第32練矩陣與變換、坐標(biāo)系與參數(shù)方程明晰考情1.命題角度：常見的平面變換與矩陣的乘法運(yùn)算，二階矩陣的逆矩陣及其求法，矩陣的特征值與特征向量的求法；極坐標(biāo)和參數(shù)方程的簡(jiǎn)單綜合運(yùn)用.2.題目難度：中檔難度.考點(diǎn)一線性變換、二階矩陣及其求法方法技巧線性變換問題一般是設(shè)變換T：，求出原曲線在T的變換下得到的曲線，再根據(jù)條件求相應(yīng)的系數(shù)值.1.已知變換矩陣A：平面上的點(diǎn)P(2，1)，Q(1,2)分別變換成點(diǎn)P1(3，4)，Q1(0,5)，求變換矩陣A.解設(shè)所求的變換矩陣A，依題意，可得，即解得所以所求的變換矩陣A.2.已知M，N，求二階矩陣X，使得MXN.解設(shè)X，由題意有，根據(jù)矩陣乘法法則有解得X.3.已知曲線C1：x2y21，對(duì)它先作矩陣A對(duì)應(yīng)的變換，再作矩陣B對(duì)應(yīng)的變換，得到曲線C2：y21，求實(shí)數(shù)m的值.解BA，設(shè)P(x0，y0)是曲線C1上的任一點(diǎn)，它在矩陣BA變換作用下變成點(diǎn)P(x，y)則，則即又點(diǎn)P在曲線C1上，則y21，所以m21，所以m1.4.(2017江蘇)已知矩陣A，B.(1)求AB；(2)若曲線C1：1在矩陣AB對(duì)應(yīng)的變換作用下得到另一曲線C2，求C2的方程.解(1)因?yàn)锳，B，所以AB.(2)設(shè)Q(x0，y0)為曲線C1上任意一點(diǎn)，它在矩陣AB對(duì)應(yīng)的變換作用下變?yōu)辄c(diǎn)P(x，y)，則，即所以因?yàn)辄c(diǎn)Q(x0，y0)在曲線上C1上，所以1，從而1，即x2y28.因此曲線C1在矩陣AB對(duì)應(yīng)的變換作用下得到曲線C2：x2y28.考點(diǎn)二逆變換與逆矩陣、矩陣的特征值與特征向量方法技巧1.由二階矩陣與向量的乘法及向量相等建立方程組，常用于求二階矩陣，要注意變換的前后順序.2.求矩陣M就是要求待定的字母，利用條件建立方程組，確立待定的字母的值，從而求出矩陣，待定系數(shù)法是求這類問題的通用方法.5.已知矩陣A.(1)求A的逆矩陣A1；(2)若點(diǎn)P在矩陣A對(duì)應(yīng)的變換作用下得到點(diǎn)P(3,1)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).解(1)因?yàn)锳，又221310，所以A可逆，從而A1.(2)設(shè)P(x，y)，則，所以A1，因此，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3，1).6.求矩陣A的特征值與屬于每個(gè)特征值的一個(gè)特征向量.解矩陣A的特征多項(xiàng)式為f()，令f()0，得25240，所以18，23為矩陣A的兩個(gè)特征值.當(dāng)18時(shí)，解相應(yīng)線性方程組可任取一解，得8的一個(gè)特征向量1.當(dāng)23時(shí)，解相應(yīng)線性方程組可任取一解，得3的一個(gè)特征向量2.7.(2018無錫調(diào)研)已知二階矩陣A對(duì)應(yīng)的變換將點(diǎn)M(1,1)變換成M(3,3)，將點(diǎn)N(1,2)變換成N(3,0).(1)求矩陣A的逆矩陣A1；(2)若向量，計(jì)算A3.解(1)設(shè)A，則解得a1，b2，c2，d1，所以A，所以A1.(2)矩陣A的特征多項(xiàng)式為f()(1)24223，令f()0，解得13，21，從而求得對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量分別為1，2.令m1n2，求得m3，n2，所以A3A3(3122)3(A31)2(A32)3(1)2(2)3332(1)3.8.(2018如皋調(diào)研)已知矩陣A屬于特征值的一個(gè)特征向量為.(1)求實(shí)數(shù)b，的值；(2)若曲線C在矩陣A對(duì)應(yīng)的變換作用下，得到的曲線為C：x22y22，求曲線C的方程.解(1)由題意得A，即，解得b0，2.(2)由(1)知，矩陣A.設(shè)曲線C上的一點(diǎn)P，在矩陣A的作用下得到點(diǎn)P(x，y).，所以將上式代入方程x22y22，得(2x)22(x3y)22，整理得3x29y26xy10.所以曲線C的方程為3x29y26xy10.考點(diǎn)三曲線的極坐標(biāo)方程方法技巧曲線極坐標(biāo)方程的應(yīng)用一般有兩種思路：一是將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；二是將曲線的極坐標(biāo)方程聯(lián)立，根據(jù)極坐標(biāo)的意義求解.要注意題目所給的限制條件及隱含條件.9.在極坐標(biāo)系中，設(shè)直線與曲線210cos40相交于A，B兩點(diǎn)，求線段AB中點(diǎn)的極坐標(biāo).解方法一將直線化為直角坐標(biāo)方程，得yx，將曲線210cos 40化為直角坐標(biāo)方程，得x2y210x40，聯(lián)立并消去y，得2x25x20，解得x1，x22，所以AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為，化為極坐標(biāo)為.方法二聯(lián)立直線l與曲線C的極坐標(biāo)方程，得消去，得2540，解得11，24，所以線段AB中點(diǎn)的極坐標(biāo)為，即.10.(2018宿遷質(zhì)檢)已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O重合，極軸與x軸的正半軸重合，若直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，曲線C的極坐標(biāo)方程為22sin30.(1)求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；(2)求直線l被曲線C截得線段的長(zhǎng).解(1)直線l的普通方程為yx1，曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2(y1)24.(2)曲線C表示以為圓心，2為半徑的圓，圓心到直線l的距離d1，故直線l被曲線C截得的線段長(zhǎng)為22.11.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為22cos2sin10.(1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程；(2)求曲線C上的點(diǎn)到直線cos0距離最大的點(diǎn)P的直角坐標(biāo).解(1)因?yàn)?x2y2，cos x，sin y，所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2y22x2y10，0,2).(2)直線方程為xy0，圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x1)2(y)24，所以設(shè)圓上點(diǎn)P的坐標(biāo)為(12cos ，2sin )，0,2)，則d，所以當(dāng)cos1，即時(shí)距離最大，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，).12.在極坐標(biāo)系中，直線C1的極坐標(biāo)方程為sin2，M是C1上任意一點(diǎn)，點(diǎn)P在射線OM上(O為極點(diǎn))，且滿足OPOM4，記點(diǎn)P的軌跡為C2，求曲線C2上的點(diǎn)到直線C3：(t為參數(shù))的距離的最大值.解設(shè)點(diǎn)P(，)，M(1，)，依題意得1sin 2，14，消去1，得2sin ，故曲線C2的極坐標(biāo)方程為2sin (0).化為直角坐標(biāo)方程，得C2：x2(y1)21，是以點(diǎn)(0,1)為圓心，1為半徑的圓.又直線C3的普通方程為xy2，故圓心到直線C3的距離d，故曲線C2上的點(diǎn)到直線C3的距離的最大值為1.考點(diǎn)四參數(shù)方程方法技巧過定點(diǎn)P0(x0，y0)，傾斜角為的直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為(t為參數(shù))，t的幾何意義是有向線段P0P的數(shù)量，即|t|表示P0到P的距離，t有正負(fù)之分.使用該式時(shí)直線上任意兩點(diǎn)P1，P2對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，則P1P2|t1t2|，P1P2的中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)為(t1t2).13.(2018蘇州調(diào)研)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(其中t為參數(shù)).在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，圓C的方程為4cos.(1)分別寫出直線l的普通方程和圓C的直角坐標(biāo)方程；(2)若直線l與圓C相切，求實(shí)數(shù)a的值.解(1)直線l的普通方程是2xya20，圓C的直角坐標(biāo)方程是(x2)2y24.(2)由(1)知圓心為C(2,0)，半徑r2，設(shè)圓心到直線的距離為d，因?yàn)橹本€與圓相切，所以d2，解得a22.14.(2018江蘇省南京外國(guó)語學(xué)校質(zhì)檢)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的參數(shù)方程為(為參數(shù)，m為常數(shù)).以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線l的極坐標(biāo)方程為cos.若直線l與圓C有兩個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解圓C的普通方程為(xm)2y24.直線l的極坐標(biāo)方程化為，即xy，化簡(jiǎn)得xy20.因?yàn)閳AC的圓心為C(m,0)，半徑為2，圓心C到直線l的距離d，所以d2，解得22m22.15.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，0，)，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為4cos.(1)若直線l與圓C相切，求的值；(2)已知直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，記點(diǎn)A，B相應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，當(dāng)t12t2時(shí)，求AB的長(zhǎng).解(1)圓C的直角坐標(biāo)方程為(x2)2y24，將直線l的參數(shù)方程代入圓C的直角坐標(biāo)方程得(tcos 4)2(tsin )24，即t28tcos 120，因?yàn)橹本€l與圓C相切，所以(8cos )24120，所以cos 或cos ，0，)，所以或.(2)將代入圓C的直角坐標(biāo)方程(x2)2y24，得t28tcos 120，因?yàn)閠1,2，所以又t12t2，所以64cos254，所以AB.16.(2018如皋調(diào)研)已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓M的參數(shù)方程為(為參數(shù))，以O(shè)x軸為極軸，O為極點(diǎn)建立極坐標(biāo)系，在該極坐標(biāo)系下，圓N是以點(diǎn)為圓心，且過點(diǎn)的圓.(1)求圓M的普通方程及圓N的直角坐標(biāo)方程；(2)求圓M上任一點(diǎn)P與圓N上任一點(diǎn)之間距離的最小值.解(1)將方程消去參數(shù)，可得224，所以圓M的方程為224.點(diǎn)和點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為，所以圓N的圓心為，半徑為r1，故圓N的直角坐標(biāo)方程為221.(2)由(1)得圓M，N的圓心距為MN4，所以圓M上任一點(diǎn)P與圓N上任一點(diǎn)之間距離的最小值為dminMN3431.1.已知矩陣M，其中aR，若點(diǎn)P(1，2)在矩陣M的變換下得到點(diǎn)P(4,0).(1)求實(shí)數(shù)a的值；(2)求矩陣M的特征值及其對(duì)應(yīng)的特征向量.解(1)由，得22a4a3.(2)由(1)知M，則矩陣M的特征多項(xiàng)式為f()(2)(1)6234.令f()0，得矩陣M的特征值為1與4.當(dāng)1時(shí)，xy0，矩陣M的屬于特征值1的一個(gè)特征向量為；當(dāng)4時(shí)，2x3y0.矩陣M的屬于特征值4的一個(gè)特征向量為.2.已知矩陣A(a為實(shí)數(shù)).(1)若矩陣A存在逆矩陣，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若直線l：xy40在矩陣A對(duì)應(yīng)的變換作用下變?yōu)橹本€l：xy2a0，求實(shí)數(shù)a的值；(3)在(2)的條件下，求A5.解(1)a210，a1.(2)設(shè)l上任一點(diǎn)在A的變換作用下變?yōu)辄c(diǎn)，則，所以所以xy2aaxyxay2axy2a0，所以a2.(3)A2，A4，A5.3.平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線(l為參數(shù))與曲線(t為參數(shù))相交于A，B兩點(diǎn)，求線段AB的長(zhǎng).解直線的普通方程為2x2y30，曲線的普通方程為y28x.解方程組得或取A，B，得AB4.4.(2018江蘇邗江中學(xué)調(diào)研)在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系.(1)寫出圓C的極坐標(biāo)方程及圓心C的極坐標(biāo)；(2)直線l的極坐標(biāo)方程為(R)與圓C交于M，N兩點(diǎn)，求CMN的面積.解(1)極坐標(biāo)(，)與直角坐標(biāo)(x，y)的對(duì)應(yīng)關(guān)系為所以根據(jù)sin2cos21，消元得(cos )2(sin 1)24，故得圓C的極坐標(biāo)方程為4sin.因?yàn)閳A心C的直角坐標(biāo)為(，1)，所以極坐標(biāo)為.(2)聯(lián)立得交點(diǎn)極坐標(biāo)M(0,0)，N，所以MN2，MC2，所以CMN的面積S22sin .