不垂直，當(dāng)AE=AB時，如圖2中，此時四邊形ABFE是等腰直角四邊形，AE=AB=5當(dāng)BF=AB時，如圖3中，此時四邊形ABFE是等腰直角四邊形，BF=AB=5，DEBF，BF=PB=1：2，DE=2.5，AE=92.5=6.5，綜上所述，滿足條件的AE的長為5或6.5考點：1四邊形綜合題；2分類討論；3新定義；4壓軸題39（2017浙江省紹興市）如圖，已知ABCD，ABx軸，AB=6，點A 的坐標(biāo)為（1，-4），點D的坐標(biāo)為（-3，4），點B在第四象限，點P是ABCD邊上一個動點（1） 若點P在邊BC上，PD=CD，求點P的坐標(biāo)（2）若點P在邊AB、AD上，點P關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的點Q ，落在直線上，求點P的坐標(biāo)（3） 若點P在邊AB，AD，CD上，點G是AD與y軸的交點，如圖，過點作y軸的平行線PM，過點G作x軸的平行線GM，它們相交于點M，將PGM沿直線PG翻折，當(dāng)點M的對應(yīng)點落在坐標(biāo)軸上時，求點P的坐標(biāo)（直接寫出答案）【答案】（1）P（3，4）；（2）（-3，4）或（-1，0）或（5，-4）或（3，-4）；（3）P（2，-4）或（-，3）或（-，4）或（，4）【解析】試題分析：（1）點P在BC上，要使PD=CD，只有P與C重合；（3）在不同邊上，根據(jù)圖象，點M翻折后，點M落在x軸還是y軸，可運用相似求解試題解析：（1）CD=6，點P與點C重合，點P的坐標(biāo)是（3，4）（2）當(dāng)點P在邊AD上時，由已知得，直線AD的函數(shù)表達(dá)式為： ，設(shè)P（a，-2a-2），且-3a1若點P關(guān)于x軸對稱點Q1（a，2a+2）在直線y=x-1上，2a+2=a-1，解得a=-3，此時P（-3，4）若點P關(guān)于y軸對稱點Q2（-a，-2a-2）在直線y=x-1上，-2a-2=-a-1，解得a=-1，此時P（-1，0）當(dāng)點P在邊AB上時，設(shè)P（a，-4），且1a7若點P關(guān)于x軸對稱點Q3（a，4）在直線y=x-1上，4=a-1，解得a=5，此時P（5，-4）若點P關(guān)于y軸對稱點Q4（-a，-4）在直線y=x-1上，-4=-a-1，解得a=3，此時P（3，-4）綜上所述，點P的坐標(biāo)為（-3，4）或（-1，0）或（5，-4）或（3，-4）（3）因為直線AD為y=-2x-2，所以G（0，-2）如圖，當(dāng)點P在CD邊上時，可設(shè)P（m，4），且-3m3，則可得MP=PM=4+2=6，MG=GM=|m|，易證得OGMHMP，則，即，則OM=，在RtOGM中，由勾股定理得， ，解得m=-或 ，則P（ -，4）或（ ，4）；如下圖，當(dāng)點P在AD邊上時，設(shè)P（m，-2m-2），則PM=PM=|-2m|，GM=MG=|m|，易證得OGMHMP，則，即，則OM=，在RtOGM中，由勾股定理得， ，整理得m= -，則P（-，3）； 如下圖，當(dāng)點P在AB邊上時，設(shè)P（m，-4），此時M在y軸上，則四邊形PMGM是正方形，所以GM=PM=4-2=2，則P（2，-4）綜上所述，點P的坐標(biāo)為（2，-4）或（-，3）或（-，4）或（，4）考點：1一次函數(shù)綜合題；2平行四邊形的性質(zhì)；3翻折變換（折疊問題）；4動點型；5分類討論；6壓軸題40（2017湖北省襄陽市）如圖，AEBF，AC平分BAE，且交BF于點C，BD平分ABF，且交AE于點D，連接CD（1）求證：四邊形ABCD是菱形；（2）若ADB=30°，BD=6，求AD的長【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】試題分析：（1）由平行線的性質(zhì)和角平分線定義得出ABD=ADB，證出AB=AD，同理：AB=BC，得出AD=BC，證出四邊形ABCD是平行四邊形，即可得出結(jié)論；（2）解：四邊形ABCD是菱形，BD=6，ACBD，OD=OB=BD=3，ADB=30°，cosADB=，AD=考點：菱形的判定與性質(zhì)