新編人教版精品教學(xué)資料課時(shí)提升作業(yè)(十二)雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程(25分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.已知F1(-8,3),F2(2,3)為定點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P滿足|PF1|-|PF2|=2a,當(dāng)a=3和a=5時(shí),P點(diǎn)的軌跡分別為()A.雙曲線和一條直線B.雙曲線的一支和一條直線C.雙曲線和一條射線D.雙曲線的一支和一條射線【解析】選D.易得|F1F2|=10.當(dāng)a=3時(shí),2a=6,即2a<|F1F2|,所以P點(diǎn)的軌跡為雙曲線的一支(靠近點(diǎn)F2).當(dāng)a=5時(shí),2a=10,即2a=|F1F2|,此時(shí)P,F1,F2共線.所以P點(diǎn)的軌跡是以F2為起點(diǎn)的一條射線.2.(2015·福建高考)若雙曲線E:x29-y216=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,點(diǎn)P在雙曲線E上,且|PF1|=3,則|PF2|等于()A.11B.9C.5D.3【解析】選B.因?yàn)镻F1-PF2=2a,所以PF1-PF2=±6,所以PF2=9或-3(舍去).3.在方程mx2-my2=n中,若mn<0,則方程的曲線是()A.焦點(diǎn)在x軸上的橢圓B.焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線C.焦點(diǎn)在y軸上的橢圓D.焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線【解析】選D.方程mx2-my2=n可化為:y2-nm-x2-nm=1,因?yàn)閙n<0,所以-nm>0,所以方程表示的曲線是焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線.4.(2015·吉首高二檢測(cè))橢圓x24+y2m2=1與雙曲線x2m2-y22=1有相同的焦點(diǎn),則m的值是()A.±1B.1C.-1D.不存在【解析】選A.方法一:直接法:顯然雙曲線焦點(diǎn)在x軸上,故4-m2=m2+2.所以m2=1,即m=±1.方法二:驗(yàn)證法:當(dāng)m=±1時(shí),m2=1,對(duì)橢圓來(lái)說(shuō),a2=4,b2=1,c2=3.對(duì)雙曲線來(lái)說(shuō),a2=1,b2=2,c2=3,故當(dāng)m=±1時(shí),它們有相同的焦點(diǎn).【誤區(qū)警示】本題在求解時(shí)常常因?yàn)榛煜龣E圓與雙曲線的數(shù)量關(guān)系導(dǎo)致錯(cuò)誤.5.(2015·三明高二檢測(cè))已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,過(guò)F1的直線與雙曲線的左支交于A,B兩點(diǎn),線段AB的長(zhǎng)為5,若2a=8,那么ABF2的周長(zhǎng)是()A.16B.18C.21D.26【解題指南】借助雙曲線的定義求解,注意點(diǎn)A,B的位置.【解析】選D.|AF2|-|AF1|=2a=8,|BF2|-|BF1|=2a=8,所以|AF2|+|BF2|-(|AF1|+|BF1|)=16,所以|AF2|+|BF2|=16+5=21,所以ABF2的周長(zhǎng)為|AF2|+|BF2|+|AB|=21+5=26.二、填空題(每小題5分,共15分)6.已知點(diǎn)P(2,-3)是雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上一點(diǎn),雙曲線兩個(gè)焦點(diǎn)間的距離等于4,則該雙曲線方程是.【解析】由題意知c=2,設(shè)該雙曲線方程是x2a2-y24-a2=1,把點(diǎn)P(2,-3)代入,得4a2-94-a2=1,解得a2=1或a2=16(舍).所以該雙曲線方程為x2-y23=1.答案:x2-y23=17.若雙曲線8kx2-ky2=8的一個(gè)焦點(diǎn)為(0,3),則k=.【解題指南】先化雙曲線方程為標(biāo)準(zhǔn)形式,再借助a,b,c的關(guān)系求解.【解析】方程可化為y2-8k-x2-1k=1,由焦點(diǎn)在y軸上,得a2=-8k,b2=-1k.所以c2=-9k,所以9=-9k,所以k=-1.答案:-18.(2015·濰坊高二檢測(cè))已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)F1(-5,0),F2(5,0),P是雙曲線上一點(diǎn),且PF1·PF2=0,|PF1|·|PF2|=2,則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【解析】由題意可設(shè)雙曲線方程為x2a2-y2b2=1(a>0,b>0).由PF1·PF2=0,得PF1PF2.根據(jù)勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=(2c)2,即|PF1|2+|PF2|2=20.根據(jù)雙曲線定義有|PF1|-|PF2|=±2a.兩邊平方并代入|PF1|·|PF2|=2得20-2×2=4a2,解得a2=4,從而b2=5-4=1,所以雙曲線方程為x24-y2=1.答案:x24-y2=1【拓展延伸】與雙曲線定義相關(guān)問(wèn)題的解法利用雙曲線的定義解決與焦點(diǎn)有關(guān)的問(wèn)題,一是要注意定義條件|PF1|-|PF2|=2a的變形的使用,特別是與|PF1|2+|PF2|2,|PF1|·|PF2|間的關(guān)系;二是要與三角形知識(shí)相結(jié)合,如勾股定理、余弦定理、正弦定理等,同時(shí)要注意整體思想的應(yīng)用.三、解答題(每小題10分,共20分)9.根據(jù)下列條件,求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.(1)過(guò)點(diǎn)P3,154,Q-163,5且焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上.(2)c=6,經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-5,2),焦點(diǎn)在x軸上.【解析】(1)設(shè)雙曲線方程為x2m-y2n=1,因?yàn)镻,Q兩點(diǎn)在雙曲線上,所以9m-22516n=1,2569m-25n=1解得m=-16,n=-9,所以所求雙曲線方程為-x216+y29=1,即y29-x216=1.(2)因?yàn)榻裹c(diǎn)在x軸上,c=6,所以設(shè)所求雙曲線方程為x2-y26-=1(其中0<<6).因?yàn)殡p曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-5,2),所以25-46-=1,所以=5或=30(舍去),所以所求雙曲線的方程是x25-y2=1.10.在周長(zhǎng)為48的RtMPN中,MPN=90°,tanPMN=34,求以M,N為焦點(diǎn),且過(guò)點(diǎn)P的雙曲線方程.【解題指南】由雙曲線定義可知|PM|-|PN|=2a,|MN|=2c,所以利用條件確定MPN的邊長(zhǎng)是關(guān)鍵.【解析】因?yàn)镸PN的周長(zhǎng)為48,且tanPMN=34,所以設(shè)|PN|=3k,|PM|=4k,則|MN|=5k.由3k+4k+5k=48得k=4.所以|PN|=12,|PM|=16,|MN|=20.以MN所在直線為x軸,以MN的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系,如圖所示.設(shè)所求雙曲線方程為x2a2-y2b2=1(a>0,b>0).由|PM|-|PN|=4得2a=4,a=2,a2=4.由|MN|=20得2c=20,c=10.所以b2=c2-a2=96,所以所求雙曲線方程為x24-y296=1.(20分鐘40分)一、選擇題(每小題5分,共10分)1.(2015·廣州高二檢測(cè))橢圓y249+x224=1與雙曲線y2-x224=1有公共點(diǎn)P,則P與雙曲線兩焦點(diǎn)連線構(gòu)成的三角形的面積為()A.48B.24C.243D.123【解析】選B.由已知得橢圓與雙曲線具有共同的焦點(diǎn)F1(0,5)和F2(0,-5),又由橢圓與雙曲線的定義可得|PF1|+|PF2|=14,|PF1|-|PF2|=2,所以|PF1|=8,|PF2|=6,或|PF1|=6,|PF2|=8.又|F1F2|=10,所以PF1F2為直角三角形,F1PF2=90°.所以PF1F2的面積S=12|PF1|PF2|=12×6×8=24.2.(2015·成都高二檢測(cè))若方程x2m-1+y2m2-4=3表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線,則m的取值范圍是()A.(1,2)B.(2,+)C.(-,-2)D.(-2,2)【解析】選C.由題意,方程可化為y2m2-4-x21-m=3,所以m2-4>0,1-m>0,解得m<-2.二、填空題(每小題5分,共10分)3.已知F是雙曲線x24-y212=1的左焦點(diǎn),A(1,4),P是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn),則|PF|+|PA|的最小值為.【解題指南】借助雙曲線的定義,把|PF|+|PA|的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)共線問(wèn)題.【解析】設(shè)右焦點(diǎn)為F1(4,0),依題意,|PF|=|PF1|+4,所以|PF|+|PA|=|PF1|+4+|PA|=|PF1|+|PA|+4|AF1|+4=5+4=9.答案:94.(2015·昆明高二檢測(cè))已知?jiǎng)訄AM與圓C1:(x+3)2+y2=9外切且與圓C2:(x-3)2+y2=1內(nèi)切,則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程是.【解析】設(shè)動(dòng)圓M的半徑為r.因?yàn)閯?dòng)圓M與圓C1外切且與圓C2內(nèi)切,所以|MC1|=r+3,|MC2|=r-1.相減得|MC1|-|MC2|=4.又因?yàn)镃1(-3,0),C2(3,0),并且|C1C2|=6>4,所以點(diǎn)M的軌跡是以C1,C2為焦點(diǎn)的雙曲線的右支,且有a=2,c=3.所以b2=5,所以所求的軌跡方程為x24-y25=1(x2).答案:x24-y25=1(x2)【誤區(qū)警示】本題在求解時(shí)常常因?yàn)楹雎韵薅l件“x2”導(dǎo)致錯(cuò)誤.三、解答題(每小題10分,共20分)5.(2015·濟(jì)南高二檢測(cè))已知方程kx2+y2=4,其中k為實(shí)數(shù),對(duì)于不同范圍的k值分別指出方程所表示的曲線類型.【解題指南】解答本題可依據(jù)所學(xué)的各種曲線的標(biāo)準(zhǔn)形式的系數(shù)應(yīng)滿足的條件進(jìn)行分類討論.【解析】(1)當(dāng)k=0時(shí),y=±2,表示兩條與x軸平行的直線.(2)當(dāng)k=1時(shí),方程為x2+y2=4,表示圓心在原點(diǎn),半徑為2的圓.(3)當(dāng)k<0時(shí),方程為y24-x2-4k=1,表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線.(4)當(dāng)0<k<1時(shí),方程為x24k+y24=1,表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓.(5)當(dāng)k>1時(shí),方程為x24k+y24=1,表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓.【補(bǔ)償訓(xùn)練】當(dāng)0°180°時(shí),方程x2cos+y2sin=1表示的曲線如何變化?【解析】(1)當(dāng)=0°時(shí),方程為x2=1,它表示兩條平行直線x=±1.(2)當(dāng)0°<<90°時(shí),方程為x21cos+y21sin=1.當(dāng)0°<<45°時(shí),0<1cos<1sin,它表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓.當(dāng)=45°時(shí),它表示圓x2+y2=2.當(dāng)45°<<90°時(shí),1cos>1sin>0,它表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓.(3)當(dāng)=90°時(shí),方程為y2=1,它表示兩條平行直線y=±1.(4)當(dāng)90°<<180°時(shí),方程為y21sin-x21-cos=1,它表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線.(5)當(dāng)=180°時(shí),方程為x2=-1,它不表示任何曲線.6.已知定點(diǎn)A(0,7),B(0,-7),C(12,2),以C為一個(gè)焦點(diǎn)作過(guò)A,B的橢圓,求另一焦點(diǎn)F的軌跡方程.【解析】設(shè)F(x,y)為軌跡上的任意一點(diǎn),因?yàn)锳,B兩點(diǎn)在以C,F為焦點(diǎn)的橢圓上,所以|FA|+|CA|=2a,|FB|+|CB|=2a(其中a表示橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)),所以|FA|+|CA|=|FB|+|CB|,所以|FA|-|FB|=|CB|-|CA|=122+92-122+52=2.所以|FA|-|FB|=2.由雙曲線的定義知,F點(diǎn)在以A、B為焦點(diǎn),2為實(shí)軸長(zhǎng)的雙曲線的下半支上,所以點(diǎn)F的軌跡方程是y2-x248=1(y-1).關(guān)閉Word文檔返回原板塊