第31練不等式選講明晰考情1.命題角度：絕對值不等式的解法、求含絕對值的函數(shù)的最值及求含參數(shù)的絕對值不等式中的參數(shù)的取值范圍，不等式的應(yīng)用和證明是命題的熱點.2.題目難度：中檔難度.考點一絕對值不等式的解法方法技巧|xa|xb|c(c>0)和|xa|xb|c(c>0)型不等式的解法(1)利用絕對值不等式的幾何意義求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.(2)利用“零點分區(qū)間法”求解，體現(xiàn)了分類討論的思想.(3)通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想.1.(2018全國)設(shè)函數(shù)f(x)5|xa|x2|.(1)當(dāng)a1時，求不等式f(x)0的解集；(2)若f(x)1，求a的取值范圍.解(1)當(dāng)a1時，f(x)5|x1|x2|可得f(x)0的解集為x|2x3.(2)f(x)1等價于|xa|x2|4.而|xa|x2|a2|，當(dāng)且僅當(dāng)xa與2x同號時等號成立.故f(x)1等價于|a2|4.由|a2|4可得a6或a2.所以a的取值范圍是(，62，).2.(2018大慶質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)|x1|x2|.(1)求不等式f(x)5的解集；(2)當(dāng)x0,2時，不等式f(x)x2xa恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.解(1)由題意知，需解不等式|x1|x2|5.當(dāng)x<1時，上式化為2x15，解得x2；當(dāng)1x2時，上式化為35，無解；當(dāng)x>2時，上式化為2x15，解得x3.f(x)5的解集為x|x2或x3.(2)當(dāng)x0,2時，f(x)3，則當(dāng)x0,2時，x2xa3恒成立.設(shè)g(x)x2xa，則g(x)在0,2上的最大值為g(2)2a.g(2)3，即2a3，得a1.實數(shù)a的取值范圍為1，).3.已知函數(shù)f(x)|2xa|2x3|，g(x)|x1|2.(1)解不等式|g(x)|5；(2)若對任意的x1R，都有x2R，使得f(x1)g(x2)成立，求實數(shù)a的取值范圍.解(1)由|x1|2|5，得5|x1|25，所以7|x1|3，又|x1|0，可得不等式的解集為(2,4).(2)因為對任意x1R，都有x2R，使得f(x1)g(x2)成立，所以y|yf(x)y|yg(x).又f(x)|2xa|2x3|(2xa)(2x3)|a3|，g(x)|x1|22，所以|a3|2，解得a1或a5，所以實數(shù)a的取值范圍為(，51，).考點二不等式的證明要點重組(1)絕對值三角不等式|a|b|ab|a|b|.(2)算術(shù)幾何平均不等式如果a1，a2，an為n個正數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)a1a2an時，等號成立.方法技巧證明不等式的基本方法有比較法、綜合法、分析法和反證法，其中比較法和綜合法是基礎(chǔ)，綜合法證明的關(guān)鍵是找到證明的切入點.4.(2017全國)已知a>0，b>0，a3b32，證明：(1)(ab)(a5b5)4；(2)ab2.證明(1)(ab)(a5b5)a6ab5a5bb6(a3b3)22a3b3ab(a4b4)4ab(a2b2)24.(2)因為(ab)3a33a2b3ab2b323ab(ab)2(ab)2(當(dāng)且僅當(dāng)ab時，等號成立)，所以(ab)38，所以ab2.5.(2018咸陽模擬)已知函數(shù)f(x)|x|x3|(xR).(1)求f(x)的最大值m；(2)設(shè)a，b，c為正實數(shù)，且2a3b4cm，求證：3.(1)解方法一由f(x)知f(x)3,3，即m3.方法二由絕對值不等式f(x)|x|x3|xx3|3，得m3.方法三由絕對值不等式的幾何意義知f(x)|x|x3|3,3(xR)，即m3.(2)證明2a3b4c3(a，b，c>0)，3.當(dāng)且僅當(dāng)2a3b4c，即a，b，c時取等號，即3.6.已知函數(shù)f(x)，M為不等式f(x)<2的解集.(1)求M；(2)證明：當(dāng)a，bM時，|ab|<|1ab|.(1)解f(x)當(dāng)x時，由f(x)<2，得2x<2，解得x>1，所以1<x；當(dāng)<x<時，由f(x)<2，得x；當(dāng)x時，由f(x)<2，得2x<2，解得x<1，所以x<1.綜上知，f(x)<2的解集Mx|1<x<1.(2)證明由(1)知，當(dāng)a，bM時，1<a<1，1<b<1，從而(ab)2(1ab)2a2b2a2b21(a21)(1b2)<0，即(ab)2<(1ab)2，因此|ab|<|1ab|.考點三不等式的應(yīng)用方法技巧利用不等式的性質(zhì)和結(jié)論可以求函數(shù)的最值，解決一些參數(shù)范圍問題，恒成立問題，解題中要注意問題的轉(zhuǎn)化.7.(2018海南模擬)設(shè)函數(shù)f(x)|xa|2a.(1)若不等式f(x)1的解集為x|2x4，求a的值；(2)在(1)的條件下，若不等式f(x)k2k4恒成立，求k的取值范圍.解(1)因為|xa|2a1，所以|xa|12a(12a>0)，所以2a1xa12a，所以a1x13a.因為不等式f(x)1的解集為x|2x4，所以解得a1，滿足12a>0，故a1.(2)由(1)得f(x)|x1|2，不等式f(x)k2k4恒成立，只需f(x)mink2k4，所以2k2k4，即k2k20，所以k的取值范圍是1,2.8.已知函數(shù)f(x)|x2|x1|.(1)解不等式f(x)1；(2)當(dāng)x0時，函數(shù)g(x)(a0)的最小值大于函數(shù)f(x)，試求實數(shù)a的取值范圍.解(1)當(dāng)x2時，原不等式可化為x2x11，此時不成立；當(dāng)1x2時，原不等式可化為2xx11，解得1x0；當(dāng)x1時，原不等式可化為2xx11，解得x1.綜上，原不等式的解集是x|x0.(2)因為g(x)ax121，當(dāng)且僅當(dāng)x時等號成立，所以g(x)ming21.當(dāng)x0時，f(x)所以f(x)3,1).所以211，解得a1.所以實數(shù)a的取值范圍為1，).9.已知函數(shù)f(x)|2x1|xa|，g(x)3x2.(1)當(dāng)a2時，求不等式f(x)g(x)的解集；(2)設(shè)a，存在x使f(x)g(x)成立，求實數(shù)a的取值范圍.解(1)當(dāng)a2時，不等式f(x)g(x)可化為|2x1|x2|3x20，設(shè)y|2x1|x2|3x2，則y由y0，解得x，所以原不等式的解集為.(2)當(dāng)x時，f(x)2x1xa3x1a，不等式f(x)g(x)可化為a6x1.設(shè)h(x)6x1，則h(x)minh(a)6a1，由題意知ah(x)min6a1，解得a.又a，所以a的取值范圍是.典例(10分)已知函數(shù)f(x)|3x2|.(1)解不等式f(x)4|x1|；(2)已知mn1(m，n0)，若|xa|f(x)(a0)對任意的xR恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.審題路線圖(1)(2)規(guī)范解答評分標(biāo)準(zhǔn)解(1)不等式f(x)4|x1|，即|3x2|x1|4，當(dāng)x時，不等式可化為3x2x14，解得x；1分當(dāng)x1時，不等式可化為3x2x14，解得x；2分當(dāng)x1時，不等式可化為3x2x14，無解.3分綜上所述，不等式的解集為.4分(2)(mn)114，當(dāng)且僅當(dāng)mn時，等號成立.5分令g(x)|xa|f(x)|xa|3x2|當(dāng)x時，g(x)maxa.8分要使不等式|xa|f(x)對任意的xR恒成立，只需g(x)maxa4，即0a.10分構(gòu)建答題模板第一步解不等式；第二步轉(zhuǎn)化：將恒成立問題或有解問題轉(zhuǎn)化成最值問題；第三步求解：利用求得的最值求解取值范圍.1.(2018全國)已知f(x)|x1|ax1|.(1)當(dāng)a1時，求不等式f(x)1的解集；(2)若x(0,1)時不等式f(x)x成立，求a的取值范圍.解(1)當(dāng)a1時，f(x)|x1|x1|，即f(x)故不等式f(x)1的解集為.(2)當(dāng)x(0,1)時，|x1|ax1|x成立等價于當(dāng)x(0,1)時，|ax1|1成立.若a0，則當(dāng)x(0,1)時，|ax1|1；若a0，則|ax1|1的解集為，所以1，故0a2.綜上，a的取值范圍為(0,2.2.已知關(guān)于x的不等式m|x2|1的解集為0,4.(1)求m的值；(2)若a，b均為正整數(shù)，且abm，求a2b2的最小值.解(1)不等式m|x2|1可化為|x2|m1(m1>0)，1mx2m1，即3mxm1.其解集為0,4，解得m3，滿足m1>0，故m3.(2)由(1)知ab3.(ab)2a2b22ab(a2b2)(a2b2)2(a2b2)，a2b2，當(dāng)且僅當(dāng)ab時取等號，a2b2的最小值為.3.已知函數(shù)f(x)，aR.(1)若不等式f(x)2恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；(2)當(dāng)a1時，直線ym與函數(shù)f(x)的圖象圍成三角形，求m的取值范圍.解(1)因為f(x)2恒成立，即|x1|1恒成立，所以min1成立，由|x1|，得1，解得a0或a4，所以a的取值范圍為(，04，).(2)當(dāng)a1時，f(x)作出f(x)的圖象，如圖所示.由圖象可知，當(dāng)m1時，直線ym與函數(shù)f(x)的圖象圍成三角形，故所求m的取值范圍為.4.(2018全國)設(shè)函數(shù)f(x)|2x1|x1|.(1)畫出yf(x)的圖象；(2)當(dāng)x0，)時，f(x)axb恒成立，求ab的最小值.解(1)f(x)yf(x)的圖象如圖所示.(2)由(1)知，yf(x)的圖象與y軸交點的縱坐標(biāo)為2，且各部分所在直線斜率的最大值為3，故當(dāng)且僅當(dāng)a3且b2時，f(x)axb在0，)上恒成立，因此ab的最小值為5.