第10練三角恒等變換與解三角形明晰考情1.命題角度：與三角恒等變換、三角函數(shù)的性質(zhì)相結合，考查解三角形及三角形的面積問題.2.題目難度：一般在解答題的第一題位置，中檔難度.考點一利用正弦、余弦定理解三角形方法技巧(1)公式法解三角形：直接利用正弦定理或余弦定理，其實質(zhì)是將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，適用于求三角形的邊或角.(2)邊角互化法解三角形：合理轉(zhuǎn)化已知條件中的邊角關系，適用于已知條件是邊角混和式的解三角形問題.1.在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知bsinAacos.(1)求角B的大小；(2)設a2，c3，求b和sin(2AB)的值.解(1)在ABC中，由正弦定理，可得bsinAasinB.又由bsinAacos，得asinBacos，即sinBcos，所以tanB.又因為B(0，)，所以B.(2)在ABC中，由余弦定理及a2，c3，B，得b2a2c22accosB7，故b.由bsinAacos，可得sinA.因為ac，所以cosA.因此sin2A2sinAcosA，cos2A2cos2A1.所以sin(2AB)sin2AcosBcos2AsinB.2.已知在ABC中，ACcosCBC，點M在線段AB上，且ACMBCM.(1)證明：ABC是直角三角形；(2)若AC6CM6，求sinACM的值.(1)證明記BCa，ACb，因為ACcos CBC，故cos C，故a2c2b2，故B90，故ABC是直角三角形.(2)解因為ACMBCM，故cosBCAcos 2BCM2cos2BCM1，即2a21，解得a，故cosBCMcosACM，則sinACM.3.在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且ac，已知2，cosB，b3，求：(1)a和c的值；(2)cos(BC)的值.解(1)由2，得cacosB2.cosB，ac6.由余弦定理得，a2c2b22accosB.b3，a2c292213.聯(lián)立解得或ac，a3，c2.(2)在ABC中，sinB.由正弦定理，得sinCsinB.abc，C為銳角，cosC，cos(BC)cosBcosCsinBsinC.考點二三角形的面積問題方法技巧三角形面積的求解策略(1)若所求面積的圖形為不規(guī)則圖形，可通過作輔助線或其他途徑構造三角形，轉(zhuǎn)化為求三角形的面積.(2)若所給條件為邊角關系，則運用正弦、余弦定理求出其兩邊及其夾角，再利用三角形面積公式求解.4.ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知ABC的面積為.(1)求sinBsinC；(2)若6cosBcosC1，a3，求ABC的周長.解(1)由題設得acsinB，即csinB.由正弦定理，得sinCsinB，故sinBsinC.(2)由題設及(1)，得cosBcosCsinBsinC，即cos(BC).所以BC，故A.由題意得bcsinA，a3，所以bc8.由余弦定理，得b2c2bc9，即(bc)23bc9.由bc8，得bc.故ABC的周長為3.5.(2018江蘇省高考沖刺預測卷)已知a，b，c分別是ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊，且(2ac)sinBtanCbsinCtanB0.(1)求B；(2)若a2c，b2，求ABC的面積.解(1)由題意知(2ac)sinBtanCbsinCtanB0，所以0，由正弦定理得0，整理得2sinAcosBsinCcosBsinBcosC0，即2sinAcosBsinA0，又sinA0，所以cosB，B.(2)當a2c時，由余弦定理得4a2c22accosB7c2，所以c，a，所以SABCacsinB.6.已知ABC的內(nèi)角A，B，C滿足：.(1)求角A；(2)若ABC的外接圓半徑為1，求ABC的面積S的最大值.解(1)設內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，根據(jù)，可得，化簡得a2b2c2bc，所以cosA，又因為0<A<，所以A.(2)由正弦定理得2R(R為ABC外接圓半徑)，所以a2RsinA2sin，所以3b2c2bc2bcbcbc，所以SbcsinA3(當且僅當bc時取等號).考點三解三角形的綜合問題方法技巧(1)題中的關系式可以先利用三角變換進行化簡.(2)和三角形有關的最值問題，可以轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題，要注意其中角的取值.(3)和平面幾何有關的問題，不僅要利用三角函數(shù)和正弦、余弦定理，還要和三角形、平行四邊形的一些性質(zhì)結合起來.7.已知函數(shù)f(x)12sincosx3，x.(1)求f(x)的最大值、最小值；(2)CD為ABC的內(nèi)角平分線，已知ACf(x)max，BCf(x)min，CD2，求C.解(1)f(x)12sincosx312cosx36sinxcosx6cos2x33sin2x3cos2x6sin，f(x)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，又f(0)3，f3.f(x)maxf6，f(x)minf(0)3.(2)在ADC中，在BDC中，sinADCsinBDC，AC6，BC3，AD2BD.在BCD中，BD2CD2BC22CDBCcos1712cos，在ACD中，AD2AC2CD22ACCDcos4424cos，又AD24BD2，4424cos6848cos，cos，C(0，)，C.8.已知函數(shù)f(x)sin2xsin2(xR，為常數(shù)且1)，函數(shù)f(x)的圖象關于直線x對稱.(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；(2)在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a1，f，求ABC面積的最大值.解(1)f(x)cos2xcoscos2xcos2xsin2xsin.令2xk，kZ，解得x，kZ.f(x)的對稱軸為x，kZ.令，kZ，解得，kZ.1，取k1，f(x)sin.f(x)的最小正周期T.(2)fsin，sin.又0<A<，A.由余弦定理得，cosA，b2c2bc12bc，當且僅當bc時，等號成立.bc1.SABCbcsinAbc，ABC面積的最大值是.9.在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且m(2ac，cosC)，n(b，cosB)，mn.(1)求角B的大小；(2)若b1，當ABC的面積取得最大值時，求ABC內(nèi)切圓的半徑.解(1)由已知可得(2ac)cosBbcosC，結合正弦定理可得(2sinAsinC)cosBsinBcosC，即2sinAcosBsin(BC)，又sinAsin(BC)0，所以cosB，又0<B<，所以B.(2)由(1)得B，又b1，在ABC中，b2a2c22accosB，所以12a2c2ac，即13ac(ac)2.又(ac)24ac，所以13ac4ac，即ac1，當且僅當ac1時取等號.從而SABCacsinBac，當且僅當ac1時，SABC取得最大值.設ABC內(nèi)切圓的半徑為r，由SABC(abc)r，得r.例(14分)在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，向量m(ab，sinAsinC)，向量n(c，sinAsinB)，且mn.(1)求角B的大??；(2)設BC的中點為D，且AD，求a2c的最大值及此時ABC的面積.審題路線圖規(guī)范解答評分標準解(1)因為mn，所以(ab)(sinAsinB)c(sinAsinC)0，1分由正弦定理，可得(ab)(ab)c(ac)0，即a2c2b2ac.3分由余弦定理可知，cosB.因為B(0，)，所以B.6分(2)設BAD，則在BAD中，由B可知，.由正弦定理及AD，有2，所以BD2sin，AB2sincossin，所以a2BD4sin，cABcossin，10分從而a2c2cos6sin4sin.由可知，所以當，即時，a2c取得最大值4.12分此時a2，c，所以此時SABCacsinB.14分構建答題模板第一步找條件：分析尋找三角形中的邊角關系.第二步巧轉(zhuǎn)化：根據(jù)已知條件，選擇使用的定理或公式，確定轉(zhuǎn)化方向，實現(xiàn)邊角互化.第三步得結論：利用三角恒等變換進行變形，得出結論.第四步再反思：審視轉(zhuǎn)化過程的等價性與合理性.1.在ABC中，a7，b8，cosB.(1)求A；(2)求AC邊上的高.解(1)在ABC中，因為cosB，所以sinB.由正弦定理得sinA.由題設知B，所以0A，所以A.(2)在ABC中，因為sinCsin(AB)sinAcosBcosAsinB，所以AC邊上的高為asinC7.2.(2018全國)在平面四邊形ABCD中，ADC90，A45，AB2，BD5.(1)求cosADB；(2)若DC2，求BC.解(1)在ABD中，由正弦定理得，即，所以sinADB.由題意知，ADB90，所以cosADB.(2)由題意及(1)知，cosBDCsinADB.在BCD中，由余弦定理得BC2BD2DC22BDDCcosBDC25825225，所以BC5.3.已知m，n，設函數(shù)f(x)mn.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間；(2)設ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且a，b，c成等比數(shù)列，求f(B)的取值范圍.解(1)f(x)mnsin，令2k2k，kZ，得4kx4k，kZ，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為，kZ.(2)由b2ac可知cos B(當且僅當ac時取等號)，所以0<B，<，1<f(B)，綜上，f(B)的取值范圍為.4.在某自然保護區(qū)，野生動物保護人員歷經(jīng)數(shù)年追蹤，發(fā)現(xiàn)國家一級重點保護動物貂熊的活動區(qū)為如圖所示的五邊形ABECD內(nèi)，保護人員為了研究該動物生存條件的合理性，需要分析貂熊的數(shù)量與活動面積的關系，保護人員在活動區(qū)內(nèi)的一條河的一岸通過測量獲得如下信息：A，B，C，D，E在同一平面內(nèi)，且ACD90，ADC60，ACB15，BCE105，CEB45，DCCE1km.(1)求BC的長；(2)野生動物貂熊的活動區(qū)ABECD的面積約為多少？(1.732，結果保留兩位小數(shù))解(1)在BCE中，CBE180BCECEB1801054530，由正弦定理，得BCsinCEBsin 45(km).(2)依題意知，在RtACD中，ACDCtanADC1tan 60(km)，又sin 105sin(6045)，sin 15sin(6045)，所以活動區(qū)ABECD的面積SSACDSABCSBCEACCDACCBsin 15BCCEsin 1051111.87(km2)，故野生動物貂熊的活動區(qū)ABECD的面積約為1.87 km2.