階段質(zhì)量檢測(cè)（三） 空間向量與立體幾何(時(shí)間120分鐘滿分150分)一、選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1設(shè)空間向量a(1,2,1)，b(2,2,3)，則ab()A(2,4,3)B(3,4,4)C9 D5解析：選Ca(1,2,1)，b(2,2,3)，ab1222139.2設(shè)l1的方向向量為a(1,2，2)，l2的方向向量為b(2,3，m)，若l1l2，則m等于()A1 B2C. D3解析：選B若l1l2，則ab，ab0，1(2)23(2m)0，解得m2.3已知向量i，j，k是一組單位正交向量，m8j3k，ni5j4k，則mn()A7 B20C28 D11解析：選C因?yàn)閙(0,8,3)，n(1,5，4)，所以mn0401228.4已知二面角l的大小為，m，n為異面直線，且m，n，則m，n所成的角為()A. B.C. D.解析：選B設(shè)m，n的方向向量分別為m，n.由m，n知m，n分別是平面，的法向量|cosm，n|cos ，m，n或.但由于兩異面直線所成的角的范圍為，故異面直線m，n所成的角為.5已知空間三點(diǎn)O(0,0,0)，A(1,1,0)，B(0,1,1)在直線OA上有一點(diǎn)H滿足BHOA，則點(diǎn)H的坐標(biāo)為()A(2,2,0) B(2，2,0)C. D.解析：選C由(1,1,0)，且點(diǎn)H在直線OA上，可設(shè)H(，0)，則BH(，1，1)又BHOA，OA0，即(，1，1)(1,1,0)0，即10，解得，H.6如圖，三棱錐SABC中，棱SA，SB，SC兩兩垂直，且SASBSC，則二面角ABCS大小的正切值為()A1 B.C. D2解析：選C三棱錐SABC中，棱SA，SB，SC兩兩垂直，且SASBSC，SA平面SBC，且ABAC，取BC的中點(diǎn)D，連接SD，AD，則SDBC，ADBC，則ADS是二面角ABCS的平面角，設(shè)SASBSC1，則SD，則tanADS，故選C.7在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，i，j，k分別是x軸、y軸、z軸的方向向量，設(shè)a為非零向量，且a，i45，a，j60，則a，k()A30 B45C60 D90解析：選C如圖所示，設(shè)|a|m(m>0)，a，PA平面xOy，則在RtPBO中，|PB|sina，im，在RtPCO中，|OC|cosa，j，|AB|，在RtPAB中，|PA| ，|OD|，在RtPDO中，cosa，k，又0a，k180，a，k60.8.如圖，在正四棱柱ABCD A1B1C1D1中，AA12，ABBC1，動(dòng)點(diǎn)P，Q分別在線段C1D，AC上，則線段PQ長(zhǎng)度的最小值是()A. B.C. D.解析：選C建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，C1(0,1,2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0，2)，0,1，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(1，0)，0,1，PQ，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，線段PQ的長(zhǎng)度取得最小值.二、填空題(本大題共7小題，多空題每空3分，單空題每題4分，共36分)9已知向量a(1,2,3)，b(2，4，6)，|c|，若(ab)c7，則a與c的夾角為_(kāi)，|a|_.解析：設(shè)向量ab與c的夾角為，因?yàn)閍b(1，2，3)，|ab|，cos ，所以60.因?yàn)橄蛄縜b與a的方向相反，所以a與c的夾角為120，|a|.答案：12010已知a(3，6，6)，b(1,3,2)為兩平行平面的法向量，則_，a的同向單位向量為_(kāi)解析：由題意知ab，解得2.a(6,6,8)，|a|2，a的同向單位向量為.答案：211若a(2,3，1)，b(2,1,3)，則ab_.以a，b為鄰邊的平行四邊形的面積為_(kāi)解析：ab(4,2，4)，cosa，b，得sina，b，則S|a|b|sina，b6.答案：(4,2，4)612在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，高為4，則點(diǎn)A1到截面AB1D1的距離為_(kāi)，三棱錐AA1B1D1的體積為_(kāi)解析：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系則A(2,0,0)，B1(2,2,4)，D1(0,0,4)，A1(2,0,4)，(0,2,4)，(2,0,4)，(0,0,4)設(shè)平面AB1D1的法向量n(x，y，z)，則即令x2，得n(2，2,1)所以A1到平面AB1D1的距離為d.VAA1B1D1224.答案：13三棱柱ABCA1B1C1中，底面ABC為正三角形，側(cè)棱長(zhǎng)等于底面邊長(zhǎng)，A1在底面的射影是ABC的中心，則AB1與底面ABC所成角的正弦值等于_解析：如圖，設(shè)A1在底面ABC內(nèi)的射影為O，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系設(shè)ABC邊長(zhǎng)為1，則A，B1，.又平面ABC的法向量n(0,0,1)，則AB1與底面ABC所成角的正弦值為sin |cos，n|.答案：14在平行六面體ABCD A1B1C1D1中，若a2b3c，則abc_.解析：a2b3c，a1，b，c.abc.答案：15如圖，在矩形ABCD中，AB3，BC1，EFBC且AE2EB，G為BC的中點(diǎn)，K為AF的中點(diǎn)沿EF將矩形折成120的二面角AEFB，此時(shí)KG的長(zhǎng)為_(kāi)解析：如圖，過(guò)K作KMEF，垂足M為EF的中點(diǎn)，則向量與的夾角為120，60.又，211211cos 603.|.答案：三、解答題(本大題共6小題，共74分解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)16(本小題滿分14分)已知a(x,4,1)，b(2，y，1)，c(3，2，z)ab，bc，求：(1)a，b，c；(2)ac與bc夾角的余弦值解：(1)因?yàn)閍b，所以，解得x2，y4，則a(2,4,1)，b(2，4，1)又bc，所以bc0，即68z0，解得z2，于是c(3，2,2)(2)由(1)得ac(5,2,3)，bc(1，6,1)，設(shè)ac與bc夾角為，因此cos .17(本小題滿分15分)如圖，在四棱錐PABCD中，PD底面ABCD，底面ABCD為正方形，PDDC，E，F(xiàn)分別是AB，PB的中點(diǎn)(1)求證：EFCD；(2)求DB與平面DEF所成角的正弦值解：(1)證明：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖設(shè)ADa，則D(0,0,0)，A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，E，P(0,0，a)，F(xiàn).(0，a,0)0.，EFCD.(2)設(shè)平面DEF的法向量為n(x，y，z)，則即即取x1，則y2，z1，n(1，2,1)，cos，n.設(shè)DB與平面DEF所成角為，則sin .18(本小題滿分15分)已知四棱錐PABCD的底面是直角梯形，ABDC，DAB90，PD底面ABCD，且PDDACD2AB2，M點(diǎn)為PC的中點(diǎn)(1)求證：BM平面PAD；(2)在平面PAD內(nèi)找一點(diǎn)N，使MN平面PBD.解：(1)證明：PD底面ABCD，CDAB，CDAD.以D為原點(diǎn)，DA，DC，DP分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系(如圖所示)由于PDCDDA2AB2，所以D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,1,0)，C(0,2,0)，P(0,0,2)，M(0,1,1)，(2,0,1)，(0,2,0)，平面PAD，是平面PAD的法向量，且0，又BM平面PAD.BM平面PAD.(2)設(shè)N(x,0，z)是平面PAD內(nèi)一點(diǎn)，則(x，1，z1)，(0,0,2)，(2,1,0)，若MN平面PBD，則即在平面PAD內(nèi)存在點(diǎn)N，使MN平面PBD.19.(本小題滿分15分)四棱錐PABCD中，PD底面ABCD，ADBC，ACDB，CAD60，AD2，PD1.(1)證明：ACBP；(2)求二面角CAPD的平面角的余弦值解：(1)證明：PD底面ABCD，AC平面ABCD，ACPD.又ACBD，BDPDD.AC平面PBD，又BP平面PBD，ACBP.(2)設(shè)ACBDO，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OD，OA所在直線分別為x軸，y軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系Oxyz，則O(0,0,0)，D(，0,0)，A(0,1,0)，P(，0,1)，(0,1,0)，(，0,1)，(，1,0)，(0,0,1)設(shè)平面ACP的法向量m(x1，y1，z1)，平面ADP的法向量n(x2，y2，z2)，由得取x11，則m(1,0，)同理，由得n(1，0)cosm，n.二面角CAPD的平面角的余弦值為.20.(本小題滿分15分)(2016浙江高考)如圖，在三棱臺(tái)ABCDEF中，平面BCFE平面ABC，ACB90，BEEFFC1，BC2，AC3.(1)求證：BF平面ACFD；(2)求二面角BADF的平面角的余弦值解：(1)證明：延長(zhǎng)AD，BE，CF相交于一點(diǎn)K，如圖所示因?yàn)槠矫鍮CFE平面ABC，平面BCFE平面ABCBC，且ACBC，所以AC平面BCFE，又因?yàn)锽F平面BCFE，因此BFAC.又因?yàn)镋FBC，BEEFFC1，BC2，所以BCK為等邊三角形，且F為CK的中點(diǎn)，則BFCK.又ACCKC，所以BF平面ACFD.(2)法一：過(guò)點(diǎn)F作FQAK于Q，連接BQ.因?yàn)锽F平面ACFD，所以BFAK，則AK平面BQF，所以BQAK.所以BQF是二面角BADF的平面角在RtACK中，AC3，CK2，得AK，F(xiàn)Q.在RtBQF中，F(xiàn)Q，BF，得cosBQF.所以二面角BADF的平面角的余弦值為.法二：取BC的中點(diǎn)O，連接KO，則KOBC.又平面BCFE平面ABC，所以KO平面ABC.以點(diǎn)O為原點(diǎn)，分別以射線OB，OK的方向?yàn)閤軸，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.由題意得B(1,0,0)，C(1,0,0)，K(0,0，)，A(1，3,0)，E，F(xiàn).因此(0,3,0)，(1,3，)，(2,3,0)設(shè)平面ACFD的法向量為m(x1，y1，z1)，平面ABED的法向量為n(x2，y2，z2)由得取m(，0，1)；由得取n(3，2，)于是cosm，n.所以二面角BADF的平面角的余弦值為.