新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料第十三節(jié)導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用(一）1了解函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，對多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過三次 2了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件；會用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值，對多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過三次；會求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值，對多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過三次 知識梳理 一、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系1函數(shù)單調(diào)性的充分條件設(shè)函數(shù)yf(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，如果在這個(gè)區(qū)間內(nèi)y>0，那么函數(shù)yf(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)為_；如果在這個(gè)區(qū)間內(nèi)y<0，那么函數(shù)yf(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)為_2函數(shù)單調(diào)性的必要條件設(shè)函數(shù)yf(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，如果函數(shù)yf(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，那么在這個(gè)區(qū)間內(nèi)_；如果函數(shù)yf(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)為_，那么在這個(gè)區(qū)間內(nèi)_3求可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的一般步驟和方法(1)確定函數(shù)f(x)的定義域(2)計(jì)算導(dǎo)數(shù)_，令_，解此方程，求出它們在定義域區(qū)間內(nèi)的一切實(shí)根(3)把函數(shù)f(x)的間斷點(diǎn)的橫坐標(biāo)和上面的各實(shí)根按由小到大的順序排列起來，然后用這些點(diǎn)把f(x)的定義域分成若干個(gè)小區(qū)間(4)確定f(x)在各個(gè)開區(qū)間內(nèi)的符號，根據(jù)f(x)的符號判定函數(shù)f(x)在每個(gè)相應(yīng)小區(qū)間的增減性若f(x)>0，則f(x)在相應(yīng)區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)；若f(x)<0，則f(x)在相應(yīng)區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)二、函數(shù)的極值1函數(shù)極值的定義一般地，設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0附近有定義，如果對x0附近的所有的點(diǎn)，都有f(x)f(x0)，就說f(x0)是_，記作_，x0是_如果對x0附近的所有的點(diǎn)，都有f(x)f(x0)就說f(x0)是_，記作_，x0是極小值點(diǎn)極大值與極小值統(tǒng)稱為_2判別f(x0)是極大值、極小值的方法若x0滿足f(x0)0，且在x0的兩側(cè)f(x)的導(dǎo)數(shù)異號，則x0是f(x)的極值點(diǎn)，f(x0)是極值，并且如果f(x)在x0兩側(cè)滿足“左正右負(fù)”，那么x0是f(x)的_，f(x0)是_；如果f(x)在x0兩側(cè)滿足“_”，那么x0是f(x)的極小值點(diǎn)，f(x0)是極小值3求可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值的步驟 (1)確定函數(shù)的定義區(qū)間，求導(dǎo)數(shù)_ (2)求方程_的根 (3)用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)和函數(shù)定義域的邊界點(diǎn)，順次將函數(shù)的定義域分成_，并列成表格檢查f(x)在_，如果_，那么f(x)在這個(gè)根處取得極大值；如果_，那么f(x)在這個(gè)根處取得極小值；如果左右_，那么f(x)在這個(gè)根處_三、函數(shù)的最大值與最小值1函數(shù)的最大值與最小值在閉區(qū)間上圖象連續(xù)不斷的函數(shù)f(x)在上_最大值與最小值2利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值的步驟 設(shè)函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，在閉區(qū)間上圖象連續(xù)不斷，求函數(shù)f(x)在上的最大值與最小值的步驟如下：(1)求f(x)在(a，b)內(nèi)的_(2)將f(x)的各_與_比較，得出函數(shù)f(x)在上的最值，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值 基礎(chǔ)自測1函數(shù)yxsin xcos x在(，3)內(nèi)的單調(diào)增區(qū)間為()來源:A. B.C. D(，2)解析：yxsin xcos x，yxcos x.來源:當(dāng)x(，3)時(shí)，要使yxcos x0，只要cos x0，結(jié)合選項(xiàng)知，只有B滿足答案：B2函數(shù)f(x)ax3x1有極值的充要條件是()Aa0 Ba>0Ca0 Da<0解析：f(x)3ax21，若函數(shù)有極值，則方程3ax210必有實(shí)數(shù)根，顯然a0，所以x2>0，所以a<0.故選D.答案：D3 函數(shù)f(x)x3x2ax5在區(qū)間1,2上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析：f(x)x3x2ax5，f(x)x22xa(x1)2a1.如果函數(shù)f(x)x3x2ax5在區(qū)間1,2上單調(diào)，那么a10或解得a1或a3.于是滿足條件的a(3,1)答案：(3,1)4(2013·武漢質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)為f(x)x2x，則當(dāng)x_時(shí)，函數(shù)f(x)取得極大值解析：當(dāng)x0或x1時(shí)，f(x)0；當(dāng)0x1時(shí)，f(x)0，所以當(dāng)x0時(shí)，函數(shù)f(x)取得極大值來源:答案：0來源:1(2012·陜西卷)設(shè)函數(shù)f(x)xex，則()Ax1為f(x)的極大值點(diǎn)Bx1為f(x)的極小值點(diǎn) Cx1為f(x)的極大值點(diǎn)來源:Dx1為f(x)的極小值點(diǎn)解析：f(x)(x1)ex，令f(x)0，得x1，當(dāng)x<1時(shí)，f(x)<0，f(x)xex為減函數(shù)；當(dāng)x>1時(shí)，f(x)>0，f(x)=xex為增函數(shù)，所以x1為f(x)的極小值點(diǎn)故選D. 答案：D2(2013·福建卷)已知函數(shù)f(x)xaln x(aR)(1)當(dāng)a2時(shí)，求曲線yf(x)在點(diǎn)A(1，f(1)處的切線方程；(2)求函數(shù)f(x)的極值解析：函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，)，f(x)1.來源:(1)當(dāng)a2時(shí)，f(x)x2ln x，f(x)1(x>0)，因而f(1)1，f(1)1，所以曲線yf(x)在點(diǎn)A(1，f(1)處的切線方程為y1(x1)，即xy20.(2)由f(x)1(x>0)，知：當(dāng)a0時(shí)，f(x)>0，函數(shù)f(x)為(0，)上的增函數(shù)，函數(shù)f(x)無極值；當(dāng)a>0時(shí)，由f(x)0，解得xa.又當(dāng)x(0，a)時(shí)，f(x)<0；當(dāng)x(a，)時(shí)，f(x)>0，從而函數(shù)f(x)在xa處取得極小值，且極小值為f(a)aaln a，無極大值綜上，當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)f(x)無極值；當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)f(x)在xa處取得極小值aaln a，無極大值答案：見解析1設(shè)函數(shù)f(x)2ln2.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若關(guān)于x的方程fx23xa0在區(qū)間內(nèi)恰有兩個(gè)相異的實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍來源:解析：(1)函數(shù)f的定義域?yàn)?，f(x)2(x>1)，則使f(x)>0的x的取值范圍為，來源:故函數(shù)f的單調(diào)遞增區(qū)間為.(2)(法一)f(x)2ln2，f(x)x23xa0xa12ln0.令gxa12ln.g(x)1，且x>1，由g(x)>0，得x>3；由g(x)<0，得1<x<3.g(x)在區(qū)間2,3上單調(diào)遞減，在區(qū)間3,4上單調(diào)遞增來源:數(shù)理化網(wǎng)故f(x)x23xa0在區(qū)間內(nèi)恰有兩個(gè)相異實(shí)根即解得2ln 35a<2ln 24.綜上所述，a的取值范圍是2ln 35,2ln 24)(法二)f(x)2ln2，f(x)x23xa0xa12ln0，即a2lnx1，令h2lnx1，h(x)1，且x>1，來源:由h(x)>0，得1<x<3；由h(x)<0，得x>3.h(x)在區(qū)間2,3上單調(diào)遞增，在區(qū)間3,4上單調(diào)遞減h3，h2ln 24，h2ln 35，又h<h，故f(x)x23xa0在區(qū)間上恰有兩個(gè)相異實(shí)根ha<h，即2ln 35a<2ln 24.綜上所述，a的取值范圍是2ln 35,2ln 24)答案：見解析2(2013·惠州一模改編)已知函數(shù)f(x)ax2bx1在x3處的切線方程為y5x8.(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)若關(guān)于x的方程f(x)kex恰有兩個(gè)不同的實(shí)根，求實(shí)數(shù)k的值；解析：(1)由f(x)ax2bx1，所以f(x)2axb，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)ax2bx1在x3處的切線方程為y5x8，所以切點(diǎn)為(3,7)則解得a1，b1.所以f(x)x2x1；(2)由(1)知f(x)x2x1，關(guān)于x的方程f(x)kex恰有兩個(gè)不同的實(shí)根，即x2x1k·ex有兩個(gè)不同的實(shí)根，也就是kex(x2x1)有兩個(gè)不同的實(shí)根令g(x)ex(x2x1)，則g(x)(2x1)ex(x2x1)ex(x23x(x1)(x2)ex.由g(x)0，得x11，x22.所以當(dāng)x(，1)時(shí)，g(x)0，g(x)在(，1)上為減函數(shù)；當(dāng)x(1,2)時(shí)，g(x)0，g(x)在(1,2)上為增函數(shù)；當(dāng)x(2，)時(shí)，g(x)0，g(x)在(2，)上為減函數(shù)；所以，當(dāng)x1時(shí)，g(x)取得極小值g(1)，當(dāng)x2時(shí)函數(shù)取得極大值g(2).函數(shù)yk與yg(x)的圖象的大致形狀如上，由圖象可知，當(dāng)k和k時(shí)，關(guān)于x的方程f(x)kex恰有兩個(gè)不同的實(shí)根答案：見解析