第30練坐標(biāo)系與參數(shù)方程明晰考情1.命題角度：高考主要考查平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換、直線(xiàn)和圓的極坐標(biāo)方程；參數(shù)方程與普通方程的互化，常見(jiàn)曲線(xiàn)的參數(shù)方程及參數(shù)方程的簡(jiǎn)單應(yīng)用.以極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程與普通方程的互化為主要考查形式，同時(shí)考查直線(xiàn)與曲線(xiàn)位置關(guān)系等解析幾何知識(shí).2.題目難度：中檔難度.考點(diǎn)一曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程方法技巧(1)進(jìn)行極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互化的關(guān)鍵是抓住互化公式：xcos，ysin，2x2y2，tan(x0)，要注意，的取值范圍及其影響，靈活運(yùn)用代入法和平方法等技巧.(2)由極坐標(biāo)方程求曲線(xiàn)交點(diǎn)、距離等幾何問(wèn)題時(shí)，如果不能直接用極坐標(biāo)解決，可先轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程，然后求解.1.已知圓的極坐標(biāo)方程為4cos，圓心為C，點(diǎn)P的極坐標(biāo)為，求CP的長(zhǎng).解由4cos，得24cos，即x2y24x，即(x2)2y24，圓心C(2,0)，又由點(diǎn)P的極坐標(biāo)為，可得點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(2,2)，|CP|2.2.在極坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)C1：(cossin)1與曲線(xiàn)C2：a(a>0)的一個(gè)交點(diǎn)在極軸上，求a的值.解(cossin)1，即cossin1對(duì)應(yīng)的普通方程為xy10，a(a>0)對(duì)應(yīng)的普通方程為x2y2a2.在xy10中，令y0，得x.將代入x2y2a2，得a.3.在以O(shè)為極點(diǎn)的極坐標(biāo)系中，直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程分別是cos3和sin28cos，直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C交于點(diǎn)A，B，求線(xiàn)段AB的長(zhǎng).解coscoscossinsincossin3，直線(xiàn)l對(duì)應(yīng)的直角坐標(biāo)方程為xy6.又sin28cos，2sin28cos，曲線(xiàn)C對(duì)應(yīng)的直角坐標(biāo)方程是y28x.解方程組得或不妨取A(2，4)，B(18,12)，|AB|16.即線(xiàn)段AB的長(zhǎng)為16.考點(diǎn)二參數(shù)方程及其應(yīng)用要點(diǎn)重組過(guò)定點(diǎn)P0(x0，y0)，傾斜角為的直線(xiàn)參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為(t為參數(shù))，t的幾何意義是的數(shù)量，即|t|表示P0到P的距離，t有正負(fù)之分.使用該式時(shí)直線(xiàn)上任意兩點(diǎn)P1，P2對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，則|P1P2|t1t2|，P1P2的中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)為(t1t2).方法技巧(1)參數(shù)方程化為普通方程：由參數(shù)方程化為普通方程就是要消去參數(shù)，消參數(shù)時(shí)常常采用代入消元法、加減消元法、乘除消元法、三角代換法，且消參數(shù)時(shí)要注意參數(shù)的取值范圍對(duì)x，y的限制.(2)在與直線(xiàn)、圓、橢圓有關(guān)的題目中，參數(shù)方程的使用會(huì)使問(wèn)題的解決事半功倍，尤其是求取值范圍和最值問(wèn)題，可將參數(shù)方程代入相關(guān)曲線(xiàn)的普通方程中，根據(jù)參數(shù)的取值條件求解.4.已知曲線(xiàn)C：1，直線(xiàn)l：(t為參數(shù)).(1)寫(xiě)出曲線(xiàn)C的參數(shù)方程，直線(xiàn)l的普通方程；(2)過(guò)曲線(xiàn)C上任意一點(diǎn)P作與l夾角為30的直線(xiàn)，交l于點(diǎn)A，求|PA|的最大值與最小值.解(1)曲線(xiàn)C的參數(shù)方程為(為參數(shù)).直線(xiàn)l的普通方程為2xy60.(2)曲線(xiàn)C上任意一點(diǎn)P(2cos，3sin)到l的距離為d|4cos3sin6|，則|PA|5sin()6|，其中為銳角，且tan.當(dāng)sin()1時(shí)，|PA|取得最大值，最大值為.當(dāng)sin()1時(shí)，|PA|取得最小值，最小值為.5.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1,2)，傾斜角.(1)寫(xiě)出圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程和直線(xiàn)l的參數(shù)方程；(2)設(shè)直線(xiàn)l與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，求|PA|PB|的值.解(1)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2y216.直線(xiàn)l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，即(t為參數(shù)).(2)把直線(xiàn)l的參數(shù)方程(t為參數(shù))代入x2y216，得2216，即t2(2)t110.所以t1t211，即|PA|PB|t1t2|11.6.已知橢圓C：1，直線(xiàn)l：(t為參數(shù)).(1)寫(xiě)出橢圓C的參數(shù)方程及直線(xiàn)l的普通方程；(2)設(shè)A(1,0)，若橢圓C上的點(diǎn)P滿(mǎn)足到點(diǎn)A的距離與其到直線(xiàn)l的距離相等，求點(diǎn)P的坐標(biāo).解(1)橢圓C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，直線(xiàn)l的普通方程為xy90.(2)設(shè)P(2cos，sin)，則|AP|2cos，點(diǎn)P到直線(xiàn)l的距離d.由|AP|d，得3sin4cos5，又sin2cos21，得sin，cos.故P.考點(diǎn)三極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程的綜合應(yīng)用方法技巧(1)解決極坐標(biāo)與參數(shù)方程的綜合問(wèn)題的關(guān)鍵是掌握極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，參數(shù)方程與普通方程的互化.涉及圓、圓錐曲線(xiàn)上的點(diǎn)的最值問(wèn)題，往往通過(guò)參數(shù)方程引入三角函數(shù)，利用三角函數(shù)的最值求解.(2)數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用，即充分利用參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，或者利用和的幾何意義，直接求解，能達(dá)到化繁為簡(jiǎn)的解題目的.7.(2017全國(guó))在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線(xiàn)C的參數(shù)方程為 (為參數(shù))，直線(xiàn)l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).(1)若a1，求C與l的交點(diǎn)坐標(biāo)；(2)若C上的點(diǎn)到l的距離的最大值為，求a.解(1)曲線(xiàn)C的普通方程為y21.當(dāng)a1時(shí)，直線(xiàn)l的普通方程為x4y30.由解得或從而C與l的交點(diǎn)坐標(biāo)是(3,0)，.(2)直線(xiàn)l的普通方程是x4y4a0，故C上的點(diǎn)(3cos，sin)到l距離d.當(dāng)a4時(shí)，d的最大值為.由題設(shè)得，所以a8；當(dāng)a<4時(shí)，d的最大值為.由題設(shè)得，所以a16.綜上，a8或a16.8.已知曲線(xiàn)C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線(xiàn)l的極坐標(biāo)方程為sin4.(1)寫(xiě)出曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程和直線(xiàn)l的普通方程；(2)若射線(xiàn)與曲線(xiàn)C交于O，A兩點(diǎn)，與直線(xiàn)l交于B點(diǎn)，射線(xiàn)與曲線(xiàn)C交于O，P兩點(diǎn)，求PAB的面積.解(1)由(為參數(shù))，消去，得普通方程為(x2)2y24.從而曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程為24cos0，即4cos，直線(xiàn)l的極坐標(biāo)方程為sin4，即sincos4，直線(xiàn)l的直角坐標(biāo)方程為xy80.(2)依題意知，A，B兩點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為，聯(lián)立射線(xiàn)與曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程，得P點(diǎn)極坐標(biāo)為，|AB|2，SPAB22sin2.9.在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線(xiàn)C1的參數(shù)方程為 (為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)C2的極坐標(biāo)方程為sin2.(1)寫(xiě)出C1的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)點(diǎn)P在C1上，點(diǎn)Q在C2上，求|PQ|的最小值及此時(shí)P的直角坐標(biāo).解(1)C1的普通方程為y21.C2的直角坐標(biāo)方程為xy40.(2)由題意，可設(shè)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(cos，sin).因?yàn)镃2是直線(xiàn)，所以|PQ|的最小值即為點(diǎn)P到C2的距離d()的最小值，d().當(dāng)且僅當(dāng)2k(kZ)時(shí)，d()取得最小值，最小值為，此時(shí)P的直角坐標(biāo)為.典例(10分)在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.已知直線(xiàn)l與橢圓C的極坐標(biāo)方程分別為cos2sin0和2.(1)求直線(xiàn)l與橢圓C的直角坐標(biāo)方程；(2)若Q是橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)Q到直線(xiàn)l距離的最大值.審題路線(xiàn)圖規(guī)范解答評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)解(1)由cos2sin0，得cos2sin0，即x2y0，所以直線(xiàn)l的直角坐標(biāo)方程為x2y0.由2，得2cos242sin24，即x24y24，所以y21.所以橢圓C的直角坐標(biāo)方程為y21.4分(2)因?yàn)闄E圓C：y21的參數(shù)方程為(為參數(shù))，6分可設(shè)Q(2cos，sin)，因此點(diǎn)Q到直線(xiàn)l：x2y0的距離d，8分所以當(dāng)k，kZ時(shí)，d取得最大值.故點(diǎn)Q到直線(xiàn)l的距離的最大值為.10分構(gòu)建答題模板第一步互化：將極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互化；第二步引參：引進(jìn)參數(shù)，建立橢圓的參數(shù)方程；第三步列式：利用距離公式求出距離表達(dá)式；第四步求最值：利用三角函數(shù)求出距離的最值.1.(2018全國(guó))在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O的參數(shù)方程為(為參數(shù))，過(guò)點(diǎn)(0，)且傾斜角為的直線(xiàn)l與O交于A，B兩點(diǎn).(1)求的取值范圍；(2)求AB中點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程.解(1)O的直角坐標(biāo)方程為x2y21.當(dāng)時(shí)，l與O交于兩點(diǎn).當(dāng)時(shí)，記tank，則l的方程為ykx.l與O交于兩點(diǎn)，即點(diǎn)O到l的距離小于半徑1，當(dāng)且僅當(dāng)1，解得k1或k1，即或.綜上，的取值范圍是.(2)l的參數(shù)方程為.設(shè)A，B，P對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為tA，tB，tP，則tP，且tA，tB滿(mǎn)足t22tsin10.于是tAtB2sin，tPsin.又點(diǎn)P的坐標(biāo)(x，y)滿(mǎn)足所以點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程是.2.已知曲線(xiàn)C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，以直角坐標(biāo)系原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.(1)求曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程，并說(shuō)明方程表示什么軌跡；(2)若直線(xiàn)l的極坐標(biāo)方程為sincos，求直線(xiàn)l被曲線(xiàn)C截得的弦長(zhǎng).解(1)因?yàn)榍€(xiàn)C的參數(shù)方程為 (為參數(shù))，所以曲線(xiàn)C的普通方程為(x3)2(y1)210，曲線(xiàn)C表示以C(3,1)為圓心，為半徑的圓.將代入并化簡(jiǎn)，得6cos2sin，即曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程為6cos2sin.(2)因?yàn)橹本€(xiàn)l的直角坐標(biāo)方程為yx1，所以圓心C到直線(xiàn)yx1的距離d，所以直線(xiàn)被曲線(xiàn)C截得的弦長(zhǎng)為2.3.已知曲線(xiàn)C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，曲線(xiàn)C2的極坐標(biāo)方程為2cos，以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為x軸正半軸建立平面直角坐標(biāo)系.(1)求曲線(xiàn)C2的直角坐標(biāo)方程；(2)求曲線(xiàn)C2上的動(dòng)點(diǎn)M到曲線(xiàn)C1的距離的最大值.解(1)2cos2(cossin)，即22(cossin)，可得x2y22x2y0，故C2的直角坐標(biāo)方程為(x1)2(y1)22.(2)由C1的參數(shù)方程可得，C1的普通方程為xy20.由(1)知曲線(xiàn)C2是以(1,1)為圓心，為半徑的圓，且圓心到直線(xiàn)C1的距離d，所以動(dòng)點(diǎn)M到曲線(xiàn)C1的距離的最大值為.4.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線(xiàn)l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，0<)，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為4cos，圓C的圓心到直線(xiàn)l的距離為.(1)求的值；(2)已知P(1,0)，若直線(xiàn)l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，求的值.解(1)由直線(xiàn)l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，0<)，消去參數(shù)t，得xsinycossin0.圓C的極坐標(biāo)方程為4cos，即24cos，可得圓C的普通方程為x2y24x0，即為(x2)2y24，可知圓心為(2,0)，半徑為2，圓C的圓心到直線(xiàn)l的距離為d3sin.由題意可得d，即3sin，則sin，0<，或.(2)已知P(1,0)，則點(diǎn)P在直線(xiàn)l上，直線(xiàn)l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，將代入圓C的普通方程x2y24x0，得(1tcos)2(tsin)24(1tcos)0，t26tcos50.設(shè)A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t1，t2，則t1t26cos，t1t25，t1t2>0，t1，t2同號(hào)，.