課時跟蹤檢測（二十） 小題考法不等式A組107提速練一、選擇題1在R上定義運算：xyx(1y)若不等式(xa)(xb)0的解集是(2,3)，則ab()A1B2C4 D8解析：選C由題知(xa)(xb)(xa)1(xb)0，即(xa)x(b1)0，由于該不等式的解集為(2,3)，所以方程(xa)x(b1)0的兩根之和等于5，即ab15，故ab4.2已知正數(shù)a，b的等比中項是2，且mb，na，則mn的最小值是()A3 B4C5 D6解析：選C由正數(shù)a，b的等比中項是2，可得ab4，又mb，na，所以mnabab(ab)25，當且僅當ab2時等號成立，故mn的最小值為5.3設變量x，y滿足約束條件則目標函數(shù)zx2y的最大值為()A5 B6C. D7解析：選C作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，由圖易知，當直線zx2y經過直線xy1與xy4的交點，即時，z取得最大值，zmax2，故選C.4(2017全國卷)設x，y滿足約束條件則zxy的取值范圍是()A3,0 B3,2C0,2 D0,3解析：選B作出不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示，作出直線l0：yx，平移直線l0，當直線zxy過點A(2,0)時，z取得最大值2，當直線zxy過點B(0,3)時，z取得最小值3，所以zxy的取值范圍是3,25(2017全國卷)設x，y滿足約束條件則z2xy的最小值是()A15 B9C1 D9解析：選A作出不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示易求得可行域的頂點A(0，1)，B(6，3)，C(6，3)，當直線z2xy過點B(6，3)時，z取得最小值，zmin2(6)315.6設不等式組所表示的區(qū)域面積為S.若S1，則m的取值范圍為()A(，2 B2,0C(0,2 D2，)解析：選A如圖，當xy1與ymx交點為(1,2)時，不等式組所表示的區(qū)域面積為1，此時m2，若S1，則m2，故選A.7已知實數(shù)x，y滿足若zx2y的最小值為4，則實數(shù)a()A1 B2C4 D8解析：選B作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示，當直線zx2y經過點C時，z取得最小值4，所以a24，解得a2，故選B.8(2019屆高三浙江六校協(xié)作體聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)ax3bx2x(a>0，b>0)在x1處取得極小值，則的最小值為()A4 B5C9 D10解析：選C由f(x)ax3bx2x(a>0，b>0)，得f(x)ax2bx1，則f(1)ab10，ab1，(ab)5529，當且僅當，即a，b時，等號成立，故選C.9(2017衢州二中交流卷)若實數(shù)x，y滿足|x|y|1(x表示不超過x的最大整數(shù))，則的取值范圍是()A. B.C. D.解析：選A因為|x|1|y|1，所以1x1，再根據(jù)x的具體值進行分類：當x1，即1x<0時，y0；當x0，即0x<1時，|y|1，即1y1；當x1，即1x<2時，y0.在平面直角坐標系內作出可行域，如圖所示1，其幾何意義為可行域內的點(x，y)與點(2，2)所確定的直線的斜率加1.而由圖可知，點(1，0)與點(2，2)所確定的直線的斜率最大，最大值為2；點(1，1)與點(2，2)所確定的直線的斜率最小，最小值為，又由圖知取不到最小值，所以，故選A.10(2017天津高考)已知函數(shù)f(x)設aR，若關于x的不等式f(x)在R上恒成立，則a的取值范圍是()A. B.C2，2 D.解析：選A法一：根據(jù)題意，作出f(x)的大致圖象，如圖所示當x1時，若要f(x)恒成立，結合圖象，只需x2x3，即x23a0，故對于方程x23a0，24(3a)0，解得a；當x>1時，若要f(x)恒成立，結合圖象，只需xa，即a.又2，當且僅當，即x2時等號成立，所以a2.綜上，a的取值范圍是.法二：關于x的不等式f(x)在R上恒成立等價于f(x)af(x)，即f(x)af(x)在R上恒成立，令g(x)f(x).當x1時，g(x)(x2x3)x232，當x時，g(x)max；當x>1時，g(x)2，當且僅當，且x>1，即x時，“”成立，故g(x)max2.綜上，g(x)max.令h(x)f(x)，當x1時，h(x)x2x3x232，當x時，h(x)min；當x>1時，h(x)x2，當且僅當，且x>1，即x2時，“”成立，故h(x)min2.綜上，h(x)min2.故a的取值范圍為.二、填空題11若兩個正實數(shù)x，y滿足1，且不等式x<m23m有解，則實數(shù)m的取值范圍是_解析：由題可知，12，即4，于是有m23m>x4，故m23m>4，化簡得(m1)(m4)>0，解得m<1或m>4，即實數(shù)m的取值范圍為(，1)(4，)答案：(，1)(4，)12設函數(shù)f(x)則不等式f(x)>f(1)的解集是_解析：由題意得，f(1)3，所以f(x)>f(1)，即f(x)>3.當x<0時，x6>3，解得3<x<0；當 x0時，x24x6>3，解得x>3或0x<1.綜上，不等式的解集為(3,1)(3，)答案：(3,1)(3，)13(2018紹興一中調研)已知實數(shù)x，y滿足則由不等式組確定的可行域的面積為_，z2xy的最大值為_解析：作出不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示，所以可行域的面積為1，因為目標函數(shù)z2xy的斜率為2，所以過點A(3,0)時取到最大值6.答案：1614(2018杭州二中調研)已知x>3y>0或x<3y<0，則(x2y)2的最小值是_解析：(x2y)2(x2y)2(x2y)28，當4yx，x2y2時取等號答案：815如果實數(shù)x，y滿足條件且z的最小值為，則正數(shù)a的值為_解析：根據(jù)約束條件畫出可行域如圖中陰影部分所示，經分析可知當x1，y1時，z取最小值，即，所以a1.答案：116(2018紹興質量調測)已知正實數(shù)x，y滿足xy2x3y42，則xy5x4y的最小值為_解析：由題知，xy5x4y(xy2x3y)3xy423xy，而(x3)(y2)48，因此144(3x9)(y2)2，因此3xy13，當且僅當3x9y2，即時取等號故xy5x4y423xy55，則xy5x4y的最小值為55.答案：5517若不等式|2ab|2ab|a|(|2x|2x|)(a0)恒成立，則實數(shù)x的取值范圍是_解析：不等式|2ab|2ab|a|(|2x|2x|)(a0)恒成立，即|2x|2x|恒成立，故|2x|2x|min.因為4，當且僅當(2ab)(2ab)0，即2|a|b|時等號成立，所以的最小值為4，所以|2x|2x|4，解得2x2.故實數(shù)x的取值范圍為2，2答案：2,2B組能力小題保分練1已知x，y滿足則z8xy的最小值為()A1 B.C. D.解析：選D作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，而z8xy23xy，欲使z最小，只需使3xy最小即可由圖知當x1，y2時，3xy的值最小，且3125，此時23xy最小，最小值為.故選D.2設x，y滿足約束條件若目標函數(shù)zaxby(a>0，b>0)的最大值為6，則的最小值為()A1 B3C2 D4解析：選B依題意畫出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示a>0，b>0，當直線zaxby經過點(2,4)時，z取得最大值6，2a4b6，即a2b3.(a2b)3，當且僅當ab1時等號成立，的最小值為3.故選B.3設不等式組所表示的平面區(qū)域為Dn，記Dn內的整點(橫坐標和縱坐標均為整數(shù)的點)個數(shù)為an(nN*)，若m>對于任意的正整數(shù)恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是()A. B.C. D.解析：選A不等式組表示的平面區(qū)域為直線x0，y0，ynx3n圍成的直角三角形(不含直角邊)，區(qū)域內橫坐標為1的整點有2n個，橫坐標為2的整點有n個，所以an3n，所以，所以，數(shù)列為單調遞增數(shù)列，故當n趨近于無窮大時，趨近于，所以m.故選A.4設二次函數(shù)f(x)ax2bxc的導函數(shù)為f(x)若xR，不等式f(x)f(x)恒成立，則的最大值為()A.2 B.2C22 D22解析：選B由題意得f(x)2axb，由f(x)f(x)在R上恒成立，得ax2(b2a)xcb0在R上恒成立，則a>0且0，可得b24ac4a2，則，又4ac4a20，440，10，令t1，則t0.當t>0時，2，當t0時，0<2，故的最大值為2，故選B.5(2019屆高三浙江新高考聯(lián)盟聯(lián)考)過P(1,1)的光線經x軸上點A反射后，經過不等式組所表示的平面區(qū)域內某點(記為B)，則|PA|AB|的取值范圍是_解析：作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，點P關于x軸的對稱點為P1(1，1)，|PA|AB|P1B|，過點P1作直線xy20的垂線，則|PA|AB|P1B|的最小值為2.由得B0(2,3)，則|PA|AB|P1B|的最大值為|P1B0|5.故2|PA|AB|5.答案：2，56(2018浙江“七彩陽光”聯(lián)盟期中)設實數(shù)x，y滿足不等式組且目標函數(shù)z3xy的最大值為15，則實數(shù)m_；設mina，b則zminxy2,2xy的取值范圍是_解析：因為直線xy30與x3y50交于點A(1，2)，而直線xmy10過點(1,0)，則當m>0時，不等式組不能構成可行域當m0時，可行域為點A(1,2)，不符合題意當>，即3<m<0時，不等式組構成的可行域是以A(1,2)，B，C為頂點的三角形區(qū)域(含邊界)，過點C時，目標函數(shù)z3xy有最大值，由15，得m1.當0<，即m3時，不等式組構成的可行域是一個開放區(qū)域，此時，目標函數(shù)z3xy沒有最大值綜合得m1.此時，可行域是以A(1,2)，B(2,1)，C(4,3)為頂點的三角形區(qū)域(含邊界)而zminxy2,2xy直線x2把可行域分成以A(1,2)，B(2,1)，D為頂點的三角形區(qū)域，和以B(2,1)，C(4,3)，D為頂點的三角形區(qū)域故只要求z2xy在三角形ABD區(qū)域上的范圍，zxy2在三角形BCD區(qū)域上的范圍即可當平行直線系2xyz在三角形ABD區(qū)域內運動時，z2xy.當平行直線系xy2z在三角形BCD區(qū)域內運動時，zxy25,9從而有zminxy2,2xy的取值范圍是4,9答案：14,9