第15練函數(shù)的概念、圖象與性質明晰考情1.命題角度：(1)以基本初等函數(shù)為載體，考查函數(shù)的定義域、最值、奇偶性、單調性和周期性；(2)利用函數(shù)的圖象研究函數(shù)性質，能用函數(shù)的圖象性質解決簡單問題.2.題目難度：中檔難度.考點一函數(shù)及其表示要點重組(1)給出解析式的函數(shù)的定義域是使解析式有意義的自變量的集合；探求抽象函數(shù)的定義域要把握一個原則：f(g(x)中g(x)的范圍與f(x)中x的范圍相同.(2)對于分段函數(shù)的求值問題，必須依據(jù)條件準確地找出利用哪一段求解；形如f(g(x)的函數(shù)求值時，應遵循先內后外的原則.1.函數(shù)y的定義域為_.答案解析函數(shù)有意義，則即所以函數(shù)的定義域為.2.設f(x)若f(a)f(a1)，則f_.答案6解析若0a1，由f(a)f(a1)，得2(a11)，a，ff(4)2(41)6.若a1，由f(a)f(a1)，得2(a1)2(a11)，無解.綜上，f6.3.若函數(shù)yf(x)的定義域是0,2，則函數(shù)g(x)的定義域是_.答案0,1)解析由得0x1，函數(shù)g(x)的定義域為0,1).4.函數(shù)f(x)(a0且a1)的值域為_.答案(2017,2)解析f(x)2，因為ax0，所以ax11，所以02019，所以201722，故函數(shù)f(x)的值域為(2017,2).考點二函數(shù)的圖象及應用方法技巧(1)函數(shù)圖象的判斷方法，找特殊點；看性質：根據(jù)函數(shù)性質判斷圖象的位置，對稱性，變化趨勢等；看變換：看函數(shù)是由基本初等函數(shù)經過怎樣的變換得到.(2)利用圖象可確定函數(shù)性質、方程與不等式的解等問題.5.(2018揚州模擬)若函數(shù)yf(x)的圖象經過點(1,2)，則yf(x)1的圖象必經過的點的坐標是_.答案(1,3)解析根據(jù)yf(x)的圖象經過點(1,2)，可得yf(x)的圖象經過點(1,2)，函數(shù)yf(x)1的圖象經過點(1,3).6.(2018宿遷調研)如圖，已知過原點O的直線與函數(shù)ylog8x的圖象交于A，B兩點，分別過A，B作y軸的平行線與函數(shù)ylog2x的圖象交于C，D兩點，若BCx軸，則四邊形ABDC的面積為_.答案log23解析設點A，B的橫坐標分別為x1，x2.由題設知，x1>1，x2>1.則點A，B的縱坐標分別為log8x1，log8x2.因為A，B在過點O的直線上，所以，點C，D的坐標分別為(x1，log2x1)，(x2，log2x2).由BC平行于x軸知，log2x1log8x2，即log2x1log2x2，x2x.代入x2log8x1x1log8x2，得xlog8x13x1log8x1，由x1>1知log8x10，x3x1.考慮x1>1，解得x1.于是點A的坐標為(，log8)，即A，B，C，D.梯形ABDC的面積為S(ACBD)BC2log23.7.函數(shù)y的圖象與函數(shù)y2sinx(2x4)的圖象所有交點的橫坐標之和等于_.答案8解析如圖，兩個函數(shù)圖象都關于點(1,0)成中心對稱，兩個圖象在2,4上共8個交點，每兩個對應交點橫坐標之和為2.故所有交點的橫坐標之和為8.8.若關于x的不等式4ax13x4(a0，且a1)對于任意的x2恒成立，則a的取值范圍為_.答案解析不等式4ax13x4等價于ax1x1.令f(x)ax1，g(x)x1，當a1時，在同一坐標系中作出兩個函數(shù)的圖象，如圖1所示，由圖1知不滿足題意；當0a1時，在同一坐標系中作出兩個函數(shù)的圖象，如圖2所示，則f(2)g(2)，即a2121，即a，所以a的取值范圍是.考點三函數(shù)的性質與應用要點重組(1)利用函數(shù)的奇偶性和周期性可以轉化函數(shù)的解析式、圖象和性質，把不在已知區(qū)間上的問題，轉化到已知區(qū)間上求解.(2)函數(shù)單調性的應用：可以比較大小、求函數(shù)最值、解不等式、證明方程根的唯一性.(3)函數(shù)周期性的常用結論：若f(xa)f(x)或f(xa)，則2a是函數(shù)f(x)的周期.9.已知函數(shù)f(x)的定義域為R，當x<0時，f(x)x31；當1x1時，f(x)f(x)；當x時，ff，則f(6)_.答案2解析當x時，ff，即f(x)f(x1)，T1，f(6)f(1).當x<0時，f(x)x31且當1x1時，f(x)f(x)，f(6)f(1)f(1)2.10.設函數(shù)yf(x)(xR)為偶函數(shù)，且xR，滿足ff，當x2,3時，f(x)x，則當x2,0時，f(x)_.答案3|x1|解析由題意得，f(x)的周期T2，當x0,1時，x22,3，f(x)f(x2)x2.又f(x)為偶函數(shù)，當x1,0時，x0,1，f(x)x2，f(x)x2；當x2，1時，x20,1，f(x)f(x2)x4.綜上，當x2,0時，f(x)3|x1|.11.已知偶函數(shù)f，當x時，f(x)sinx.設af(1)，bf(2)，cf(3)，則a，b，c的大小關系是_.(用“<”連接)答案c<a<b解析因為函數(shù)f為偶函數(shù)，所以ff，即函數(shù)f(x)的圖象關于直線x對稱，即f(x)f(x).又因為當x時，f(x)sinx，所以函數(shù)f(x)在上單調遞增，在上單調遞減，因為2<1<3，所以f(2)>f(1)f(1)>f(3)，即b>a>c.12.已知函數(shù)yf(x)，xR，有下列四個命題：若f(12x)f(12x)，則f(x)的圖象關于直線x1對稱；yf(x2)與yf(2x)的圖象關于直線x2對稱；若f(x)為偶函數(shù)，且f(2x)f(x)，則f(x)的圖象關于直線x2對稱；若f(x)為奇函數(shù)，且f(x)f(x2)，則f(x)的圖象關于直線x1對稱.其中正確命題的序號為_.答案解析對于，1，故函數(shù)yf(x)的圖象關于直線x1對稱，故正確；對于，令tx2，則問題等價于yf(t)與yf(t)圖象的對稱問題，顯然這兩個函數(shù)的圖象關于直線t0對稱，即函數(shù)yf(x2)與yf(2x)的圖象關于直線x20，即x2對稱，故正確；對于，由f(x2)f(x)，可得f(x4)f(x2)f(x)，我們只能得到函數(shù)的周期為4，即只能推得函數(shù)yf(x)的圖象關于直線x4k(kZ)對稱，不能推得函數(shù)yf(x)的圖象關于直線x2對稱，故錯誤；對于，由于函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且f(x)f(x2)，可得f(x)f(x2)，由于1，可得函數(shù)yf(x)的圖象關于直線x1對稱，故正確.1.已知函數(shù)f(x)的定義域為(1,1)，則函數(shù)g(x)ff(x1)的定義域為_.答案(0,2)解析由題意得解得故0x2.2.已知函數(shù)f(x)為R上的減函數(shù)，則滿足ff(1)的實數(shù)x的取值范圍是_.答案(1,0)(0,1)解析由f(x)為R上的減函數(shù)且ff(1)，得即1x0或0x1.3.已知函數(shù)f(x)2x2ex(x<0)與g(x)2x2ln(xa)的圖象上存在關于y軸對稱的點，則a的取值范圍是_.答案(，)解析由題意得，函數(shù)f(x)2x2ex(x<0)與g(x)2x2ln(xa)的圖象上存在關于y軸對稱的點，則可轉化為f1(x)ex(x<0)與g1(x)ln(xa)的圖象上存在關于y軸對稱的點，則函數(shù)f1(x)ex(x<0)只需將函數(shù)yex(x<0)向下平移個單位長度，函數(shù)g1(x)ln(xa)只需將函數(shù)ylnx的圖象向左或向右平移|a|個單位長度，要使f1(x)與g1(x)的圖象上存在關于y軸對稱的點，只需使yex(x>0)與yln(xa)圖象有交點，在同一坐標系內作出它們的圖象.如圖所示，可得若a0，則兩函數(shù)圖象必存在交點，若a>0，則需lna<1，解得0<a<，所以a<.解題秘籍(1)從映射的觀點理解抽象函數(shù)的定義域，如函數(shù)yf(g(x)中，若函數(shù)yf(x)的定義域為A，則有g(x)A.(2)利用函數(shù)的性質求函數(shù)值時，要靈活應用性質對函數(shù)值進行轉換.(3)解題中要利用數(shù)形結合的思想，將函數(shù)圖象、性質有機結合.1.函數(shù)f(x)的定義域是_.答案0,1)解析要使函數(shù)有意義，需即0x1.故函數(shù)的定義域為0,1).2.若函數(shù)f(x)則f(f(2)_.答案1解析由題意知，f(2)541，f(1)e01，所以f(f(2)1.3.已知函數(shù)f(x)在(，)上單調遞減，且為奇函數(shù).若f(1)1，則滿足1f(x2)1的x的取值范圍是_.答案1,3解析f(x)為奇函數(shù)，f(x)f(x).f(1)1，f(1)f(1)1.故由1f(x2)1，得f(1)f(x2)f(1).又f(x)在(，)單調遞減，1x21，1x3.4.如果函數(shù)f(x)ax22x3在區(qū)間(，4)上是單調遞增的，則實數(shù)a的取值范圍是_.答案解析當a0時，f(x)2x3，在定義域R上是單調遞增的，故在(，4)上單調遞增；當a0時，二次函數(shù)f(x)的對稱軸為x.因為f(x)在(，4)上單調遞增，所以a0，且4，解得a0.綜上所述a的取值范圍是.5.已知定義在R上的函數(shù)f(x)2|xm|1(m為實數(shù))為偶函數(shù).記af(log0.53)，bf(log25)，cf(2m)，則a，b，c的大小關系為_.答案cab解析由f(x)2|xm|1是偶函數(shù)，得m0，則f(x)2|x|1.當x0，)時，f(x)2x1單調遞增，又af(log0.53)f(|log0.53|)f(log23)，cf(0)，且0log23log25，則f(0)f(log23)f(log25)，即cab.6.已知函數(shù)f(x)若f(4)3，則f(x)>0的解集為_.答案解析因為f(4)2a3，所以a1.所以不等式f(x)>0等價于即x>，或即1<x0，所以f(x)>0的解集為.7.設函數(shù)f(x)在區(qū)間3,4上的最大值和最小值分別為M，m，則_.答案解析易知f(x)2，所以f(x)在區(qū)間3,4上單調遞減，所以Mf(3)26，mf(4)24，所以.8.已知函數(shù)f(x2)(xR)為奇函數(shù)，且函數(shù)f(x)的圖象關于直線x1對稱，當x0,1時，f(x)，則f(2018)_.答案0解析由題意知，f(x2)f(x2)，f(x)f(x4)，又f(x)f(x2)，f(x4)f(x2)，f(x2)f(x)，f(x4)f(x)，f(x)的周期為4，故f(2018)f(20162)f(2)f(0)0.9.已知函數(shù)f(x)cos，則f_.答案1009解析由所給函數(shù)知，f(x)f(1x)coscos1coscos1，所以f1 009.10.設函數(shù)f(x)則滿足f(x)f>1的x的取值范圍是_.答案解析由題意知，可對不等式分x0,0x，x三段討論.當x0時，原不等式為x1x1，解得x，x0.當0x時，原不等式為2xx1，顯然成立.當x時，原不等式為2x1，顯然成立.綜上可知，x的取值范圍是.11.已知函數(shù)f(x)若af(a)f(a)>0，則實數(shù)a的取值范圍為_.答案(，2)(2，)解析當a>0時，a2a3(a)>0a22a>0a>2；當a0時，3a(a)2(a)<0a22a>0a<2.綜上，實數(shù)a的取值范圍為(，2)(2，).12.能夠把圓O：x2y216的周長和面積同時分為相等的兩部分的函數(shù)稱為圓O的“和諧函數(shù)”，下列函數(shù)是圓O的“和諧函數(shù)”的是_.(填序號)f(x)exex；f(x)ln；f(x)tan；f(x)4x3x.答案解析由“和諧函數(shù)”的定義知，若函數(shù)為“和諧函數(shù)”，則該函數(shù)為過原點的奇函數(shù)，中，f(0)e0e02，所以f(x)exex的圖象不過原點，故f(x)exex不是“和諧函數(shù)”；中，f(0)lnln10，f(x)的定義域為(5,5)，且f(x)lnlnf(x)，所以f(x)為奇函數(shù)，所以f(x)ln為“和諧函數(shù)”；中，f(0)tan00，f(x)的定義域為x|x2k，kZ，且f(x)tantanf(x)，f(x)為奇函數(shù)，故f(x)tan為“和諧函數(shù)”；中，f(0)0，且f(x)的定義域為R，f(x)為奇函數(shù)，故f(x)4x3x為“和諧函數(shù)”，所以中的函數(shù)都是“和諧函數(shù)”.