考點(diǎn)規(guī)范練12導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算基礎(chǔ)鞏固組1.設(shè)函數(shù)f(x)=x3+(a-1)x2+ax,若f(x)為奇函數(shù),則曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為()A.y=-2xB.y=-xC.y=2xD.y=x答案D解析f(x)=x3+(a-1)x2+ax,且f(x)是奇函數(shù),a-1=0,解得a=1.f(x)=x3+x,則f(x)=3x2+1,f(0)=1.即y-0=x-0,故切線方程為y=x,故選D.2.設(shè)f(x)=xln x,若f(x0)=2,則x0=()A.e2B.eC.ln22D.ln 2答案B解析f(x)=lnx+x1x=lnx+1,lnx0+1=2,得lnx0=1,即x0=e.3.(2017課標(biāo)高考改編)曲線y=x2+1x在點(diǎn)(1,2)處的切線方程為()A.y=-x+3B.y=x+1C.y=-2x+4D.y=2x答案B解析設(shè)y=f(x),則f(x)=2x-1x2,所以f(1)=2-1=1,所以在(1,2)處的切線方程為y-2=1(x-1),即y=x+1.4.已知曲線y=x+1x-1在點(diǎn)(3,2)處的切線與直線ax+y+1=0垂直,則a=()A.-2B.2C.-12D.12答案A解析由y=-2(x-1)2得曲線在點(diǎn)(3,2)處的切線斜率為-12,又切線與直線ax+y+1=0垂直,則a=-2,故選A.5.點(diǎn)P是曲線y=32x2-2ln x上任意一點(diǎn),則點(diǎn)P到直線y=x-52的距離的最小值為()A.2B.332C.322D.5答案C解析當(dāng)點(diǎn)P是曲線的切線中與直線y=x-52平行的直線的切點(diǎn)時(shí),距離最小;y=32x2-2lnx,y=3x-2x,令y=1,解得x=1,點(diǎn)P的坐標(biāo)為1,32.此時(shí)點(diǎn)P到直線y=x-52的最小值為|1-32-52|2=322.故選C.6.如圖,函數(shù)y=f(x)的圖象在點(diǎn)P處的切線方程是y=-x+8,則f(5)=;f(5)=.答案-13解析f(5)=-1,f(5)=-5+8=3.7.若對任意x(0,+),都有l(wèi)n xax恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.答案1e,+解析在區(qū)間(0,+)上繪制函數(shù)y=lnx和函數(shù)y=ax的圖象,若對任意x(0,+),lnxax恒成立,則對數(shù)函數(shù)的圖象應(yīng)該恒不在一次函數(shù)圖象的上方,如圖所示為臨界條件,直線過坐標(biāo)原點(diǎn),與對數(shù)函數(shù)相切,由y=lnx可得y=1x,則在切點(diǎn)(x0,lnx0)處對數(shù)函數(shù)的切線斜率為k=1x0,即切線方程為y-lnx0=1x0(x-x0),切線過坐標(biāo)原點(diǎn),則0-lnx0=1x0(0-x0),解得x0=e,則切線的斜率k=1x0=1e.由此可得,實(shí)數(shù)a的取值范圍為1e,+.8.已知f(x)為偶函數(shù),當(dāng)x<0時(shí),f(x)=ln(-x)+3x,則曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,-3)處的切線方程是.答案y=-2x-1解析當(dāng)x>0時(shí),-x<0,則f(-x)=lnx-3x.因?yàn)閒(x)為偶函數(shù),所以f(x)=f(-x)=lnx-3x,所以f(x)=1x-3,f(1)=-2.故所求切線方程為y+3=-2(x-1),即y=-2x-1.能力提升組9.曲線f(x)=xln x在點(diǎn)(e,f(e)(e為自然對數(shù)的底數(shù))處的切線方程為()A.y=ex-2B.y=2x+eC.y=ex+2D.y=2x-e答案D解析因?yàn)閒(x)=xlnx,所以f(x)=lnx+1,故切線的斜率k=f(e)=2,因?yàn)閒(e)=e,所以切線方程為y-e=2(x-e),即y=2x-e,故選D.10.已知y=a分別與直線y=2x+2,曲線y=x+ln x交于點(diǎn)A,B,則|AB|的最小值為()A.3B.2C.324D.32答案D解析設(shè)A(x1,a),B(x2,a),則2(x1+1)=x2+lnx2,x1=12(x2+lnx2)-1,|AB|=x2-x1=12(x2-lnx2)+1,令y=12(x-lnx)+1,則y=121-1x,函數(shù)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,+)上單調(diào)遞增,x=1時(shí),函數(shù)的最小值為32.故選D.11.已知函數(shù)f(x)=xa-1ex,曲線y=f(x)上存在兩個(gè)不同的點(diǎn),使得曲線在這兩點(diǎn)處的切線都與y軸垂直,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.(-e2,+)B.(-e2,0)C.-1e2,+D.-1e2,0答案D解析曲線y=f(x)上存在不同的兩點(diǎn),使得曲線在這兩點(diǎn)處的切線都與y軸垂直,f(x)=a+(x-1)e-x=0有兩個(gè)不同的解,即得a=(1-x)e-x有兩個(gè)不同的解,設(shè)y=(1-x)e-x,則y=(x-2)e-x,x<2,y<0,x>2,y>0,y=(1-x)e-x在(-,2)上遞減,在(2,+)上遞增.x=2時(shí),函數(shù)取得極小值-e-2,又因?yàn)楫?dāng)x>2時(shí)總有y=(1-x)e-x<0,所以可得數(shù)a的取值范圍是-1e2,0,故選D.12.設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上的導(dǎo)函數(shù)為f(x),f(x)在區(qū)間(a,b)上的導(dǎo)函數(shù)為f(x),若在區(qū)間(a,b)上f(x)<0恒成立,則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上為“凸函數(shù)”.已知f(x)=112x4-16mx3-32x2,若對任意的實(shí)數(shù)m滿足|m|2時(shí),函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上為“凸函數(shù)”,則b-a的最大值為()A.4B.3C.2D.1答案C解析當(dāng)|m|2時(shí),f(x)=x2-mx-3<0恒成立等價(jià)于當(dāng)|m|2時(shí),mx>x2-3恒成立.當(dāng)x=0時(shí),f(x)=-3<0顯然成立.當(dāng)x>0時(shí),mx>x2-3m>x-3x,m的最小值是-2,x-3x<-2,從而解得0<x<1;當(dāng)x<0時(shí),mx>x2-3m<x-3x,m的最大值是2,x-3x>2,從而解得-1<x<0.綜上可得-1<x<1,從而b-a的最大值為1-(-1)=2.13.將函數(shù)y=ln(x+1)(x0)的圖象繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角(0,),得到曲線C,若對于每一個(gè)旋轉(zhuǎn)角,曲線C都仍然是一個(gè)函數(shù)的圖象,則的最大值為()A.B.2C.3D.4答案D解析函數(shù)y=ln(x+1)(x0)的圖象繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針方向連續(xù)旋轉(zhuǎn)時(shí),當(dāng)且僅當(dāng)其任意切線的傾斜角小于等于90時(shí),其圖象都依然是一個(gè)函數(shù)圖象,因?yàn)楫?dāng)x0時(shí),y=1x+1是減函數(shù),且0<y1,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號成立,故在函數(shù)y=ln(x+1)(x0)的圖象的切線中,x=0處的切線傾斜角最大,其值為4,由此可知max=4,故選D.14.若兩曲線y=x2-1與y=aln x-1存在公切線,則正實(shí)數(shù)a的取值范圍是.答案(0,2e解析兩曲線y=x2-1與y=alnx-1存在公切線,且y=x2-1的導(dǎo)數(shù)y=2x,y=alnx-1的導(dǎo)數(shù)為y=ax,設(shè)與y=x2-1相切的切點(diǎn)為(n,n2-1),與曲線y=alnx-1相切的切點(diǎn)為(m,alnm-1),y-(n2-1)=2n(x-n),即y=2nx-n2-1,y-(alnm-1)=am(x-m),即y=amx-a+alnm-1,2n=am,n2+1=a+1-alnm,a24m2=a-alnm,a>0,a4m2=1-lnm,即a4=m2(1-lnm)有解即可,令g(x)=x2(1-lnx),則由g(x)=2x(1-lnx)+x2-1x=x(1-2lnx)=0,可得x=e,g(x)在(0,e)上單調(diào)遞增,在(e,+)是單調(diào)遞減,g(x)的最大值為g(e)=e2,又g(0)=0,0<a4e2,0<a2e.15.若直線y=kx+b是曲線y=ln x+2的切線,也是曲線y=ln(x+1)的切線,則b=.答案1-ln 2解析對函數(shù)y=lnx+2求導(dǎo),得y=1x,對函數(shù)y=ln(x+1)求導(dǎo),得y=1x+1.設(shè)直線y=kx+b與曲線y=lnx+2相切于點(diǎn)P1(x1,y1),與曲線y=ln(x+1)相切于點(diǎn)P2(x2,y2),則y1=lnx1+2,y2=ln(x2+1).由點(diǎn)P1(x1,y1)在切線上,得y-(lnx1+2)=1x1(x-x1),由點(diǎn)P2(x2,y2)在切線上,得y-ln(x2+1)=1x2+1(x-x2).因?yàn)檫@兩條直線表示同一條直線,所以1x1=1x2+1,ln(x2+1)=lnx1+x2x2+1+1,解得x1=12,所以k=1x1=2,b=lnx1+2-1=1-ln2.16.已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(1-x)+f(1+x)=2,且當(dāng)x>1時(shí),f(x)=xex-2,則曲線y=f(x)在x=0處的切線方程是.答案x+y=0解析因?yàn)閒(1-x)+f(1+x)=2,所以函數(shù)關(guān)于點(diǎn)(1,1)對稱,x<1時(shí),取點(diǎn)(x,y),關(guān)于(1,1)對稱點(diǎn)是(2-x,2-y),代入x>1時(shí)的解析式f(x)=xex-2,可得2-y=2-xe-x,y=2-2-xe-x,y=x-1e-x,令x=0,則y=-1,y=0,所以切線方程為x+y=0.17.已知點(diǎn)M是曲線y=13x3-2x2+3x+1上任意一點(diǎn),曲線在M處的切線為l,求:(1)斜率最小的切線方程;(2)切線l的傾斜角的取值范圍.解(1)y=x2-4x+3=(x-2)2-1-1,當(dāng)x=2時(shí),y=-1,y=53,斜率最小的切線過點(diǎn)2,53,斜率k=-1,切線方程為3x+3y-11=0.(2)由(1)得k-1,tan-1,又0,),0,234,.故的取值范圍為0,234,.