階段質(zhì)量檢測（二） 推理與證明(時(shí)間： 120分鐘滿分：150分)一、選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1設(shè)a，b，c，則a，b，c的大小順序是()AabcBbcaCcab Dacb解析：選Aa，b，c，又0，abc.2若a，b，c為實(shí)數(shù)，且ab0，則下列命題正確的是()Aac2bc2 Ba2abb2C. D.解析：選Ba2aba(ab)，ab0，ab0，a2ab0，a2ab.又abb2b(ab)0，abb2，由得a2abb2.3若a，b，c是不全相等的正數(shù)，給出下列判斷：(ab)2(bc)2(ca)20；ab與ab及ab中至少有一個(gè)成立；ac，bc，ab不能同時(shí)成立其中判斷正確的個(gè)數(shù)是()A0 B1C2 D3解析：選C由于a，b，c不全相等，則ab，bc，ca中至少有一個(gè)不為0，故正確；顯然成立；令a2，b3，c5，滿足ac，bc，ab，故錯(cuò)4已知abc0，abbcac0，abc0，用反證法求證a0，b0，c0時(shí)的反設(shè)為()Aa0，b0，c0 Ba0，b0，c0Ca，b，c不全是正數(shù) Dabc0解析：選Ca0，b0，c0的否定是：a，b，c不全是正數(shù)5求證：>.證明：因?yàn)楹投际钦龜?shù)，所以為了證明>，只需證明()2>()2，展開得52>5，即2>0，此式顯然成立，所以不等式>成立上述證明過程應(yīng)用了()A綜合法B分析法C綜合法、分析法配合使用D間接證法解析：選B證明過程中的“為了證明”，“只需證明”這樣的語句是分析法所特有的，是分析法的證明模式6設(shè)x，y，z0，則三個(gè)數(shù)，()A都大于2 B至少有一個(gè)大于2C至少有一個(gè)不小于2 D至少有一個(gè)不大于2解析：選C因?yàn)閤0，y0，z0，所以6，當(dāng)且僅當(dāng)xyz時(shí)等號(hào)成立，則三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)不小于2.7若數(shù)列an是等比數(shù)列，則數(shù)列anan1()A一定是等比數(shù)列B一定是等差數(shù)列C可能是等比數(shù)列也可能是等差數(shù)列D一定不是等比數(shù)列解析：選C設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，則anan1an(1q)當(dāng)q1時(shí)，anan1一定是等比數(shù)列；當(dāng)q1時(shí)，anan10，此時(shí)為等差數(shù)列8用數(shù)學(xué)歸納法證明“1”時(shí)，由nk的假設(shè)證明nk1時(shí)，如果從等式左邊證明右邊，則必須證得右邊為()A.B.C.D.解析：選D當(dāng)nk1時(shí)，右邊應(yīng)為.故D正確二、填空題(本大題共7小題，多空題6分，單空題4分，共36分請把正確答案填在題中橫線上)9已知x，yR，且xy<2，則x，y中至多有一個(gè)大于1，在用反證法證明時(shí)，假設(shè)應(yīng)為_解析：“至多有一個(gè)大于1”包括“都不大于1和有且僅有一個(gè)大于1”，故其對立面為“x，y都大于1”答案：x，y都大于110若P，Q(a0)，則P，Q的大小關(guān)系是_解析：假設(shè)PQ，要證PQ，只需證P2Q2，即證：2a722a72，即證：a27aa27a12，即證：012，012成立，PQ成立答案：PQ11已知a，b是不相等的正數(shù)，x，y，則x，y的大小關(guān)系是_解析：x2y2(ab).a，b是不相等的正數(shù)，()20，0.x2y2.又x0，y0，xy.答案：xy12已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn，且a11，Snn2an(nN*)，則S4_；可歸納猜想出Sn的表達(dá)式為_解析：由a11，得a1a222a2，a2，S2；又1a332a3，a3，S3；又1a416a4，得a4，S4.由S1，S2，S3，S4可以猜想Sn.答案：13設(shè)函數(shù)f(x)定義如下表，數(shù)列xn滿足x05，且對任意的自然數(shù)均有xn1f(xn)，則x2 016_；x2017_.x12345f(x)41352解析：x1f(x0)f(5)2，x2f(2)1，x3f(1)4，x4f(4)5，x5f(5)2，數(shù)列xn是周期為4的數(shù)列，所以x2 016x45，x2017x52.答案：5214已知a1，an1，則a2，a3，a4的值分別為_，由此猜想an_.解析：a2，同理，a3，a4，a5，猜想an.答案：，15用數(shù)學(xué)歸納法證明：123n2，其初始值為_，當(dāng)nk1時(shí)，其式子的左端應(yīng)在nk時(shí)的左端再加上_解析：代入驗(yàn)證可知n的初始值為1.nk時(shí)的左端為123k2，nk1時(shí)的左端為123k2(k21)(k22)(k1)2.故增加的式子為(k21)(k22)(k1)2.答案：1(k21)(k22)(k1)2三、解答題(本大題共5小題，共74分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)16(本小題滿分14分)用綜合法或分析法證明：(1)如果a，b>0，則lg ；(2)6>22.證明：(1)當(dāng)a，b>0時(shí)，有，lglg，lglg ab.(2)要證 >22，只要證()2>(22)2，即2>2，這是顯然成立的，所以，原不等式成立17(本小題滿分15分)已知a，b，c(0,1)求證：(1a)b，(1b)c，(1c)a不能同時(shí)大于.證明：假設(shè)三式同時(shí)大于，即(1a)b，(1b)c，(1c)a，三式同向相乘，得(1a)a(1b)b(1c)c.又(1a)a2，當(dāng)且僅當(dāng)a時(shí)取“”號(hào)，同理(1b)b，(1c)c.所以(1a)a(1b)b(1c)c，與式矛盾，即假設(shè)不成立，故結(jié)論正確18(本小題滿分15分)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a11，S393.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn；(2)設(shè)bn(nN*)，求證：數(shù)列bn中任意不同的三項(xiàng)都不可能成為等比數(shù)列解：(1)由已知得d2.故an2n1，Snn(n)(2)由(1)得bnn.假設(shè)數(shù)列bn中存在三項(xiàng)bp，bq，br(p，q，r互不相等)成等比數(shù)列，則bbpbr，即(q)2(p)(r)，(q2pr)(2qpr)0，p，q，rN*，2pr，(pr)20.pr，與pr矛盾數(shù)列bn中任意不同的三項(xiàng)都不可能成等比數(shù)列19(本小題滿分15分)設(shè)f(n)1(nN*)求證：f(1)f(2)f(n1)nf(n)1(n2，nN*)證明：當(dāng)n2時(shí)，左邊f(xié)(1)1，右邊21，左邊右邊，等式成立假設(shè)nk(k2，kN*)時(shí)，結(jié)論成立，即f(1)f(2)f(k1)kf(k)1，那么，當(dāng)nk1時(shí)，f(1)f(2)f(k1)f(k)kf(k)1f(k)(k1)f(k)k(k1)k(k1)f(k1)(k1)(k1)f(k1)1，當(dāng)nk1時(shí)結(jié)論仍然成立f(1)f(2)f(n1)nf(n)1(n2，nN*)20(本小題滿分15分)已知f(x)，且f(1)log162，f(2)1.(1)求函數(shù)f(x)的表達(dá)式；(2)已知數(shù)列xn的項(xiàng)滿足xn(1f(1)(1f(2)(1f(n)，試求x1，x2，x3，x4；(3)猜想xn的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明解：(1)把f(1)log162，f(2)1，代入函數(shù)表達(dá)式得即解得(舍去a)，f(x)(x1)(2)x11f(1)1，x2(1f(2)，x3(1f(3)，x4.(3)由(2)知，x1，x2，x3，x4，由此可以猜想xn.證明：當(dāng)n1時(shí)，x1，而，猜想成立假設(shè)當(dāng)nk(kN*)時(shí)，xn成立，即xk，則nk1時(shí)，xk1(1f(1)(1f(2)(1f(k)(1f(k1)xk(1f(k1).當(dāng)nk1時(shí)，猜想也成立，根據(jù)可知，對一切nN*，猜想xn都成立