第2課時橢圓的幾何性質(zhì)及應(yīng)用學習目標1.進一步鞏固橢圓的簡單幾何性質(zhì).2.掌握直線與橢圓的位置關(guān)系等知識.3.會判斷直線與橢圓的位置關(guān)系知識點一點與橢圓的位置關(guān)系思考類比點與圓的位置關(guān)系的判定，你能給出點P(x0，y0)與橢圓1(a>b>0)的位置關(guān)系的判定嗎？答案當P在橢圓外時，>1；當P在橢圓上時，1；當P在橢圓內(nèi)時，<1.梳理設(shè)P(x0，y0)，橢圓1(a>b>0)，則點P與橢圓的位置關(guān)系如下表所示：位置關(guān)系滿足條件P在橢圓外>1P在橢圓上1P在橢圓內(nèi)<1知識點二直線與橢圓的位置關(guān)系思考類比直線與圓的位置關(guān)系，給出直線與橢圓的位置關(guān)系答案有三種位置關(guān)系：相離、相切和相交梳理判斷直線和橢圓位置關(guān)系的方法直線ykxm與橢圓1(ab0)的位置關(guān)系的判斷方法：聯(lián)立消去y，得關(guān)于x的一元二次方程當0時，方程有兩個不同解，直線與橢圓相交；當0時，方程有兩個相同解，直線與橢圓相切；當0時，方程無解，直線與橢圓相離知識點三弦長公式設(shè)直線l：ykxm(k0，m為常數(shù))與橢圓1(a>b>0)相交，兩個交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則線段AB叫做直線l截橢圓所得的弦，線段AB的長度叫做弦長弦長公式：|AB|，其中x1x2與x1x2均可由根與系數(shù)的關(guān)系得到(1)若直線的斜率一定，則當直線過橢圓的中心時，弦長最大()(2)直線y1被橢圓y21截得的弦長為.()(3)已知橢圓1(ab0)與點P(b,0)，過點P可作出該橢圓的一條切線()(4)直線yk(xa)與橢圓1的位置關(guān)系是相交()類型一點、直線與橢圓位置關(guān)系的判斷命題角度1點與橢圓位置關(guān)系的判斷例1已知點P(k,1)，橢圓1，點在橢圓外，則實數(shù)k的取值范圍為_考點橢圓的簡單幾何性質(zhì)題點點與橢圓的位置關(guān)系答案解析由題可知>1，解得k<或k>.引申探究若將本例中P點坐標改為“P(1，k)”呢？答案解析由>1，解得k2>，即k<或k>.反思與感悟處理點與橢圓位置關(guān)系問題時，緊扣判定條件，然后轉(zhuǎn)化為解不等式等問題，注意求解過程與結(jié)果的準確性跟蹤訓練1已知點(3,2)在橢圓1(a>b>0)上，則()A點(3，2)不在橢圓上B點(3，2)不在橢圓上C點(3,2)在橢圓上D以上都不正確考點橢圓的簡單幾何性質(zhì)題點點與橢圓的位置關(guān)系答案C解析由已知，得1，只有選項C正確命題角度2直線與橢圓位置關(guān)系的判斷例2對不同的實數(shù)m，討論直線yxm與橢圓y21的位置關(guān)系考點直線與橢圓的位置關(guān)系題點直線與橢圓的公共點個數(shù)問題解由消去y，得5x28mx4m240，(8m)245(4m24)16(5m2)當m時，0，直線與橢圓相交；當m或m時，0，直線與橢圓相切；當m或m時，0，直線與橢圓相離反思與感悟判斷直線與橢圓位置關(guān)系時，準確計算出判別式是解題關(guān)鍵跟蹤訓練2在平面直角坐標系xOy中，經(jīng)過點(0，)且斜率為k的直線l與橢圓y21有兩個不同的交點P和Q，求k的取值范圍考點直線與橢圓的位置關(guān)系題點直線與橢圓的公共點個數(shù)問題解由已知條件知直線l的方程為ykx，代入橢圓方程得(kx)21，整理得x22kx10，直線l與橢圓有兩個不同的交點P和Q等價于8k244k220，解得k或k，所以k的取值范圍為.類型二弦長問題例3已知橢圓4x25y220的一個焦點為F，過點F且傾斜角為45的直線l交橢圓于A，B兩點，求弦長|AB|.考點直線與橢圓的位置關(guān)系題點直線與橢圓相交求弦長與三角形面積解橢圓的標準方程為1，a，b2，c1，直線l的方程為yx1(不失一般性，設(shè)l過左焦點)由消去y，得9x210x150.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，x1x2，|AB|x1x2|.反思與感悟求解弦長時，需正確記憶公式內(nèi)容，其次，準確得到x1x2和x1x2的值跟蹤訓練3橢圓1(ab0)的離心率為，且橢圓與直線x2y80相交于P，Q兩點，若|PQ|，求橢圓方程考點由橢圓的簡單幾何性質(zhì)求方程題點由橢圓的幾何特征求方程解e，b2a2，橢圓方程為x24y2a2，與x2y80聯(lián)立消去y，得2x216x64a20，由0，得a232，由弦長公式，得10642(64a2)，a236，b29，橢圓方程為1.類型三橢圓中的最值(或范圍)問題例4已知橢圓4x2y21及直線yxm.(1)當直線和橢圓有公共點時，求實數(shù)m的取值范圍；(2)求被橢圓截得的最長弦所在的直線方程考點直線與橢圓的位置關(guān)系題點橢圓中的定點、定值、取值范圍問題解(1)由消去y，得5x22mxm210，因為直線與橢圓有公共點，所以4m220(m21)0，解得m.(2)設(shè)直線與橢圓交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，由(1)知，5x22mxm210，所以x1x2，x1x2(m21)，所以|AB|.所以當m0時，|AB|最大，此時直線方程為yx.反思與感悟求最值問題的基本策略(1)求解形如|PA|PB|的最值問題，一般通過橢圓的定義把折線轉(zhuǎn)化為直線，當且僅當三點共線時|PA|PB|取得最值(2)求解形如|PA|的最值問題，一般通過二次函數(shù)的最值求解，此時一定要注意自變量的取值范圍(3)求解形如axby的最值問題，一般通過數(shù)形結(jié)合的方法轉(zhuǎn)化為直線問題解決(4)利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范圍跟蹤訓練4已知動點P(x，y)在橢圓1上，若點A的坐標為(3,0)，|1，且0，求|的最小值考點直線與橢圓的位置關(guān)系題點橢圓中的定點、定值、取值范圍問題解由|1，A(3,0)，知點M在以A(3,0)為圓心，1為半徑的圓上運動，0且P在橢圓上運動，PMAM，即PM為A的切線，連接PA(如圖)，則|，當|minac532時，|min.1若直線l：2xby30過橢圓C：10x2y210的一個焦點，則b的值是()A1BC1或1D或考點由橢圓方程研究簡單幾何性質(zhì)題點由橢圓幾何特征求參數(shù)答案C解析易知橢圓x21的焦點為F1(0，3)，F(xiàn)2(0,3)，所以b1或1.2已知橢圓的方程是x22y240，則以M(1,1)為中點的弦所在直線的方程是()Ax2y30B2xy30Cx2y30D2xy30考點直線與橢圓的位置關(guān)系題點求橢圓中的直線方程答案A解析由題意易知所求直線的斜率存在，設(shè)過點M(1,1)的直線方程為yk(x1)1，即ykx1k.由消去y，得(12k2)x2(4k4k2)x2k24k20，所以1，解得k，所以所求直線方程為yx，即x2y30.3(2017牌頭中學期中)設(shè)F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)分別是橢圓1(a>b>0)的左、右焦點，若在直線x上存在點P，使線段PF1的中垂線過點F2，則橢圓離心率的取值范圍是()A.B.C.D.答案D解析方法一由題意知F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)，P，PF1的中垂線過點F2，|F1F2|F2P|，即2c，整理得y23c22a2.y20，3c22a20，即3e220，解得e.又0<e<1，e的取值范圍是.方法二設(shè)直線x與x軸交于M點，則|F1F2|F2P|MF2|，即2cc，整理得e2<1，又0<e<1，e<1.橢圓離心率的取值范圍是.故選D.4已知以F1(2,0)，F(xiàn)2(2,0)為焦點的橢圓與直線xy40有且僅有一個公共點，則橢圓的長軸長為_考點直線與橢圓的位置關(guān)系題點直線與橢圓的公共點個數(shù)問題答案2解析由題意可設(shè)橢圓的方程為1(a2)，與直線方程xy40聯(lián)立，得4(a23)y28(a24)y(16a2)(a24)0，由0，得a，所以橢圓的長軸長為2.5橢圓y21被直線xy10所截得的弦長|AB|_.考點直線與橢圓的位置關(guān)系題點直線與橢圓相交求弦長與三角形面積答案解析由得交點為(0,1)，則|AB|.解決橢圓中點弦問題的三種方法(1)根與系數(shù)的關(guān)系法：聯(lián)立直線方程和橢圓方程構(gòu)成方程組，消去一個未知數(shù)，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及中點坐標公式解決(2)點差法：利用交點在曲線上，坐標滿足方程，將交點坐標分別代入橢圓方程，然后作差，構(gòu)造出中點坐標和斜率的關(guān)系(3)共線法：利用中點坐標公式，如果弦的中點為P(x0，y0)，設(shè)其一交點為A(x，y)，則另一交點為B(2x0x,2y0y)，則兩式作差即得所求直線方程一、選擇題1點A(a,1)在橢圓1的內(nèi)部，則a的取值范圍是()AaBa或aC2a2D1a1考點橢圓的簡單幾何性質(zhì)題點點與橢圓的位置關(guān)系答案A解析由題意，得1，即a22，解得a.2已知直線l：xy30，橢圓y21，則直線與橢圓的位置關(guān)系是()A相交B相切C相離D相切或相交考點直線與橢圓的位置關(guān)系題點直線與橢圓的位置關(guān)系判定答案C3(2017牌頭中學期中)斜率為1的直線l與橢圓y21相交于A，B兩點，則|AB|的最大值為()A2B.C.D.答案C解析設(shè)A，B兩點的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，直線l的方程為yxt，由消去y，得5x28tx4(t21)0，則x1x2t，x1x2.|AB|x1x2|.當t0時，|AB|max.4已知橢圓C：1(ab0)的左、右頂點分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線bxay2ab0相切，則橢圓C的離心率為()A.B.C.D.考點橢圓的離心率問題題點求a，b，c的齊次關(guān)系式得離心率答案A解析以線段A1A2為直徑的圓的方程為x2y2a2，該圓與直線bxay2ab0相切，a，即2b，a23b2，a2b2c2，e.5直線yx2與橢圓1有兩個公共點，則m的取值范圍是()Am1Bm1且m3Cm3Dm0且m3考點直線與橢圓的位置關(guān)系題點直線與橢圓位置關(guān)系的判斷答案B解析由可得(3m)x24mxm0，(4m)24m(3m)>0，解得m>1或m<0.又m>0且m3，m>1且m3.6已知A，B是橢圓1(ab0)長軸的兩個端點，M，N是橢圓上關(guān)于x軸對稱的兩點，直線AM，BN的斜率分別為k1，k2(k1k20)，若橢圓的離心率為，則|k1|k2|的最小值為()A1B.C.D.考點直線與橢圓的位置關(guān)系題點橢圓中的定點、定值、取值范圍問題答案A解析設(shè)M(x，y)，N(x，y)(axa)，則k1，k2，又因為橢圓的離心率為，所以，|k1|k2|21，故選A.7已知橢圓C：1(ab0)的離心率為，四個頂點構(gòu)成的四邊形的面積為12，直線l與橢圓C交于A，B兩點，且線段AB的中點為M(2,1)，則直線l的斜率為()A.B.C.D.1考點直線與橢圓的位置關(guān)系題點求橢圓中的直線方程答案C解析因為橢圓1的離心率為，四個頂點構(gòu)成的四邊形的面積為12，所以解得a2，b，所以橢圓的方程為1，因為直線l與橢圓C交于A，B兩點，且線段AB的中點為M(2,1)，所以設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x24，y1y22，又因為兩式相減，得(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0，所以(x1x2)(y1y2)0，所以直線l的斜率為k，故選C.二、填空題8(2017牌頭中學期中)過橢圓1內(nèi)一點P(3,1)，且被這點平分的弦所在直線的方程是_答案3x4y130解析設(shè)直線與橢圓交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，由于A，B兩點均在橢圓上，故1，1，兩式相減得0.又P是A，B的中點，x1x26，y1y22，kAB.直線AB的方程為y1(x3)即3x4y130.9若直線mxny4與圓x2y24沒有交點，則過點P(m，n)的直線與橢圓1的交點個數(shù)為_考點直線與橢圓的位置關(guān)系題點直線與橢圓的公共點個數(shù)問題答案2解析因為直線mxny4與圓x2y24沒有交點，所以>2，所以m2n2<4，即點P(m，n)在以原點為圓心，以2為半徑的圓內(nèi)(不包含邊界)，故過點P(m，n)的直線與橢圓1有兩個交點10設(shè)橢圓中心在坐標原點，A(2,0)，B(0,1)是它的兩個頂點，直線ykx(k>0)與線段AB相交于點D，與橢圓相交于E，F(xiàn)兩點若6，則k的值為_考點由橢圓方程研究簡單幾何性質(zhì)題點由橢圓幾何特征求參數(shù)答案或解析依題意得橢圓的方程為y21，直線AB，EF的方程分別為x2y2，ykx(k>0)如圖，設(shè)D(x0，kx0)，E(x1，kx1)，F(xiàn)(x2，kx2)，其中x1<x2，則x1，x2滿足方程(14k2)x24，故x2x1.由6知，x0x16(x2x0)，得x0(6x2x1)x2.由點D在直線AB上知，x02kx02，x0，所以，化簡得24k225k60，由此解得k或k.11(2017嘉興一中期末)若P為橢圓1上任意一點，EF為圓N：(x1)2y24的任意一條直徑，則的取值范圍是_答案5,21三、解答題12已知橢圓C1：y21，橢圓C2以C1的長軸為短軸，且與C1有相同的離心率(1)求橢圓C2的方程；(2)設(shè)O為坐標原點，點A，B分別在橢圓C1和C2上，2，求直線AB的方程考點直線與橢圓的位置關(guān)系題點求橢圓中的直線方程解(1)由已知可設(shè)橢圓C2的方程為1(a>2)，其離心率為，故，解得a4，故橢圓C2的方程為1.(2)若將A，B兩點的坐標分別記為(xA，yA)，(xB，yB)，由2及(1)知，O，A，B三點共線且點A，B不在y軸上，因此可設(shè)直線AB的方程為ykx.將ykx代入到y(tǒng)21中，得(14k2)x24，所以x.將ykx代入到1中，得(4k2)x216，所以x.又由2，得x4x，即，解得k1.故直線AB的方程為xy0或xy0.13已知橢圓1(ab0)的離心率為，橢圓上任意一點到右焦點F的距離的最大值為1.(1)求橢圓的方程；(2)已知點C(m,0)是線段OF上異于O，F(xiàn)的一個定點(O為坐標原點)，是否存在過點F且與x軸不垂直的直線l與橢圓交于A，B兩點，使得|AC|BC|，并說明理由考點直線與橢圓的位置關(guān)系題點橢圓中的定點、定值、取值范圍問題解(1)由已知可得解得b1，橢圓的方程為y21.(2)由(1)得F(1,0)，0m1.假設(shè)存在滿足題意的直線l，設(shè)l為yk(x1)，代入到y(tǒng)21中，得(2k21)x24k2x2k220.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，x1x2，y1y2k(x1x22).設(shè)AB的中點為M，則M.|AC|BC|，CMAB，即kCMkAB1，2mk0等價于(12m)k2m，當0m時，k ，即存在滿足條件的直線l；當m1時，k不存在，即不存在滿足條件的直線l.四、探究與拓展14已知橢圓C：y21的右焦點為F，直線l：x2，點Al，線段AF交C于點B，若3，則|_.考點由橢圓方程研究簡單幾何性質(zhì)題點由橢圓方程研究其他幾何性質(zhì)答案解析設(shè)點A(2，n)，B(x0，y0)由橢圓C：y21，知a22，b21，所以c21，即c1，所以右焦點F(1,0)，所以由3得(1，n)3(x01，y0)，所以13(x01)且n3y0，所以x0，y0n.將x0，y0代入到y(tǒng)21中，得221，解得n21，所以|.15已知橢圓E：1(ab0)過點P(2，)，且它的離心率為.(1)求橢圓E的標準方程；(2)與圓(x1)2y21相切的直線l：ykxt(kR，tR)交橢圓E于M，N兩點，若橢圓E上一點C滿足(O為坐標原點)，求實數(shù)的取值范圍考點直線與橢圓的位置關(guān)系題點直線與橢圓的公共點個數(shù)問題解(1)設(shè)橢圓的標準方程為1(ab0)，由已知，得解得所以橢圓E的標準方程為1.(2)因為直線l：ykxt與圓(x1)2y21相切，所以1，所以2k(t0)把ykxt代入1，并整理得(34k2)x28ktx(4t224)0.設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則有x1x2，y1y2kx1tkx2tk(x1x2)2t.因為(x1x2，y1y2)，所以C，又因為點C在橢圓E上，所以1，可得2，因為t20，所以211，所以022，所以的取值范圍為(，0)(0，)