第22練直線與圓的綜合問題明晰考情1.命題角度：求直線方程或圓的方程，直線、圓的位置關(guān)系.2.題目難度：圓的方程要求較高，試題難度中檔或偏上.考點(diǎn)一直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系方法技巧當(dāng)直線和圓相切時，求切線方程一般要用圓心到直線的距離等于半徑，求切線長一般要用切線、半徑及圓外點(diǎn)與圓心連線構(gòu)成的直角三角形；與圓相交時，弦長的計(jì)算也要用弦心距、半徑及弦長的一半構(gòu)成的直角三角形.1.(2018常熟月考)已知圓C經(jīng)過A(2，1)，B(5，0)兩點(diǎn)，且圓心C在直線y2x上.(1)求圓C的方程；(2)動直線l: (m2)x(2m1)y7m80過定點(diǎn)M，斜率為1的直線m過點(diǎn)M，直線m和圓C相交于P, Q兩點(diǎn)，求PQ的長度.解(1)設(shè)圓C的方程為x2y2DxEyF0，則解得D4, E8, F5，圓C的方程為x2y24x8y50.(2)動直線l的方程為(x2y7)m2xy80，則解得動直線l過定點(diǎn)M，直線m: yx1，圓心C到m的距離為，PQ的長為2.2.(2018江蘇省揚(yáng)州中學(xué)模擬)已知圓M的方程為x221，直線l的方程為x2y0，點(diǎn)P在直線l上，過P點(diǎn)作圓M的切線PA，PB，切點(diǎn)為A，B.(1)若APB60，試求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(2)若P點(diǎn)的坐標(biāo)為，過P作直線與圓M交于C，D兩點(diǎn)，當(dāng)CD時，求直線CD的方程.解(1)設(shè)P(2m，m)，由條件可知MP2，所以(2m)2(m2)24，解得m0, m，故所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,0)或.(2)由題意知直線CD的斜率存在，設(shè)斜率為k，則直線CD的方程為y1k(x2)，由題意知圓心M到直線CD的距離為，所以，解得k1或.故所求直線CD的方程為xy30或x7y90.3.(2018泰州市姜堰區(qū)質(zhì)檢)已知圓C：(x4)2(y1)24，直線l：2mx(3m1)y20.(1)求證：直線l過定點(diǎn)；(2)求直線l被圓C所截得的弦長最短時m的值；(3)已知點(diǎn)M(4，5)，在直線MC上(C為圓心)存在定點(diǎn)N(異于點(diǎn)M)滿足：對于圓C上任一點(diǎn)P，都有為一常數(shù)，試求所有滿足條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)及該常數(shù).(1)證明依題意得，m(2x3y)(2y)0.令2x3y0且2y0，得x3，y2，直線l過定點(diǎn)A(3,2).(2)解當(dāng)ACl時，所截得弦長最短，由題意知C(4,1)，r2，kAC1，得kl1，由1，得m1.(3)解由題意知，直線MC的方程為x4，假設(shè)存在定點(diǎn)N(4，t)滿足題意，則設(shè)P(x，y)，得PM22PN2 (>0)，且(x4)24(y1)2， 4(y1)2(y5)2422(y1)22(yt)2，整理得(22t)28y(3t2)2280.上式對任意y1，3恒成立， (22t)280且(3t2)2280，即得t27t100 ，t2，t5(舍去，與M重合)，24，2.綜上可知，在直線MC上存在定點(diǎn)N(4,2)，使得為常數(shù)2.4.已知圓M：2x22y24y23，直線l0：xy8，l0上一點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為a，過點(diǎn)A作圓M的兩條切線l1，l2，切點(diǎn)分別為B，C，D為線段BC的中點(diǎn).(1)當(dāng)a0時，求直線l1，l2的方程；(2)當(dāng)直線l1，l2互相垂直時，求a的值；(3)是否存在點(diǎn)A，使得BC長為？若存在，求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.解(1)圓M：x2(y1)2，圓心為M(0,1)，半徑為，A(0,8)，設(shè)切線的方程為ykx8，圓心距d.k，所求直線l1，l2的方程為x5y400或x5y400.(2)當(dāng)l1l2時，四邊形MCAB為正方形，AMMB5.A(a,8a)，M(0,1)，則5，即a27a120，a3或a4.(3)若BC，則BD，MB，MD，又MB2MDMA，MA.圓心M到直線l0的距離為，點(diǎn)A不存在.考點(diǎn)二直線與圓的綜合方法技巧解決直線與圓的綜合問題，往往充分利用平面幾何中圓的性質(zhì)使問題簡化.數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程的思想在解決圓的有關(guān)問題時經(jīng)常運(yùn)用.5.已知圓C：x2y22x4y40.(1)直線l1過點(diǎn)P(2,0)，被圓C截得的弦長為4，求直線l1的方程；(2)直線l2的斜率為1，且l2被圓C截得的弦為AB，若以AB為直徑的圓過原點(diǎn)，求直線l2的方程.解圓C：(x1)2(y2)29，圓心為C(1，2) ，半徑為3，(1)直線l1過點(diǎn)P(2,0)，當(dāng)直線斜率不存在時，l1：x2，此時l1被圓C截得的弦長為4，l1：x2；當(dāng)直線斜率存在時，可設(shè)l1的方程為yk(x2) 即kxy2k0，由l1被圓C截得的弦長為4，則圓心C到l1的距離為1，1，解得k，l1的方程為y(x2)，即3x4y60，綜上可知，l1的方程為x2或3x4y60.(2)設(shè)直線l2的方程為yxb，代入圓C的方程得x2(xb)22x4(xb)40.即2x2(2b2)xb24b40.(*)以AB為直徑的圓過原點(diǎn)O，則OAOB.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2y1y20，即x1x2(x1b)(x2b)0，2x1x2b(x1x2)b20，x1,2.x1x2b1，x1x2，b24b4b(b1)b20，即b23b40，b4或b1.將b4或b1代入(*)式，對應(yīng)的0.故直線l2：xy40或xy10. 6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，平行于x軸且過點(diǎn)A(3，2)的入射光線l1被直線l：yx反射.反射光線l2交y軸于B點(diǎn)，圓C過點(diǎn)A且與l1，l2都相切.(1)求l2所在直線的方程和圓C的方程；(2)設(shè)P，Q分別是直線l和圓C上的動點(diǎn)，求PBPQ的最小值及此時點(diǎn)P的坐標(biāo).解(1)直線l1：y2，設(shè)l1交l于點(diǎn)D，則D(2，2)，l的傾斜角為30，l2的傾斜角為60，k2.反射光線l2所在直線的方程為y2(x2)，即xy40.已知圓C與l1切于點(diǎn)A，設(shè)C(a，b)，圓心C在過點(diǎn)D且與l垂直的直線上，ba8.又圓心C在過點(diǎn)A且與l1垂直的直線上，a3，由得圓C的半徑r3，故所求圓C的方程為(x3)2(y1)29.(2)設(shè)點(diǎn)B(0，4)關(guān)于l的對稱點(diǎn)為B(x0，y0)，則，且，得B(2，2)，固定點(diǎn)Q可發(fā)現(xiàn)，當(dāng)B，P，Q三點(diǎn)共線時，PBPQ最小，故PBPQ的最小值為BC3，設(shè)P(x，y)，由解得P.PBPQ的最小值為BC323.7.已知圓M：x2(y2)21，設(shè)點(diǎn)B，C是直線l：x2y0上的兩點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)分別是t，t4(tR)，點(diǎn)P在線段BC上，過P點(diǎn)作圓M的切線PA，切點(diǎn)為A.(1)若t0，MP，求直線PA的方程；(2)經(jīng)過A，P，M三點(diǎn)的圓的圓心是D，求線段DO長的最小值L(t).解(1)設(shè)P(2a，a)(0a2).M(0,2)，MP，.解得a1或a(舍去).P(2,1).由題意知切線PA的斜率存在，設(shè)斜率為k.直線PA的方程為y1k(x2)，即kxy2k10.直線PA與圓M相切，1，解得k0或k.直線PA的方程為y1或4x3y110.(2)設(shè)P(2a，a)(t2at4).PA與圓M相切于點(diǎn)A，PAMA.經(jīng)過A，P，M三點(diǎn)的圓的圓心D是線段MP的中點(diǎn).M(0,2)，點(diǎn)D的坐標(biāo)是.設(shè)DO2f(a)，f(a)a22a2a12.當(dāng)，即t時，f(a)minft21；當(dāng)2，即t時，f(a)minf；當(dāng)2，即t時，f(a)minf21t23t8，綜上所述，L(t)8.(2018江蘇太倉市明德高級中學(xué)月考)已知O：x2y21和點(diǎn)M(4，m).過O作M的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B且直線AB的方程為4x2y110.(1)求M的方程；(2)設(shè)P為M上任一點(diǎn)，過點(diǎn)P向O引切線，切點(diǎn)為Q, 試探究：平面內(nèi)是否存在一定點(diǎn)R，使得為定值？若存在，請舉出一例，并指出相應(yīng)的定值；若不存在，請說明理由.解(1)以O(shè)M為直徑的圓為xy0，設(shè)圓M的半徑為R，故M的方程為22R2，直線AB的方程為4xmy16m2R20，解得R3，故M的方程為229.(2)假設(shè)存在這樣的點(diǎn)R，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，相應(yīng)的定值為(>0)，根據(jù)題意可得PQ，即x2y212，(*)又點(diǎn)P為M上一點(diǎn)，229，即x2y28x4y11，代入(*)式得8x4y122，若系數(shù)對應(yīng)相等，則等式恒成立，解得a2，b1，或a，b，可以找到這樣的定點(diǎn)R，使得為定值.如點(diǎn)R的坐標(biāo)為時，比值為；點(diǎn)R的坐標(biāo)為時，比值為.例(14分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(3,4)，B(9,0)，C，D分別為線段OA，OB上的動點(diǎn)，且滿足ACBD.(1)若AC4，求直線CD的方程；(2)證明：OCD的外接圓恒過定點(diǎn)(異于原點(diǎn)O).審題路線圖(1)(2)規(guī)范解答評分標(biāo)準(zhǔn)(1)解因?yàn)锳(3,4)，所以O(shè)A5.1分又因?yàn)锳C4，所以O(shè)C1，所以C.3分由BD4，得D(5,0)，4分所以直線CD的斜率k，5分所以直線CD的方程為y(x5)，即x7y50.6分(2)證明設(shè)C(3m,4m)(0m1)，則OC5m.7分所以ACOAOC55m.因?yàn)锳CBD，所以O(shè)DOBBD5m4，所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為(5m4,0).8分又設(shè)OCD的外接圓的方程為x2y2DxEyF0，則有10分解得D(5m4)，F(xiàn)0，E10m3，所以O(shè)CD的外接圓的方程為x2y2(5m4)x(10m3)y0，12分整理得x2y24x3y5m(x2y)0.令所以(舍去)或所以O(shè)CD的外接圓恒過定點(diǎn)(2，1).14分構(gòu)建答題模板第一步設(shè)直線方程：關(guān)鍵是求出直線斜率，通過線段長構(gòu)建方程求斜率.第二步求圓的方程：根據(jù)題意設(shè)出圓的一般式，求出圓的一般方程.第三步整理圓的方程：利用等式恒成立的思想求出定點(diǎn)坐標(biāo).1.已知圓C：(x3)2(y4)24，直線l1過定點(diǎn)A(1,0).(1)若l1與圓相切，求l1的方程；(2)若l1與圓相交于P，Q兩點(diǎn)，線段PQ的中點(diǎn)為M，又l1與l2：x2y20的交點(diǎn)為N，判斷AMAN是否為定值，若是，則求出定值；若不是，請說明理由.解(1)若直線l1的斜率不存在，即直線是x1，符合題意，若直線l1的斜率存在，設(shè)直線l1為yk(x1)，即kxyk0.由題意知，圓心(3,4)到直線l1的距離等于半徑2，即2，解得k，所求直線方程是x1,3x4y30.(2)直線與圓相交，斜率必定存在，且斜率為正數(shù)，可設(shè)直線方程為kxyk0，由得N.又直線CM與l1垂直，由得M，AMAN6為定值.故AMAN是定值，且定值為6.2.在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓C：x2(y4)24，有一動點(diǎn)P在直線x2y0上運(yùn)動，過點(diǎn)P作圓C的切線PA，PB，切點(diǎn)分別為A，B.(1)求切線長PA的最小值；(2)試問：當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動時，弦AB所在的直線是否恒過定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請說明理由.解(1)因?yàn)镻A是圓C的一條切線，所以CAP90，在RtCAP中，PA.因?yàn)镻C的最小值為圓心C到直線x2y0的距離d，且d，所以切線長PA的最小值(PA)min.(2)設(shè)P(2b，b)，易知經(jīng)過A，P，C三點(diǎn)的圓E以CP為直徑，圓E的方程為x(x2b)(y4)(yb)0，即x2y22bx(b4)y4b0，又圓C：x2(y4)24，即x2y28y120，得圓E與圓C的相交弦AB所在直線的方程為2bx(b4)y124b0，即(2xy4)b4y120.由解得所以弦AB所在的直線恒過定點(diǎn).3.(2018鹽城調(diào)研)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓O：x2y24與x軸的正半軸交于點(diǎn)A，以點(diǎn)A為圓心的圓A：(x2)2y2r2(r>0)與圓O交于B，C兩點(diǎn).(1)當(dāng)r時，求BC的長；(2)當(dāng)r變化時，求的最小值；(3)過點(diǎn)P(6，0)的直線l與圓A切于點(diǎn)D，與圓O分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，若點(diǎn)E是DF的中點(diǎn)，試求直線l的方程.解(1)當(dāng)r時，由得B，C，BC.(2)由對稱性，設(shè)B(x0，y0)，C(x0，y0)，則xy4，所以(x02)2y(x02)2(4x) 2(x01)22.因?yàn)?<x0<2，所以當(dāng)x01時，的最小值為2.(3)取EF的中點(diǎn)G，連結(jié)OG，AD，OF，則ADOG，則，從而OGr，不妨記DE2EG2GF2t，PD6t.在RtOFG中，OF2OG2FG2，即222t2，在RtADP中，AP2AD2DP2，即42r2(6t)2，由解得r.由題意可知直線l的斜率存在，可設(shè)直線l的方程為yk(x6) ，由點(diǎn)A到直線l的距離等于r，得，所以k，從而直線l的方程為x3y60.4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知以M為圓心的圓M：x2y212x14y600及其上一點(diǎn)A(2,4).(1)設(shè)圓N與x軸相切，與圓M外切，且圓心N在直線x6上，求圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)平行于OA的直線l與圓M相交于B，C兩點(diǎn)，且BCOA，求直線l的方程；(3)設(shè)點(diǎn)T(t,0)滿足：存在圓M上的兩點(diǎn)P和Q，使得，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.解(1)圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x6)2(y7)225，所以圓心M(6,7)，半徑為5.由圓心N在直線x6上，可設(shè)N(6，y0).因?yàn)閳AN與x軸相切，與圓M外切，所以0<y0<7，于是圓N的半徑為y0，從而7y05y0，解得y01.因此，圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x6)2(y1)21.(2)因?yàn)橹本€lOA，所以直線l的斜率為2.設(shè)直線l的方程為y2xm，即2xym0，則圓心M到直線l的距離d.因?yàn)锽COA2，而MC2d22，所以255，解得m5或m15.故直線l的方程為2xy50或2xy150.(3)設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2).因?yàn)锳(2,4)，T(t,0)，所以因?yàn)辄c(diǎn)Q在圓M上，所以(x26)2(y27)225.將代入，得(x1t4)2(y13)225.于是點(diǎn)P(x1，y1)既在圓M上，又在圓x(t4)2(y3)225上，從而圓(x6)2(y7)225與圓x(t4)2(y3)225有公共點(diǎn)，所以5555，解得22t22.因此，實(shí)數(shù)t的取值范圍是22，22.