14個(gè)填空題專項(xiàng)強(qiáng)化練(六)解三角形A組題型分類練題型一正弦定理和余弦定理1在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，a4，b5，c6，則_.解析：由正弦定理得，由余弦定理得cos A，a4，b5，c6，2cos A21.答案：12在銳角ABC中，AB3，AC4.若ABC的面積為3，則BC的長(zhǎng)是_解析：因?yàn)镾ABCABACsin A，所以334sin A，所以sin A，因?yàn)锳BC是銳角三角形，所以A60，由余弦定理得，BC2AB2AC22ABACcos A，解得BC.答案：3已知在ABC中，A120，AB，角B的平分線BD，則BC_.解析：在ABD中，由正弦定理得，sinADB，ADB45，ABD15，ABC30，ACB30，ACAB.在ABC中，由余弦定理得BC .答案：4在斜三角形ABC中，a，b，c分別是角A，B，C所對(duì)的邊，若，則的最大值為_解析：由可得，即，即，sin2Csin Asin Bcos C.根據(jù)正弦定理及余弦定理可得，c2ab，整理得a2b23c2.，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)等號(hào)成立答案：臨門一腳1正弦定理的應(yīng)用：(1)已知兩角和任意一邊，求其它兩邊和一角；(2)已知兩邊和其中一邊對(duì)角，求另一邊的對(duì)角，進(jìn)而可求其他的邊和角2利用余弦定理，可以解決以下兩類有關(guān)三角形的問(wèn)題：(1)已知三邊，求三個(gè)角；(2)已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個(gè)角3要注意運(yùn)用a>bA>Bsin A>sin B對(duì)所求角的限制，控制解的個(gè)數(shù)4對(duì)邊、角混合的問(wèn)題的處理辦法一般是實(shí)施邊、角統(tǒng)一，而正弦定理、余弦定理在實(shí)施邊和角相互轉(zhuǎn)化時(shí)有重要作用，如果邊是一次式，一般用正弦定理轉(zhuǎn)化，如果邊是二次式，一般用余弦定理5對(duì)“銳角三角形”的概念要充分應(yīng)用，必須三個(gè)角都是銳角的三角形才是銳角三角形，防止角范圍的擴(kuò)大題型二解三角形的實(shí)際應(yīng)用1.如圖，設(shè)A、B兩點(diǎn)在河的兩岸，一測(cè)量者在A的同側(cè)，選定一點(diǎn)C，測(cè)出AC的距離為50 m，ACB45，CAB105，則A、B兩點(diǎn)的距離為_m.解析：B180ACBCAB30，由正弦定理得，AB50(m)答案：502.如圖，兩座相距60 m的建筑物AB、CD的高度分別為20 m、50 m，BD為水平面，則從建筑物AB的頂端A看建筑物CD的張角CAD的大小是_解析：AD26022024 000，AC26023024 500.在CAD中，由余弦定理得cosCAD，CAD45.答案：453.如圖，某住宅小區(qū)的平面圖呈圓心角為120的扇形AOB，C是該小區(qū)的一個(gè)出入口，且小區(qū)里有一條平行于AO的小路CD.已知某人從O沿OD走到D用了2分鐘，從D沿著DC走到C用了3分鐘若此人步行的速度為每分鐘50米，則該扇形的半徑為_米解析：依題意得OD100米，CD150米，連接OC，易知ODC180AOB60，因此由余弦定理有OC2OD2CD22ODCDcosODC，即OC210021502210015017 500，OC50(米)答案：50臨門一腳1理解題中的有關(guān)名詞、術(shù)語(yǔ)，如坡度、仰角、俯角、視角、方位角等2測(cè)量問(wèn)題和追擊問(wèn)題關(guān)鍵是構(gòu)建三角形，利用正余弦定理研究3幾何圖形中長(zhǎng)度和面積的最值問(wèn)題的研究關(guān)鍵是選好參數(shù)(邊、角或者建立坐標(biāo)系)，構(gòu)建函數(shù)來(lái)研究，不要忽視定義域的研究B組高考提速練1在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，a，b1，c2，則A等于_解析：cos A，又0<A<180，A60.答案：602在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若a18，b24，A45，則此三角形有_個(gè)解析：，sin Bsin Asin 45，sin B.又a<b，B有兩個(gè)答案：23在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知a5，b2，C30，則c_.解析：由余弦定理得c2a2b22abcos C52(2)2252cos 307，所以c.答案：4.如圖，一艘船上午8：00在A處測(cè)得燈塔S在它的北偏東30處，之后它繼續(xù)沿正北方向勻速航行，上午8：30到達(dá)B處，此時(shí)又測(cè)得燈塔S在它的北偏東75處，且與它相距4 n mile，則此船的航行速度是_n mile/h.解析：在ABS中，由正弦定理，有，AB8，故此船的航行速度是816(n mile/h)答案：165在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，B45，C60，c2，則最短邊的邊長(zhǎng)等于_解析：可知A75，角B最小，所以b邊最小，由正弦定理，得，解得b.答案：6在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若a，b2，sin Bcos B，則角A的大小為_解析：由sin Bcos B，得sin1，所以B，B，由正弦定理，得sin A.又因?yàn)閎>a，所以B>A，所以A.答案：7在ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，若a2c23b，且sin B8cos Asin C，則邊b_.解析：由sin B8cos Asin C及正、余弦定理，知b8c，整理得a2b2c2，與a2c23b聯(lián)立解得b4.答案：48.如圖，從氣球A上測(cè)得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為67，30，此時(shí)氣球的高度是46 m，則河流的寬度BC約等于_m(用四舍五入法將結(jié)果精確到個(gè)位參考數(shù)據(jù)：sin 670.92，cos 670.39，sin 370.60，cos 370.80，1.73)解析：過(guò)A作BC邊上的高AD，D為垂足在RtACD中，AC92，在ABC中，由正弦定理，得BCsinBACsin 370.6060(m)答案：609在ABC中，已知AB，C，則的最大值為_解析：因?yàn)锳B，C，設(shè)角A，B，C所對(duì)的邊為a，b，c，所以由余弦定理得3a2b22abcosa2b2abab，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)等號(hào)成立，又abcos Cab，所以當(dāng)ab時(shí)，()max.答案：10在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若ABC的面積為S，且2S(ab)2c2，則tan C_.解析：因?yàn)?S(ab)2c2a2b2c22ab，由面積公式與余弦定理，得absin C2abcos C2ab，即sin C2cos C2，所以(sin C2cos C)24，4，所以4，解得tan C或tan C0(舍去)答案：11在銳角三角形ABC中，A2B，B，C的對(duì)邊長(zhǎng)分別是b，c，則的取值范圍是_解析：A2B<，AB3B>，所以<B<.在ABC中，sin Csin(AB)sin 3B，由正弦定理可得.又<cos B<，所以的取值范圍是.答案：12在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若a2，bc1，ABC的面積為，則_.解析：以BC為x軸，BC的垂直平分線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，因?yàn)閍2，所以B(1,0)，C(1,0)，設(shè)A(x，y)，又ACAB1<BC，所以點(diǎn)A的軌跡為以B，C為焦點(diǎn)的雙曲線的右支上又ABC的面積為，所以2yA，即yA，又雙曲線方程為1，代入可得xA，所以13.答案：13在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若a23b23c22bcsin A，則C_.解析：因?yàn)閍23b23c22bcsin Ab2c22bccos A，所以sin Acos A2sin.又22(當(dāng)且僅當(dāng)bc時(shí)取等號(hào))，2sin2，當(dāng)且僅當(dāng)A時(shí)取等號(hào)，故2sin2，所以bc，A，故C.答案：14在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若ABC為銳角三角形，且滿足b2a2ac，則的取值范圍是_解析：由余弦定理得b2a2(a2c22accos B)(b2c22bccos A)a2b22c(bcos Aacos B)，即b2a2c(bcos Aacos B)acbcos Aacos Basin(BA)sin AB2A.又ABC為銳角三角形，所以<B<.則.答案：