第11練數(shù)列明晰考情1.命題角度：考查等差數(shù)列、等比數(shù)列基本量的計(jì)算，考查數(shù)列的通項(xiàng)及求和.2.題目難度：選擇題中等偏下，填空題中檔難度.考點(diǎn)一等差數(shù)列與等比數(shù)列要點(diǎn)重組(1)在等差數(shù)列中，若mnpq(m，n，p，qN*)，則amanapaq.(2)若an是等差數(shù)列，則也是等差數(shù)列.(3)在等差數(shù)列an中，Sn，S2nSn，S3nS2n也成等差數(shù)列.(4)在等比數(shù)列中，若mnpq(m，n，p，qN*)，則amanapaq.(5)在等比數(shù)列中，Sn，S2nSn，S3nS2n也成等比數(shù)列(n為偶數(shù)且q1除外).1.(2018全國(guó))記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若3S3S2S4，a12，則a5等于()A.12B.10C.10D.12答案B解析設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由3S3S2S4，得32a1d4a1d，將a12代入上式，解得d3，故a5a1(51)d24(3)10.故選B.2.已知Sn是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和，a764，a1a5a320，則S5等于()A.31B.63C.16D.127答案A解析設(shè)公比為q(q>0)，a1a5a320，aa3200，即(a35)(a34)0，a3>0，a34，a7a3q464，q2，a11.S531，故選A.3.在數(shù)列an中，若a12，且對(duì)任意正整數(shù)m，k，總有amkamak，則an的前n項(xiàng)和Sn等于()A.n(3n1) B.C.n(n1) D.答案C解析依題意得an1ana1，即有an1ana12，所以數(shù)列an是以2為首項(xiàng)、2為公差的等差數(shù)列，an22(n1)2n，Snn(n1).4.設(shè)an是公比為q的等比數(shù)列，|q|>1，令bnan1(n1,2，)，若數(shù)列bn有連續(xù)四項(xiàng)在集合53，23,19,37,82中，則6q_.答案9解析由題意知，數(shù)列bn有連續(xù)四項(xiàng)在集合53，23，19,37,82中，說(shuō)明an有連續(xù)四項(xiàng)在集合54，24，18,36,81中，由于an中連續(xù)四項(xiàng)至少有一項(xiàng)為負(fù)，q<0，又|q|>1，an的連續(xù)四項(xiàng)為24,36，54,81，q，6q9.考點(diǎn)二數(shù)列的通項(xiàng)與求和方法技巧(1)已知數(shù)列的遞推關(guān)系，求數(shù)列的通項(xiàng)時(shí)，通常利用累加法、累乘法、構(gòu)造法求解.(2)利用an求通項(xiàng)時(shí)，要注意檢驗(yàn)n1的情況.5.數(shù)列an滿足a10，1(n2，nN*)，則a2019等于()A.B.C.D.答案C解析數(shù)列an滿足a10，1(n2，nN*)，1，數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，1(n1)n，2019，解得a2019.6.已知數(shù)列an滿足a1a2a3an2n2(nN*)，且對(duì)任意nN*都有<t，則t的取值范圍為()A.B.C.D.答案D解析數(shù)列an滿足a1a2a3an2n2(nN*)，當(dāng)n1時(shí)，a12；當(dāng)n2時(shí)，a1a2a3an12(n1)2，可得an22n1，n2，當(dāng)n1時(shí)，a12滿足上式，數(shù)列為等比數(shù)列，首項(xiàng)為，公比為.<.對(duì)任意nN*都有<t，t的取值范圍是.7.(2018全國(guó))記Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和.若Sn2an1，則S6_.答案63解析Sn2an1，當(dāng)n2時(shí)，Sn12an11，anSnSn12an2an1(n2)，即an2an1(n2).當(dāng)n1時(shí)，a1S12a11，得a11.數(shù)列an是首項(xiàng)a11，公比q2的等比數(shù)列，Sn12n，S612663.8.已知數(shù)列an滿足a13a21，(n2)，則數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn_.答案2n12n解析依題意，3an1an1anan12anan1，即2an1an12anan1anan1an1an1，故2，故是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故2n，由累加法可得2n2，故2n1，故Sn2n12n.考點(diǎn)三數(shù)列的綜合應(yīng)用方法技巧(1)以函數(shù)為背景的數(shù)列問(wèn)題、可以利用函數(shù)的性質(zhì)等確定數(shù)列的通項(xiàng)an、前n項(xiàng)和Sn的關(guān)系.(2)和不等式有關(guān)的數(shù)列問(wèn)題，可以利用不等式的性質(zhì)、基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性等求最值來(lái)解決.9.(2018黑龍江大慶一中模擬)已知函數(shù)f(x)x2ax的圖象在點(diǎn)A(0，f(0)處的切線l與直線2xy20平行，若數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，則S20的值為()A.B.C.D.答案A解析因?yàn)閒(x)x2ax，所以f(x)2xa，又函數(shù)f(x)x2ax的圖象在點(diǎn)A(0，f(0)處的切線l與直線2xy20平行，所以f(0)a2，所以f(x)x22x，所以，所以S20.10.(2017全國(guó))幾位大學(xué)生響應(yīng)國(guó)家的創(chuàng)業(yè)號(hào)召，開(kāi)發(fā)了一款應(yīng)用軟件.為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動(dòng).這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案：已知數(shù)列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，其中第一項(xiàng)是20，接下來(lái)的兩項(xiàng)是20，21，再接下來(lái)的三項(xiàng)是20，21，22，依此類推.求滿足如下條件的最小整數(shù)N：N>100且該數(shù)列的前N項(xiàng)和為2的整數(shù)冪.那么該款軟件的激活碼是()A.440B.330C.220D.110答案A解析設(shè)首項(xiàng)為第1組，接下來(lái)的兩項(xiàng)為第2組，再接下來(lái)的三項(xiàng)為第3組，依此類推.則第n組的項(xiàng)數(shù)為n，前n組的項(xiàng)數(shù)和為.由題意知，N>100，令>100，n14且nN*，即N出現(xiàn)在第13組之后.第n組的各項(xiàng)和為2n1，前n組所有項(xiàng)的和為n2n12n.設(shè)N是第n1組的第k項(xiàng)，若要使前N項(xiàng)和為2的整數(shù)冪，則N項(xiàng)的和即第n1組的前k項(xiàng)的和2k1應(yīng)與2n互為相反數(shù)，即2k12n(kN*，n14)，klog2(n3)，n最小為29，此時(shí)k5，則N5440.故選A.11.設(shè)等比數(shù)列an滿足a1a310，a2a45，則a1a2an的最大值為_(kāi).答案64解析由已知a1a310，a2a4a1qa3q5，兩式相除得，解得q，a18，方法一a24，a32，a41，a1a2a3a1a2a3a4，a1a2an的最大值為64.方法二由a1a2an8n12(n1)，拋物線f(n)的對(duì)稱軸為n，又nN*，所以當(dāng)n3或4時(shí)，a1a2an取最大值2664.12.已知函數(shù)f(x)3|x5|2|x2|，數(shù)列an滿足a1<2，an1f(an)，nN*.若要使數(shù)列an成等差數(shù)列，則a1的取值集合為_(kāi).答案解析因?yàn)閒(x)所以若數(shù)列an成等差數(shù)列，則當(dāng)a1為直線yx11與直線yx11的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即a111時(shí)，數(shù)列an是以11為首項(xiàng)，11為公差的等差數(shù)列；當(dāng)f(a1)a1，即5a119a1或a111a1，即a1或a1時(shí)，數(shù)列an是以0為公差的等差數(shù)列，因此a1的取值集合為.1.在數(shù)列an中，a11，a22，當(dāng)整數(shù)n1時(shí)，Sn1Sn12(SnS1)都成立，則S15等于()A.210B.211C.224D.225答案B解析當(dāng)n1時(shí)，Sn1SnSnSn12，an1an2，n2，an1an2，n2.數(shù)列an從第二項(xiàng)開(kāi)始組成公差為2的等差數(shù)列，S15a1(a2a15)114211.2.已知數(shù)列an滿足：an1an(12an1)，a11，數(shù)列bn滿足：bnanan1，則數(shù)列bn的前2017項(xiàng)的和S2017_.答案解析由an1an(12an1)，可得2，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，故1(n1)22n1，所以an.又bnanan1，所以S2017.3.已知數(shù)列an滿足a133，an1an2n，則的最小值為_(kāi).答案解析由題意，得a2a12，a3a24，anan12(n1)，n2，累加整理可得ann2n33，n2，當(dāng)n1時(shí)，a133也滿足，n1(nN*).由函數(shù)f(x)x1(x0)的單調(diào)性可知，的最小值為f(5)，f(6)中較小的一個(gè).又f(6)，f(5)，min.解題秘籍(1)利用anSnSn1尋找數(shù)列的關(guān)系，一定要注意n2這個(gè)條件.(2)數(shù)列的最值問(wèn)題可以利用基本不等式或函數(shù)的性質(zhì)求解，但要考慮最值取到的條件.1.等差數(shù)列an的首項(xiàng)為1，公差不為0.若a2，a3，a6成等比數(shù)列，則an的前6項(xiàng)和為()A.24B.3C.3D.8答案A解析由已知條件可得a11，d0，由aa2a6，可得(12d)2(1d)(15d)，解得d2.所以S66124.2.已知在等比數(shù)列中，各項(xiàng)都是正數(shù)，且a1，a3，2a2成等差數(shù)列，則等于()A.1B.1C.32D.32答案C解析a1，a3，2a2成等差數(shù)列，a32a12a2，即a1q2a12a1q，又a10，q212q，解得q1或q1(舍).q2(1)232.3.已知數(shù)列an滿足an1an2，a15，則|a1|a2|a6|等于()A.9B.15C.18D.30答案C解析由an1an2可得數(shù)列an是等差數(shù)列，公差d2，又a15，所以an2n7，所以|a1|a2|a3|a4|a5|a6|53113518.4.已知兩個(gè)等差數(shù)列an和bn的前n項(xiàng)和分別為An和Bn，且，則使得為整數(shù)的正整數(shù)n的個(gè)數(shù)是()A.2B.3C.4D.5答案D解析7，驗(yàn)證知，當(dāng)n1,2,3,5,11時(shí)為整數(shù).5.在數(shù)列an中，已知a1a2an2n1，則aaa等于()A.(2n1)2B.C.4n1D.答案D解析設(shè)Sn為an的前n項(xiàng)和，Sna1a2an2n1，當(dāng)n2時(shí)，Sn12n11，an2n1(2n11)2n1，a4n1，當(dāng)n1時(shí)，a11也符合上式，所以aaa.6.設(shè)Sn是等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若3，則等于()A.2B.C.D.1或2答案B解析設(shè)S2k，則S43k，由數(shù)列an為等比數(shù)列(易知數(shù)列an的公比q1)，得S2，S4S2，S6S4為等比數(shù)列，又S2k，S4S22k，S6S44k，S67k，故選B.7.(2018唐山模擬)設(shè)an是任意等差數(shù)列，它的前n項(xiàng)和、前2n項(xiàng)和與前4n項(xiàng)和分別為X，Y，Z，則下列等式中恒成立的是()A.2XZ3YB.4XZ4YC.2X3Z7YD.8XZ6Y答案D解析根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)X，YX，S3nY，ZS3n成等差數(shù)列，S3n3Y3X，又2(S3nY)(YX)(ZS3n)，4Y6XYXZ3Y3X，8XZ6Y.8.在數(shù)列an中，a11，anan1(n2，且nN*)，則an等于()A.2B.1C.D.2答案A解析anan1，n2，a2a11，a3a2，a4a3，anan1，以上各式累加得ana11.又a11，an2.當(dāng)n1時(shí)，上式也成立，故選A.9.公差不為0的等差數(shù)列an的部分項(xiàng)，構(gòu)成等比數(shù)列，且k11，k22，k36，則k4_.答案22解析根據(jù)題意可知，等差數(shù)列的a1，a2，a6項(xiàng)成等比數(shù)列，設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則有(a1d)2a1(a15d)，解得d3a1，故a24a1，a616a1，所以a1(k41)(3a1)64a1，解得k422.10.已知數(shù)列an滿足a10，an1an21，則a13等于_.答案168解析由an1an21可知，an11an121(1)2，1.又1，故數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，n，13，則a13168.11.古代數(shù)學(xué)著作九章算術(shù)有如下問(wèn)題：“今有女子善織，日自倍，五日織五尺，問(wèn)日織幾何？”意思是：“一女子善于織布，每天織的布都是前一天的2倍，已知她5天共織布5尺，問(wèn)這個(gè)女子每天分別織布多少？”根據(jù)上題的已知條件，可求得該女子第3天所織布的尺數(shù)為_(kāi).答案解析設(shè)這個(gè)女子每天分別織布an尺，則數(shù)列an是等比數(shù)列，公比q2.則5，解得a1.所以a322.12.對(duì)于正項(xiàng)數(shù)列an，定義Hn為an的“光陰”值，現(xiàn)知某數(shù)列的“光陰”值為Hn，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式為_(kāi).答案an(nN*)解析由Hn可得a12a23a3nan，所以a1，a12a23a3(n1)an1(n2)，得nan，所以an，n2.又當(dāng)n1時(shí)，a1也滿足上式，所以an，nN*.