2 3一元二次方程 掌握數(shù)字系數(shù)的一元二次方程的解法 公式法 配方法 因式分解法 會(huì)列一元二次方程解簡(jiǎn)單的應(yīng)用題 考點(diǎn)掃描 考點(diǎn)1 考點(diǎn)2 考點(diǎn)3 一元二次方程的解法 8年3考 1 配方法配方法解一元二次方程就是通過(guò)配方把一元二次方程變形為 x k 2 a a 0 的形式 再用開平方法解答 用配方法解一元二次方程的一般步驟是 移項(xiàng) 化二次項(xiàng)系數(shù)為1 配方 化成 x k 2 a的形式 開平方求解 2 公式法公式法解一元二次方程就是用一元二次方程的求根公式求有實(shí)數(shù)根的一元二次方程 一元二次方程ax2 bx c 0 a 0且b2 4ac 0 的求根公式是 它是通過(guò)用配方法求解一般形式的一元二次方程推導(dǎo)出來(lái)的 用公式法解一元二次方程的一般步驟是 化一元二次方程為一般形式 確定各項(xiàng)系數(shù) 求出b2 4ac的值 代入求根公式 求出兩根 考點(diǎn)掃描 考點(diǎn)1 考點(diǎn)2 考點(diǎn)3 3 因式分解法用因式分解求一元二次方程的解的方法叫做因式分解法 用因式分解法解一元二次方程的一般步驟是 將方程的一邊化為0 將方程另一邊因式分解 令含有未知數(shù)的每個(gè)一次因式等于0 解這兩個(gè)一元一次方程 考點(diǎn)掃描 考點(diǎn)1 考點(diǎn)2 考點(diǎn)3 特別提醒 1 若方程符合a x n 2 m am 0 a 0 的形式 用直接開平方法解方程比較簡(jiǎn)單 2 對(duì)于一元二次方程的一般形式ax2 bx c 0 a 0 而言 當(dāng)b 0時(shí) 用直接開平方法求解較好 一般方程ax2 bx c 0 a 0 當(dāng)c 0時(shí) 用因式分解法比較簡(jiǎn)單 一般方程ax2 bx c 0 a 0 當(dāng)a b c不缺項(xiàng)且不易分解因式時(shí) 一般采用公式法 配方法也是一種重要的解題方法 當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為1 二次項(xiàng)系數(shù)為偶數(shù)時(shí) 應(yīng)用該法比較簡(jiǎn)單 一般來(lái)說(shuō) 在一元二次方程四種解法中 優(yōu)先選取順序依次為直接開平方法 因式分解法 公式法 配方法 考點(diǎn)掃描 考點(diǎn)1 考點(diǎn)2 考點(diǎn)3 典例1 1 根據(jù)要求 解答下列問(wèn)題 方程x2 2x 1 0的解為 方程x2 3x 2 0的解為 方程x2 4x 3 0的解為 2 根據(jù)以上方程特征及其解的特征 請(qǐng)猜想 方程x2 9x 8 0的解為 關(guān)于x的方程的解為x1 1 x2 n 3 請(qǐng)用配方法解方程x2 9x 8 0 以驗(yàn)證猜想結(jié)論的正確性 考點(diǎn)掃描 考點(diǎn)1 考點(diǎn)2 考點(diǎn)3 解析 1 x 1 2 0 解得x1 x2 1 即方程x2 2x 1 0的解為x1 x2 1 x 1 x 2 0 解得x1 1 x2 2 即方程x2 3x 2 0的解為x1 1 x2 2 x 1 x 3 0 解得x1 1 x2 3 即方程x2 4x 3 0的解為x1 1 x2 3 2 根據(jù)以上方程特征及其解的特征 可猜想方程x2 9x 8 0的解為x1 1 x2 8 關(guān)于x的方程x2 1 n x n 0的解為x1 1 x2 n 3 根據(jù)配方法解一元二次方程的步驟進(jìn)行求解即可 考點(diǎn)掃描 考點(diǎn)1 考點(diǎn)2 考點(diǎn)3 答案 1 x1 x2 1 x1 1 x2 2 x1 1 x2 3 2 x1 1 x2 8 x2 1 n x n 0 3 x2 9x 8 所以x1 1 x2 8 所以猜想正確 考點(diǎn)掃描 考點(diǎn)1 考點(diǎn)2 考點(diǎn)3 提分訓(xùn)練1 由多項(xiàng)式乘法 x a x b x2 a b x ab 將該式從右到左使用 即可得到 十字相乘法 進(jìn)行因式分解的公式 x2 a b x ab x a x b 示例 分解因式 x2 5x 6 x2 2 3 x 2 3 x 2 x 3 1 嘗試 分解因式 x2 6x 8 x x 2 應(yīng)用 請(qǐng)用上述方法解方程 x2 3x 4 0 答案 1 2 4 2 x2 3x 4 0 x 1 x 4 0 則x 1 0或x 4 0 解得x 1或4 考點(diǎn)1 考點(diǎn)2 考點(diǎn)3 考點(diǎn)掃描 一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系 8年1考 1 根的判別式的定義 關(guān)于x的一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 的根的判別式為b2 4ac 2 判別式與根的關(guān)系 1 b2 4ac 0 一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 2 b2 4ac 0 一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 3 b2 4ac 0 一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根 3 根與系數(shù)的關(guān)系 如果一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 的兩根分別是x1 x2 則 考點(diǎn)1 考點(diǎn)2 考點(diǎn)3 考點(diǎn)掃描 易錯(cuò)警示1 使用一元二次方程的根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系時(shí) 必須將一元二次方程轉(zhuǎn)化為一般式ax2 bx c 0 以便確定a b c的值 2 正確理解 方程有實(shí)根 的含義 若有一個(gè)實(shí)數(shù)根 則原方程為一元一次方程 若有兩個(gè)實(shí)數(shù)根 則原方程為一元二次方程 在解題時(shí) 要特別注意 方程有實(shí)數(shù)根 有兩個(gè)實(shí)數(shù)根 等關(guān)鍵文字 挖掘出它們的隱含條件 以免陷入關(guān)鍵字的 陷阱 考點(diǎn)1 考點(diǎn)2 考點(diǎn)3 考點(diǎn)掃描 典例2 2018 江蘇泰州 已知x1 x2是關(guān)于x的方程x2 ax 2 0的兩根 下列結(jié)論一定正確的是 A x1 x2B x1 x2 0C x1 x2 0D x10 x1 x2 結(jié)論A正確 x1 x2是關(guān)于x的方程x2 ax 2 0的兩根 x1 x2 a a的值不確定 B結(jié)論不一定正確 x1 x2是關(guān)于x的方程x2 ax 2 0的兩根 x1 x2 2 結(jié)論C錯(cuò)誤 x1 x2 2 x1 x2異號(hào) 結(jié)論D錯(cuò)誤 答案 A 考點(diǎn)1 考點(diǎn)2 考點(diǎn)3 考點(diǎn)掃描 4 考點(diǎn)1 考點(diǎn)2 考點(diǎn)3 考點(diǎn)掃描 初高中銜接用換元法解一元高次方程在數(shù)學(xué)中常常會(huì)出現(xiàn)一些高次方程求解問(wèn)題 解這類問(wèn)題的核心思想是降次 而換元法是最主要的方法 所謂換元法 是指把方程中某些代數(shù)式用新的變量代替 使方程的次數(shù)降低 從而化難為易 使問(wèn)題得以解決 考點(diǎn)1 考點(diǎn)2 考點(diǎn)3 考點(diǎn)掃描 提分訓(xùn)練3 為解方程x4 5x2 4 0 我們可以將x2視為一個(gè)整體 然后設(shè)x2 y 則x4 y2 原方程化為y2 5y 4 0 解得y1 1 y2 4 當(dāng)y 1時(shí) x2 1 x 1 當(dāng)y 4時(shí) x2 4 x 2 原方程的解為x1 1 x2 1 x3 2 x4 2 解答問(wèn)題 1 填空 在由原方程得到方程 的過(guò)程中 利用法達(dá)到了降次的目的 體現(xiàn)了的數(shù)學(xué)思想 2 解方程 x2 2x 2 x2 2x 6 0 考點(diǎn)1 考點(diǎn)2 考點(diǎn)3 考點(diǎn)掃描 答案 1 換元 轉(zhuǎn)化 2 設(shè)x2 2x t 原方程化為t2 t 6 0 解得t1 3 t2 2 當(dāng)t 3時(shí) x2 2x 3 即x2 2x 3 0 此方程無(wú)實(shí)數(shù)解 考點(diǎn)1 考點(diǎn)2 考點(diǎn)3 考點(diǎn)掃描 一元二次方程的應(yīng)用 8年4考 列一元二次方程解應(yīng)用題中 經(jīng)濟(jì)類和面積類問(wèn)題是?？碱愋?解決這些問(wèn)題應(yīng)掌握以下內(nèi)容 1 增長(zhǎng)率問(wèn)題設(shè)a是基礎(chǔ)量 x為平均增長(zhǎng)率 連續(xù)增長(zhǎng)2次 b為增長(zhǎng)后的量 則a 1 x 2 b 當(dāng)x為平均下降率 連續(xù)下降2次 b為下降后的量 則a 1 x 2 b 2 面積問(wèn)題 1 如圖1 設(shè)空白部分的寬為x 則S陰影 a 2x b 2x 考點(diǎn)1 考點(diǎn)2 考點(diǎn)3 考點(diǎn)掃描 2 如圖2 圖3 圖4 設(shè)陰影道路的寬為x 則S空白 a x b x 3 如圖5 欄桿總長(zhǎng)為a BC的長(zhǎng)為b 則S陰影 考點(diǎn)1 考點(diǎn)2 考點(diǎn)3 考點(diǎn)掃描 3 行程問(wèn)題時(shí)間 速度 路程 4 握手 單循環(huán)賽與送禮物問(wèn)題握手 單循環(huán)賽總次數(shù)為 n為人數(shù) 送禮物總份數(shù)為n n 1 n為人數(shù) 考點(diǎn)1 考點(diǎn)2 考點(diǎn)3 考點(diǎn)掃描 典例3 2018 江蘇鹽城 一商店銷售某種商品 平均每天可售出20件 每件盈利40元 為了擴(kuò)大銷售 增加盈利 該店采取了降價(jià)措施 在每件盈利不少于25元的前提下 經(jīng)過(guò)一段時(shí)間銷售 發(fā)現(xiàn)銷售單價(jià)每降低1元 平均每天可多售出2件 1 若降價(jià)3元 則平均每天銷售數(shù)量為件 2 當(dāng)每件商品降價(jià)多少元時(shí) 該商店每天銷售利潤(rùn)為1200元 解析 1 根據(jù)銷售單價(jià)每降低1元 平均每天可多售出2件 可得若降價(jià)3元 則平均每天可多售出2 3 6件 即平均每天銷售數(shù)量為20 6 26件 2 利用商品平均每天售出的件數(shù) 每件盈利 每天銷售這種商品利潤(rùn)列出方程解答即可 考點(diǎn)1 考點(diǎn)2 考點(diǎn)3 考點(diǎn)掃描 答案 1 26 2 設(shè)每件商品應(yīng)降價(jià)x元時(shí) 該商店每天銷售利潤(rùn)為1200元 根據(jù)題意得 40 x 20 2x 1200 整理得x2 30 x 200 0 解得x1 10 x2 20 要求每件盈利不少于25元 x2 20應(yīng)舍去 x 10 答 每件商品應(yīng)降價(jià)10元時(shí) 該商店每天銷售利潤(rùn)為1200元 考點(diǎn)1 考點(diǎn)2 考點(diǎn)3 考點(diǎn)掃描 提分訓(xùn)練4 2018 貴州遵義 在水果銷售旺季 某水果店購(gòu)進(jìn)一優(yōu)質(zhì)水果 進(jìn)價(jià)為20元 千克 售價(jià)不低于20元 千克 且不超過(guò)32元 千克 根據(jù)銷售情況 發(fā)現(xiàn)該水果一天的銷售量y 千克 與該天的售價(jià)x 元 千克 滿足如下表所示的一次函數(shù)關(guān)系 1 某天這種水果的售價(jià)為23 5元 千克 求當(dāng)天該水果的銷售量 2 如果某天銷售這種水果獲利150元 那么該天水果的售價(jià)為多少元 考點(diǎn)1 考點(diǎn)2 考點(diǎn)3 考點(diǎn)掃描 答案 1 設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y kx b 將 22 6 34 8 24 32 代入y kx b y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y 2x 80 當(dāng)x 23 5時(shí) y 2x 80 33 答 當(dāng)天該水果的銷售量為33千克 2 根據(jù)題意得 x 20 2x 80 150 解得x1 35 x2 25 20 x 32 x 25 答 如果某天銷售這種水果獲利150元 那么該天水果的售價(jià)為25元 命題點(diǎn)1解一元二次方程 常考 1 2016 安徽第16題 解方程 x2 2x 4 解 兩邊都加上1 得x2 2x 1 5 即 x 1 2 5 2 解方程 x2 2x 2x 1 解 原方程x2 2x 2x 1化為x2 4x 1 配方 得x2 4x 4 1 4 整理 得 x 2 2 5 命題點(diǎn)2一元二次方程根的判別式與系數(shù)關(guān)系 新增 3 2018 安徽第7題 若關(guān)于x的一元二次方程x x 1 ax 0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 則實(shí)數(shù)a的值為 A 1B 1C 2或2D 3或1 解析 原方程整理為x2 a 1 x 0 a 1 2 4 1 0 a 1 2 由一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根得 0 即 a 1 2 0 解得a 1 A 命題點(diǎn)3一元二次方程的應(yīng)用 ?？?4 2017 安徽第8題 一種藥品原價(jià)每盒25元 經(jīng)過(guò)兩次降價(jià)后每盒16元 設(shè)兩次降價(jià)的百分率都為x 則x滿足 A 16 1 2x 25B 25 1 2x 16C 16 1 x 2 25D 25 1 x 2 16 解析 原價(jià)為25元 每次降價(jià)的百分率為x 兩次降價(jià)后的價(jià)格為16元 所以x滿足25 1 x 2 16 D 5 我省2013年的快遞業(yè)務(wù)量為1 4億件 受益于電子商務(wù)發(fā)展和法治環(huán)境改善等多重因素 快遞業(yè)務(wù)迅猛發(fā)展 2014年增速位居全國(guó)第一 若2015年的快遞業(yè)務(wù)量達(dá)到4 5億件 設(shè)2014年與2015年這兩年的年平均增長(zhǎng)率為x 則下列方程正確的是 A 1 4 1 x 4 5B 1 4 1 2x 4 5C 1 4 1 x 2 4 5D 1 4 1 x 1 4 1 x 2 4 5 解析 設(shè)2014年與2015年這兩年的年平均增長(zhǎng)率為x 則2014年的業(yè)務(wù)量為1 4 1 x 億件 2015年的業(yè)務(wù)量為1 4 1 x 2億件 又因?yàn)?015年的快遞業(yè)務(wù)量達(dá)到4 5億件 所以可列方程為1 4 1 x 2 4 5 C