1 1專題6 數(shù)列一選擇題1.【2006年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷】若互不相等的實(shí)數(shù)成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，且，則 ( )A4 B2 C2 D42.【2007年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷8】已知兩個(gè)等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為A和，且，則使得 為整數(shù)的正整數(shù)的個(gè)數(shù)是（ ）A2 B3 C4 D53.【2009年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷10】古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數(shù)。比如：他們研究過圖1中的1，3，6，10，由于這些數(shù)能夠表示成三角形，將其稱為三角形數(shù)；類似的，稱圖2中的1，4，9，16，這樣的數(shù)為正方形數(shù)。下列數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是（ ）A.289 B.1024 C.1225 D.13784.【20xx年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷7】定義在上的函數(shù)，如果對(duì)于任意給定的等比數(shù)列， 仍是等比數(shù)列，則稱為“保等比數(shù)列函數(shù)”. 現(xiàn)有定義在上的如下函數(shù)：； ； ； .則其中是“保等比數(shù)列函數(shù)”的的序號(hào)為 ( )A. B C D 【答案】C【解析】試題分析:等比數(shù)列性質(zhì)，； ；.選C.二填空題1.【2005年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷15】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，前n項(xiàng)和為Sn，若Sn+1,Sn，Sn+2成等差數(shù)列，則q的值為 .【答案】2【解析】試題分析:由題意可知q1，可得2(1-qn)=(1-qn+1)+(1-qn+2),即q2+q-2=0，解得q=-2或q=1(不合題意,舍去)，q=-2.2.【2008年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷14】已知函數(shù)f(x)=2x,等差數(shù)列ax的公差為2.若f(a2+a4+ab+a2+a1)=4,則Log2f(a1)·f(a2)·f(a)··f(a10)= .3.【2009年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷15】已知數(shù)列滿足：（m為正整數(shù)），若，則m所有可能的取值為_。4.【20xx年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷13】九章算術(shù)“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有1根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面四節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第5節(jié)的容積為 升.5.【20xx年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷14】古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家研究過各種多邊形數(shù)。如三角形數(shù)1,3,6,10，第個(gè)三角形數(shù)為.記第個(gè)邊形數(shù)為，以下列出了部分邊形數(shù)中第個(gè)數(shù)的表達(dá)式：三角形數(shù) 正方形數(shù) 五邊形數(shù) 六邊形數(shù) 可以推測(cè)的表達(dá)式，由此計(jì)算 .三解答題1.【2005年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷22】已知不等式為大于2的整數(shù)，表示不超過的最大整數(shù). 設(shè)數(shù)列的各項(xiàng)為正，且滿足 （）證明（）猜測(cè)數(shù)列是否有極限？如果有，寫出極限的值（不必證明）；（）試確定一個(gè)正整數(shù)N，使得當(dāng)時(shí)，對(duì)任意b>0，都有2.【2006年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷】已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，其導(dǎo)函數(shù)為，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，點(diǎn)均在函數(shù)的圖像上。（）、求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）、設(shè)，是數(shù)列的前n項(xiàng)和，求使得對(duì)所有都成立的最小正整數(shù)m；3.【2007年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷21】已知m，n為正整數(shù).（）用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)x>-1時(shí)，(1+x)m1+mx；（）對(duì)于n6，已知，求證，m=1,1,2，n；（）求出滿足等式3n+4m+(n+2)m=(n+3)n的所有正整數(shù)n.【解法1】（）證：用數(shù)學(xué)歸納法證明：（）當(dāng)時(shí)，原不等式成立；當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，因?yàn)?，所以左邊右邊，原不等式成立；（）假設(shè)當(dāng)時(shí)，不等式成立，即，則當(dāng)時(shí)，下同解法14.【2008年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷21】已知數(shù)列an和bn滿足：a1=,an+1=其中為實(shí)數(shù)，n為正整數(shù).（）對(duì)任意實(shí)數(shù)，證明數(shù)列an不是等比數(shù)列；（）試判斷數(shù)列bn是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論；（）設(shè)0ab,Sn為數(shù)列bn的前n項(xiàng)和.是否存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意正整數(shù)n，都有aSnb?若存在，求的取值范圍；若不存在，說明理由. ()由（）知，當(dāng)=-18,bn=0,Sn=0,不滿足題目要求.-18，故知bn= -（+18）·（）n-1，于是可得Sn=-要使a<Sn<b對(duì)任意正整數(shù)n成立，即a<-(+18)·1（）nb(nN+) 當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，1<f(n)f(n)的最大值為f(1)=,f(n)的最小值為f(2)= ,于是，由式得a<-(+18),<當(dāng)a<b3a時(shí)，由b-18=-3a-18，不存在實(shí)數(shù)滿足題目要求；當(dāng)b>3a存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意正整數(shù)n,都有a<Sn<b,且的取值范圍是（b-18,-3a-18）.5.【2009年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷19】已知數(shù)列的前n項(xiàng)和（n為正整數(shù)）。（）令，求證數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）令，試比較與的大小，并予以證明。由-得 于是確定的大小關(guān)系等價(jià)于比較的大小6.【20xx年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷20】【解析】（）由題意可知，令，則，又，則數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，即，故，又，故（）解法一：由（）知：當(dāng)時(shí)，有，7.【20xx年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷19】（本小題滿分13分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足： （）求數(shù)列的通項(xiàng)公式 （）若存在，使得成等差數(shù)列，試判斷：對(duì)于任意的，且，是否成等差數(shù)列，并證明你的結(jié)論?！窘馕觥浚ǎ┯梢阎傻?，兩式相減可得，即，又，所以當(dāng)r=0時(shí)，數(shù)列為a,0,0,0，；當(dāng)時(shí)，由已知，所以,于是由，可得，所以成等比數(shù)列，當(dāng)時(shí)，。綜上，數(shù)列的通項(xiàng)公式為：8.【20xx年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷18】已知等差數(shù)列前三項(xiàng)的和為，前三項(xiàng)的積為.（）求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）若，成等比數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和.當(dāng)時(shí)， . 當(dāng)時(shí)，滿足此式.綜上， 9.【20xx年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷18】已知等比數(shù)列滿足：，.（I）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（II）是否存在正整數(shù)，使得？若存在，求的最小值；若不存在，說明理由。10.【20xx年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷18】已知等差數(shù)列滿足：，且、成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，是否存在正整數(shù)，使得若存在，求的最小值；若不存在，說明理由.【解析】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，依題意，成等比數(shù)列，所以，解得或，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為或.11. 【20xx高考湖北，理18】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，前項(xiàng)和為，等比數(shù)列的公比為已知，（）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（）當(dāng)時(shí)，記，求數(shù)列的前項(xiàng)和 故. 【考點(diǎn)定位】等差數(shù)列、等比數(shù)列通項(xiàng)公式，錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前項(xiàng)和.12.