第四節(jié)直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系最新考綱1.能根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線與圓的位置關(guān)系；能根據(jù)給定兩個(gè)圓的方程判斷兩圓的位置關(guān)系2能用直線和圓的方程解決一些簡單的問題.3.初步了解用代數(shù)方法處理幾何問題的思想(對應(yīng)學(xué)生用書第150頁)1直線與圓的位置關(guān)系(1)三種位置關(guān)系：相交、相切、相離(2)兩種研究方法：幾何法2圓與圓的位置關(guān)系設(shè)圓O1：(xa1)2(yb1)2r(r1>0)，圓O2：(xa2)2(yb2)2r(r2>0)位置關(guān)系幾何法：圓心距d與r1，r2的關(guān)系代數(shù)法：兩圓方程聯(lián)立組成方程組的解的情況外離d>r1r2無解外切dr1r2一組實(shí)數(shù)解相交|r1r2|<d<r1r2兩組不同的實(shí)數(shù)解內(nèi)切d|r1r2|(r1r2)一組實(shí)數(shù)解內(nèi)含0d<|r1r2|(r1r2)無解1. 圓的切線方程常用結(jié)論(1)過圓x2y2r2上一點(diǎn)P(x0，y0)的圓的切線方程為x0xy0yr2.(2)過圓(xa)2(yb)2r2上一點(diǎn)P(x0，y0)的圓的切線方程為(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2.(3)過圓x2y2r2外一點(diǎn)M(x0，y0)作圓的兩條切線，則兩切點(diǎn)所在直線方程為x0xy0yr2.2圓與圓的位置關(guān)系的常用結(jié)論(1)兩圓的位置關(guān)系與公切線的條數(shù)：內(nèi)含：0條；內(nèi)切：1條；相交：2條；外切：3條；外離：4條(2)當(dāng)兩圓相交時(shí)，兩圓方程(x2，y2項(xiàng)系數(shù)相同)相減便可得公共弦所在直線的方程一、思考辨析(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)“k1”是“直線xyk0與圓x2y21相交”的必要不充分條件()(2)如果兩個(gè)圓的方程組成的方程組只有一組實(shí)數(shù)解，則兩圓外切()(3)如果兩圓的圓心距小于兩半徑之和，則兩圓相交()(4)若兩圓相交，則兩圓方程相減消去二次項(xiàng)后得到的二元一次方程是公共弦所在直線的方程()答案(1)×(2)×(3)×(4)二、教材改編1若直線xy10與圓(xa)2y22有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A3，1B1,3C3,1D(，31，)C由題意知，即|a1|2.解得3a1.故選C.2圓(x2)2y24與圓(x2)2(y1)29的位置關(guān)系為()A內(nèi)切B相交C外切D相離B兩圓圓心分別為(2,0)，(2,1)，半徑分別為2和3，圓心距d. 32<d<32，兩圓相交3已知直線l：yk(x)和圓C：x2(y1)21，若直線l與圓C相切，則k()A0B. C.或0D.或0D因?yàn)橹本€l與圓C相切，所以圓心C到直線l的距離d1，解得k0或k，故選D.4直線x2y0被圓C：x2y26x2y150所截得的弦長等于_4由題意知圓心C(3,1)，半徑r5.又圓心C到直線l的距離d，則弦長24.(對應(yīng)學(xué)生用書第151頁)考點(diǎn)1直線與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系的判斷判斷直線與圓的位置關(guān)系的常見方法(1)幾何法：利用d與r的關(guān)系(2)代數(shù)法：聯(lián)立方程組，消元得一元二次方程之后利用判斷(3)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法：若直線恒過定點(diǎn)且定點(diǎn)在圓內(nèi)，可判斷直線與圓相交上述方法中最常用的是幾何法，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法適用于動(dòng)直線問題1.若直線axby1與圓x2y21有兩個(gè)公共點(diǎn)，則點(diǎn)P(a，b)與圓x2y21的位置關(guān)系是()A在圓上B在圓外C在圓內(nèi)D以上都有可能B由題意知圓心到直線的距離d1，即a2b21，則點(diǎn)P(a，b)在圓x2y21的外部，故選B.2直線l：mxy1m0與圓C：x2(y1)25的位置關(guān)系是()A相交B相切C相離D不確定A法一：由消去y，整理得(1m2)x22m2xm250，因?yàn)?6m2200，所以直線l與圓相交法二：由題意知，圓心(0,1)到直線l的距離d1，故直線l與圓相交法三：直線l：mxy1m0過定點(diǎn)(1,1)，因?yàn)辄c(diǎn)(1,1)在圓x2(y1)25的內(nèi)部，所以直線l與圓相交3圓(x3)2(y3)29上到直線3x4y110的距離等于1的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()A1B2 C3D4C如圖所示，因?yàn)閳A心到直線的距離為2，又因?yàn)閳A的半徑為3，所以直線與圓相交，圓上到直線的距離為1的點(diǎn)有3個(gè)若直線方程中x(或y)的系數(shù)含參數(shù)，則此直線為過定點(diǎn)的動(dòng)直線，一般是求出定點(diǎn)，再求解直線與圓相切的問題1求過圓上的一點(diǎn)(x0，y0)的切線方程的方法先求切點(diǎn)與圓心連線的斜率k，若k不存在，則結(jié)合圖形可直接寫出切線方程為yy0；若k0，則結(jié)合圖形可直接寫出切線方程為xx0；若k存在且k0，則由垂直關(guān)系知切線的斜率為，由點(diǎn)斜式可寫出切線方程2求過圓外一點(diǎn)(x0，y0)的圓的切線方程的兩種方法幾何法當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)為k，則切線方程為yy0k(xx0)，即kxyy0kx00.由圓心到直線的距離等于半徑，即可求出k的值，進(jìn)而寫出切線方程代數(shù)法當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)為k，則切線方程為yy0k(xx0)，即ykxkx0y0，代入圓的方程，得到一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，由0，求得k，切線方程即可求出(1)過點(diǎn)P(2,4)作圓(x1)2(y1)21的切線，則切線方程為()A3x4y40B4x3y40Cx2或4x3y40Dy4或3x4y40(2)(2019·浙江高考)已知圓C的圓心坐標(biāo)是(0，m)，半徑長是r.若直線2xy30與圓C相切于點(diǎn)A(2，1)，則m_，r_.(1)C(2)2(1)當(dāng)斜率不存在時(shí)，x2與圓相切；當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為y4k(x2)，即kxy42k0，則1，解得k，則切線方程為4x3y40，故切線方程為x2或4x3y40，故選C.(2)由圓心與切點(diǎn)的連線和切線垂直，得，解得m2，因此圓心坐標(biāo)為(0，2)，半徑r.已知切點(diǎn)，則圓心與切點(diǎn)的連線垂直于切線是常用的結(jié)論，如本例T(2)弦長問題弦長的兩種求法(1)代數(shù)方法：將直線和圓的方程聯(lián)立方程組，消元后得到一個(gè)一元二次方程在判別式0的前提下，利用根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)弦長公式求弦長(2)幾何方法：若弦心距為d，圓的半徑長為r，則弦長l2.(1)設(shè)圓x2y22x2y20的圓心為C，直線l過(0,3)與圓C交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|2，則直線l的方程為()A3x4y120或4x3y90B3x4y120或x0C4x3y90或x0D3x4y120或4x3y90(2)(2019·衡水模擬)已知直線axy10與圓C：(x1)2(ya)21相交于A，B兩點(diǎn)，且ABC為等腰直角三角形，則實(shí)數(shù)a的值為()A.或1B1C1D1或1(1)B(2)D(1)當(dāng)直線l的斜率不存在，即直線l的方程為x0時(shí)，弦長為2，符合題意；當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線l的方程為ykx3，由弦長為2，半徑為2可知，圓心到該直線的距離為1，從而有1，解得k，綜上，直線l的方程為x0或3x4y120，故選B.(2)由題意得ABC為等腰直角三角形，圓心C(1，a)到直線axy10的距離drsin 45°(r為圓C的半徑)又半徑r1，d，即，整理得1a22，即a21，解得a1或1.故選D.解答本例T(2)的關(guān)鍵是求圓心到直線的距離drsin 45°.教師備選例題若a2b22c2(c0)，則直線axbyc0被圓x2y21所截得的弦長為()A.B1C.D.D因?yàn)閳A心(0,0)到直線axbyc0的距離d，因此根據(jù)直角三角形的關(guān)系，弦長的一半就等于，所以弦長為.1.已知圓的方程是x2y21，則經(jīng)過圓上一點(diǎn)M的切線方程是_xy0因?yàn)镸是圓x2y21上的點(diǎn)，所以過點(diǎn)M的圓的切線的斜率為1，則設(shè)切線方程為xya0，所以a0，得a，故切線方程為xy0.2已知直線l：axby30與圓M：x2y24x10相切于點(diǎn)P(1,2)，則直線l的方程為_x2y30圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x2)2y25，則M(2,0)直線MP的斜率kMP2，由題意得解得因此直線l的方程為x2y30.3(2019·雅安模擬)已知直線l：xy60與圓x2y212相交于A，B兩點(diǎn)，則AOB_.(O為坐標(biāo)原點(diǎn))60°圓心O(0,0)到直線AB的距離d3，則|AB|22，則有|OA|OB|AB|，即AOB是等邊三角形，AOB60°.考點(diǎn)2圓與圓的位置關(guān)系1幾何法判斷圓與圓的位置關(guān)系的三步驟(1)確定兩圓的圓心坐標(biāo)和半徑長；(2)利用平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式求出圓心距d，求r1r2，|r1r2|；(3)比較d，r1r2，|r1r2|的大小，寫出結(jié)論2兩圓公共弦長的求法(1)求公共弦所在的直線方程：由兩個(gè)圓的方程相減得到(2)在一個(gè)圓中求公共弦長：按照求弦長的方法求解(1)已知圓O1的方程為x2y24，圓O2的方程為(xa)2(y1)21，那么這兩個(gè)圓的位置關(guān)系不可能是()A外離B外切C內(nèi)含D內(nèi)切(2)(2019·南通模擬)圓O1：x2y29與圓O2：x2y24x2y30的公共弦的長為_(1)C(2)(1)圓O1：x2y24的圓心O1(0,0)，半徑r12，圓O2：(xa)2(y1)21的圓心O2(a,1)，半徑r21，兩圓的圓心距|O1O2|121，所以兩個(gè)圓的位置關(guān)系不可能是內(nèi)含，故選C.(2)由得兩圓的公共弦所在的直線方程為2xy30，圓O1：x2y29的圓心O1(0,0)到直線2xy30的距離d，則公共弦長為2.本例T(1)中，圓O2的圓心在直線y1上，數(shù)形結(jié)合也可得到答案教師備選例題(2016·山東高考)已知圓M：x2y22ay0(a>0)截直線xy0所得線段的長度是2，則圓M與圓N：(x1)2(y1)21的位置關(guān)系是()A內(nèi)切B相交C外切D相離B法一：由得兩交點(diǎn)為(0,0)，(a，a)圓M截直線所得線段長度為2，2.又a>0，a2.圓M的方程為x2y24y0，即x2(y2)24，圓心M(0,2)，半徑r12.又圓N：(x1)2(y1)21，圓心N(1,1)，半徑r21，|MN|.r1r21，r1r23,1<|MN|<3，兩圓相交法二：x2y22ay0(a>0)x2(ya)2a2(a>0)，M(0，a)，r1a.依題意，有，解得a2.以下同法一1.(2019·哈爾濱模擬)圓x24xy20與圓x2y24x30的公切線共有()A1條B2條C3條D4條Dx24xy20，即(x2)2y222，圓心坐標(biāo)為(2,0)，半徑為2；x2y24x30，即(x2)2y212，圓心坐標(biāo)為(2,0)，半徑為1.所以兩圓圓心距為4，兩圓半徑和為3.因?yàn)?3，所以兩圓的位置關(guān)系是外離，故兩圓的公切線共有4條故選D.2(2019·揭陽模擬)若圓x2y21與圓x2y26x8ym0相切，則m的值為_9或11圓的方程x2y26x8ym0可化為(x3)2(y4)225m，其圓心坐標(biāo)為(3,4)，半徑r(m25)若兩圓外切，則15，解得m9；若兩圓內(nèi)切，則15，解得m11.考點(diǎn)3直線與圓的綜合問題直線與圓的綜合問題的求解策略(1)利用解析幾何的基本思想方法(即幾何問題代數(shù)化)，把它轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，通過代數(shù)的計(jì)算，使問題得到解決(2)直線與圓和平面幾何聯(lián)系十分緊密，可充分考慮平面幾何知識的運(yùn)用，如在直線與圓相交的有關(guān)線段長度計(jì)算中，要把圓的半徑、圓心到直線的距離、直線被圓截得的線段長度放到一起綜合考慮已知過點(diǎn)A(0,1)且斜率為k的直線l與圓C：(x2)2(y3)21交于M，N兩點(diǎn)(1)求k的取值范圍；(2)若·12，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求|MN|.解(1)由題設(shè)可知直線l的方程為ykx1.因?yàn)橹本€l與圓C交于兩點(diǎn)，所以<1，解得<k<.所以k的取值范圍為.(2)設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)將ykx1代入方程(x2)2(y3)21，整理得(1k2)x24(1k)x70.所以x1x2，x1x2.·x1x2y1y2(1k2)x1x2k(x1x2)18.由題設(shè)可得812，解得k1，所以直線l的方程為yx1.故圓心C在直線l上，所以|MN|2.解答本例T(2)問時(shí)，把·表示成點(diǎn)M，N的橫坐標(biāo)和與積的形式是解題的關(guān)鍵(2019·衡陽模擬)已知點(diǎn)P是圓C：(x3)2y24上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A(3,0)，M是線段AP的中點(diǎn)(1)求點(diǎn)M的軌跡方程；(2)若點(diǎn)M的軌跡與直線l：2xyn0交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，且OEOF，求n的值解(1)設(shè)M(x，y)為所求軌跡上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)P為(x1，y1)，則(x13)2y4.又M是線段AP的中點(diǎn)，則代入式得x2y21.(2)聯(lián)立消去y得5x24nxn210.由0得n.設(shè)E(x1，y1)，F(xiàn)(x2，y2)，則由OEOF可得x1x2y1y20.y2xn，x1x2(2x1n)(2x2n)0，展開得5x1x22n(x1x2)n20.由式可得5×2n×n20，化簡得n2.根據(jù)得n±.