考點(diǎn)規(guī)范練23平面向量基本定理及向量的坐標(biāo)表示基礎(chǔ)鞏固組1.已知點(diǎn)A(-1,5)和向量a=(2,3),若AB=3a,則點(diǎn)B的坐標(biāo)為()A.(7,4)B.(7,14)C.(5,4)D.(5,14)答案D解析設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(x,y),則AB=(x+1,y-5).由AB=3a,得x+1=6,y-5=9,解得x=5,y=14.2.已知向量a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4).若為實(shí)數(shù),(a+b)c,則=()A.12B.14C.1D.2答案A解析由于a+b=(1+,2),故(a+b)c4(1+)-6=0,解得=12,故選A.3.(2017浙江三市十二校聯(lián)考)已知點(diǎn)A(1,3),B(4,-1),則與AB同方向的單位向量是()A.35,-45B.45,-35C.-35,45D.-45,35答案A解析AB=OB-OA=(4,-1)-(1,3)=(3,-4),故與AB同方向的單位向量為AB|AB|=35,-45.4.已知向量AC,AD和AB在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示,若AC=AB+AD,則+等于()A.2B.-2C.3D.-3答案A解析如圖所示,建立平面直角坐標(biāo)系,則AD=(1,0),AC=(2,-2),AB=(1,2).因?yàn)锳C=AB+AD,所以(2,-2)=(1,2)+(1,0)=(+,2),所以2=+,-2=2,解得=-1,=3,所以+=2.故選A.5.如圖,在OAB中,P為線段AB上的一點(diǎn),OP=xOA+yOB,且BP=2PA,則()A.x=23,y=13B.x=13,y=23C.x=14,y=34D.x=34,y=14答案A解析由題意知OP=OB+BP,又BP=2PA,所以O(shè)P=OB+23BA=OB+23(OA-OB)=23OA+13OB,所以x=23,y=13.6.若平面向量a,b滿足|a+b|=1,a+b平行于x軸,b=(2,-1),則a=.答案(-1,1)或(-3,1)解析由|a+b|=1,a+b平行于x軸,得a+b=(1,0)或(-1,0),則a=(1,0)-(2,-1)=(-1,1),或a=(-1,0)-(2,-1)=(-3,1).7.已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,).若c(2a+b),則=.答案12解析由題可得2a+b=(4,2),c(2a+b),c=(1,),4-2=0,即=12,故答案為12.8.如圖,在ABCD中,AC,BD相交于點(diǎn)O,E為線段AO的中點(diǎn).若BE=BA+BD(,R),則+=.答案34解析由平面向量基本定理可得BE=12BA+12BO=12BA+14BD,故=12,=14,所以+=34.能力提升組9.已知a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),則c等于()A.-12a+32bB.12a-32bC.-32a-12bD.-32a+12b答案B解析設(shè)c=a+b,即(-1,2)=(1,1)+(1,-1),所以-1=+,2=-,解得=12,=-32,所以c=12a-32b.10.已知向量a=(3,-2),b=(x,y-1),且ab,若x,y均為正數(shù),則3x+2y的最小值是()A.24B.8C.83D.53答案B解析ab,-2x-3(y-1)=0,化簡(jiǎn)得2x+3y=3.x,y均為正數(shù),3x+2y=3x+2y13(2x+3y)=136+9yx+4xy+61312+29yx4xy=8,當(dāng)且僅當(dāng)9yx=4xy時(shí),等號(hào)成立,3x+2y的最小值是8,故選B.11.給定兩個(gè)長(zhǎng)度為1的平面向量OA和OB,它們的夾角為90,如圖所示,點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧AB上運(yùn)動(dòng),若OC=xOA+yOB,其中x,yR,則x+y的最大值是()A.1B.2C.3D.2答案B解析法一:以O(shè)為原點(diǎn),向量OA,OB所在直線分別為x軸、y軸建立直角坐標(biāo)系,設(shè)<OA,OC>=,0,2,則OA=(1,0),OB=(0,1),OC=(cos,sin).由OC=xOA+yOB,x=cos,y=sin.x+y=cos+sin=2sin+4,+44,34,x+y的最大值為2.法二:點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧AB上,|OC|2=|xOA+yOB|2=x2+y2+2xyOAOB=x2+y2=1(x+y)22.x+y2.當(dāng)且僅當(dāng)x=y=22時(shí)等號(hào)成立.12.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)A,B分別在x,y軸上運(yùn)動(dòng),且|AB|=2,若m=13OA+23OB,則|m|的取值范圍是()A.23,43B.13,23C.0,2D.0,253答案A解析由題意,設(shè)A(a,0),B(0,b),由|AB|=2,得a2+b2=4,m=13OA+23OB=13(a,0)+23(0,b)=13a,23b.|m|2=13a2+23b2=a2+4b29=4+3b29.又0b24,49|m|2169,得23|m|43.故選A.13.已知OAB是邊長(zhǎng)為1的正三角形,若點(diǎn)P滿足OP=(2-t)OA+tOB(tR),則|AP|的最小值為()A.3B.1C.32D.34答案C解析以O(shè)為原點(diǎn),以O(shè)B為x軸,建立坐標(biāo)系,OAB為邊長(zhǎng)為1的正三角形,A12,32,B(1,0),OP=(2-t)OA+tOB=1+12t,3-32t,AP=OP-OA=12t+12,32-32t,|AP|=12t+122+32-32t2=t2-t+1=t-122+3432,故選C.14.已知向量a,b,且|b|=2,ab=2,則|tb+(1-2t)a|(tR)的最小值為.答案1解析設(shè)b=(2,0),a=(x,y),由ab=2得x=1,a=(1,y).tb+(1-2t)a=1+(1-2t)y.|tb+(1-2t)a|2=1+(1-2t)2y21,當(dāng)且僅當(dāng)t=12或y=0時(shí)取“=”.故所求最小值為1.15.在直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)A,B,C是圓x2+y2=4上的動(dòng)點(diǎn),且滿足ACBC.若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,3),則|PA+PB+PC|的最大值為.答案11解析因?yàn)锳CBC,所以AB為直徑.所以PA+PB=2PO,設(shè)C(2cos,2sin),則PA+PB+PC=2PO+PC=(2cos,2sin-9),所以|PA+PB+PC|=4cos2+(2sin-9)2=85-36sin,當(dāng)sin=-1時(shí),有最大值為11.16.已知A(cos ,3sin ),B(2cos ,3sin ),C(-1,0)是平面上三個(gè)不同的點(diǎn),且滿足關(guān)系CA=BC,則實(shí)數(shù)的取值范圍是.答案-2,1且0解析CA=BC,(cos+1,3sin)=(-1-2cos,-3sin),1+cos=(-1-2cos),3sin=-3sin,1=cos2+sin2=(-1-2cos)-12+(-sin)2,化為:=4cos+23cos2+4cos+2,令2cos+1=t-1,3.則=8t3t2+2t+3=f(t),f(t)=-24(t+1)(t-1)(3t2+2t+3)2,可知:t=1時(shí),函數(shù)f(t)取得最大值,f(1)=1.又f(-1)=-2,f(3)=23,-2,1,由于t=0時(shí),=0,點(diǎn)A與C重合,舍去.-2,1,0.故答案為:-2,1,0.17.如圖,已知ABC的面積為14,D,E分別為邊AB,BC上的點(diǎn),且ADDB=BEEC=21,AE與CD交于點(diǎn)P.設(shè)存在和,使AP=AE,PD=CD,AB=a,BC=b.(1)求及;(2)用a,b表示BP;(3)求PAC的面積.解(1)由于AB=a,BC=b,則AE=a+23b,DC=13a+b.AP=AE=a+23b,DP=DC=13a+b,AP=AD+DP=23AB+DP,即23a+13a+b=a+23b.=23+13,=23,解得=67,=47.(2)BP=BA+AP=-a+67a+23b=-17a+47b.(3)設(shè)ABC,PAB,PBC的高分別為h,h1,h2,h1h=|PD|CD|=47,SPAB=47SABC=8.h2h=|PE|AE|=1-=17,SPBC=17SABC=2,SPAC=4.18.如圖,G是OAB的重心,P,Q分別是邊OA,OB上的動(dòng)點(diǎn),且P,G,Q三點(diǎn)共線.M為AB的中點(diǎn).(1)設(shè)PG=PQ,將OG用,OP,OQ表示;(2)設(shè)OP=xOA,OQ=yOB,證明:1x+1y是定值.(1)解OG=OP+PG=OP+PQ=OP+(OQ-OP)=(1-)OP+OQ.(2)證明由(1)得OG=(1-)OP+OQ=(1-)xOA+yOB;因?yàn)镚是OAB的重心,所以O(shè)G=23OM=2312(OA+OB)=13OA+13OB.又OA,OB不共線,所以由,得(1-)x=13,y=13,解得1x=3-3,1y=3.所以1x+1y=3(定值).