高考沖刺轉(zhuǎn)化與化歸的思想編稿：孫永釗審稿：張林娟【高考展望】解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，常遇到一些問題直接求解較為困難，通過觀察、分析、類比、聯(lián)想等思維過程， 選擇運(yùn)用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法進(jìn)行變換，將原問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)新問題(相對來說，對自己較熟悉的問題)，通 過新問題的求解，達(dá)到解決原問題的目的，這一思想方法我們稱之為“轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法”轉(zhuǎn)化與化歸思想在高考中占有相當(dāng)重要的地位，可以說比比皆是，如未知向已知的轉(zhuǎn)化、新知識向舊 知識的轉(zhuǎn)化、復(fù)雜問題向簡單問題的轉(zhuǎn)化、不同數(shù)學(xué)問題之間的互相轉(zhuǎn)化、實(shí)際I'可題向數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化等等. 各種變換、具體解題方法都是轉(zhuǎn)化的手段，轉(zhuǎn)化的思想方法滲透到所有的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容和解題過程中.高考對本講的考查為：(1) 常量與變量的轉(zhuǎn)化：如分離變量，求范圍等。(2) 數(shù)與形的互相轉(zhuǎn)化：若解析幾何中斜率、函數(shù)中的單調(diào)性等。(3) 數(shù)學(xué)各分支的轉(zhuǎn)化：函數(shù)與立體兒何、向量與解析兒何等的轉(zhuǎn)化。(4) 出現(xiàn)更多的實(shí)際問題向數(shù)學(xué)模型的轉(zhuǎn)化問題?！局R升華】轉(zhuǎn)化與化歸思想方法，就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題時(shí)采用某種手段將問題通過變換使之轉(zhuǎn)化，進(jìn) 而得到解決的一種方法.一般總是將復(fù)雜的問題通過變換轉(zhuǎn)化為簡單的問題，將難解的問題通過變換轉(zhuǎn)化 為容易求解的問題，將未解決的問題變換轉(zhuǎn)化為己解決的問題.解題的過程就是“化歸”的過程，不斷地 改變待解決的問題，重新敘述它，變換它，直到最后成功地找到某些有用的東西為止.1. 轉(zhuǎn)化與化歸應(yīng)遵循的原則(1) 熟悉化原則：將陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，以利于我們運(yùn)用熟知的知識、經(jīng)驗(yàn)和方法來解決.(2) 簡單化原則：將復(fù)雜問題化歸為簡單問題，通過對簡單問題的解決，達(dá)到解決復(fù)雜問題的目的， 或獲得某種解題的啟示和依據(jù).(3) 和諧化原則：化歸問題的條件或結(jié)論，使其表現(xiàn)形式更符合數(shù)與形內(nèi)部所呈現(xiàn)的和諧統(tǒng)一的形式, 或者轉(zhuǎn)化命題，使其有利于運(yùn)用某種數(shù)學(xué)方法或符合人們的思維規(guī)律.(4) 直觀化原則：將比較抽象的問題轉(zhuǎn)化為比較直觀的問題來解決.(5) 正難則反原則：當(dāng)問題正面討論遇到困難時(shí)，可考慮問題的反面，設(shè)法從問題的反面去探求，使 問題獲解.2. 轉(zhuǎn)化與化歸的基本類型(1) 正與反、一般與特殊的轉(zhuǎn)化，即正難則反，特殊化原則.(2) 常量與變量的變化，即在處理多元問題時(shí)，選取其中的變量(或參數(shù))當(dāng)“主元”，其他的變量 看作常量.由二次函數(shù)r(x)在-1, 1的圖形易知:f(i)w o且 f (-DWO,3解得：P<-或P3.23.滿足已知條件的P的取值范圍為(-己,3).2【變式 3】己知三條拋物線：y = x2 +4ax-4a + 3f y = x2 +(a-)x + a2, y =中至少有一條與x軸相交，求實(shí)a的取值范圍.【答案】a<-a>-.2類型五、換元轉(zhuǎn)化問題【例8】已知aER,求函數(shù)y = (a-sinx)(a-cosx)的最小值.【思路點(diǎn)撥】y = (a- sin x)(q - cos x) = a2 - tz(sin x + cos x) + sin jvcos x ,而 sin x + cosx 與sinxcos工有聯(lián)系，可設(shè)1 = sinx + cosx，則原來的問題可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題.【解析】設(shè)z = sinx + cosx,貝it = /2sin(x + ), t g ->/2,/2,41 , 1 ,而 sin xcos x = (sin x + cos x) 一 1=(廣一 1),2 2于是 y =fit)=6?。心+cosx)+s i iircosx=«2 (/21)= r22221 八 1,12 22原問題轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)M=-Ua)2+-a2-在公皿上的最值問題.222(1) 當(dāng)一 4iw(iW& t=u 時(shí)，e101OminCl 一；22(2) 當(dāng)時(shí)，f(t)在JL上單調(diào)遞減，f(t)min = f(>/2 )=a2 >/2 a+ ；2(3) 當(dāng)a<-V2時(shí)，f(x)在一丁, J5上單調(diào)遞增，f(t)min = f( >1 ) = a2+>/2 a+ 2【總結(jié)升華】代數(shù)問題三角化，往往可充分利用三角函數(shù)的特有性質(zhì)，使較為復(fù)雜的問題得以簡化, 從而獲得解答.一般地，當(dāng)條件能轉(zhuǎn)化成如下形式時(shí)，就可以考慮三角代換：若 a2+b2= 1,可設(shè) a=cosa, b=sina；(2) 若 a2+b2<l > 可設(shè) a=rcosa, b=rsina(O<r<l)：(3) 對于 Jl x2 , V |x|<l» 由|cos6|<l 或|sin陽 1 知，可設(shè) x=cosO x=sin9.舉一反三：X1【變式】函數(shù)f(x)=-41og2-.|og24xlog24x在區(qū)間-,4上的最大值等于()88A. -24B. 16C. 25D. 24【答案】故選C.【解析】設(shè)logu=f,則低一3,2,故函數(shù)7U)可轉(zhuǎn)化為y=g(r)= 4(，一3)“+2)=4F+4f+24= 4(/ )2+25»2因?yàn)?G-3,2J,所以當(dāng)/=；時(shí)，函數(shù)g。)取得最大值為25.故選C.【例9】求函數(shù)/*(*) = 2-4。sin工一cos2工的最大值.【思路點(diǎn)撥】令t=sin x,將函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于I的二次函數(shù)，再求二次函數(shù)在區(qū)間一1, 1上的最大值.【解析】/(x) = 2-4wsinx-(l-2sin2x)= 2sin' x4osinx + l=2(sinx-«)2 +1-2q2.設(shè) sin x=t,則一IWtWl,令 y = g(" = 2(/- a)2 +1 - 2a2.如圖所示，當(dāng)a<0時(shí)，有= g(l)= 3-4".同理，當(dāng) aNO 時(shí)，有)，max =g(-l) = 3 + 4".所以，當(dāng)aVO時(shí)函數(shù)(3)的最大值為3-4a.當(dāng)aO時(shí)函數(shù)/(x)的最大值為3+4a.【總結(jié)升華】通過換元將三角問題轉(zhuǎn)化為較熟悉的一元二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，特別注意： 換元后所得t的函數(shù)的定義域?yàn)橐?, 1；應(yīng)該討論二次函數(shù)對應(yīng)的拋物線的對稱軸相對于區(qū)間一1, I的位置，才能確定其最值.舉一反三：【變式1】已知x2+y2=h則z=x-2y的取值范圍是.【解析】令 x=cos 0 , y=sin 0 ,則 z = cos。一2sinO = Vcos(6 + °), Zmax =逐，Zmin =-/. 5 < z < 5/5【變式2】已知aER,求函數(shù)y= (asin x) (acos x)的最小值.【解析】設(shè) t=sin x+cos x,貝iJr = V2sin(x+-),故rG-V2,V2.4.121 2而 sin x - cos x =(sin x+cos x) 一 1 = (廣- I),22于是，y = /(0 = a2 -(sin x + cosx) + sin xcosx=a2 -at + -r -) = -r-cither-2221,2 1 2 1= -(t-a) +-a .222原問題化歸為求二次函數(shù)f(t) = -(t-a)2+-a2-在公J3上的最值問題.222 當(dāng)-41 < « < V2 ut, Et=a, /XDmin!： 當(dāng) a>yf2 時(shí)，f(。在-72,72上單調(diào)遞減，f(t)m.n=f(42) = a2-42a + 當(dāng)a<-42 時(shí)，f(。在J公扳上單調(diào)遞增，f(t)min=f(-y/2) = a2+>/2a + .【變式 3】已知/(x) = lg(x + l), g(x) = 21g(2x+r) , twR.(1) 當(dāng)t=1時(shí)，解不等式f(x) <g(x) i(2) 如果xG0, 1時(shí)，/(x)< (x)恒成立，求參數(shù)t的取值范圍.【答案】(1) xx>-(2) tmi4類型六、命題的轉(zhuǎn)化【例10】關(guān)于x的方程x3-3x2-a=0只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，求a的取值范圍.【思路點(diǎn)撥】本題是一個(gè)高次方程的問題，無法用判別式去判定根的個(gè)數(shù)，故可以轉(zhuǎn)化命題，轉(zhuǎn)化為 曲線y=x33x2與直線y=a有一個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解析】由 X13x2a=0 得 a=x33x',令 fM = x3 - 3x2， f 3 = 3x2 - 6x = 3x(x - 2),令 f '(-<,) = 0 ,得 x=0 或 x=2.當(dāng)(一8, o)時(shí)，yu)>o；當(dāng)(0, 2)時(shí)，尸vO；當(dāng) xG (2, +8)時(shí)，廣(x)>0.所以/(x)在(一8, 0)和(2, +8)上是增函數(shù)，在(0, 2)上為減函數(shù).又/(0) = 0, /= -4.結(jié)合圖象，直線y=a與曲線y=xa-3x2有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，則a<-4或a>0.所以關(guān)于x的方程x3-3x2-a=0只有一個(gè)實(shí)數(shù)根時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍為a<-4或a>0.【總結(jié)升華】在解題的過程中，直接考慮思維受阻時(shí)，要學(xué)會(huì)變換解決問題的角度，轉(zhuǎn)化命題的形式, 使問題變得直觀、簡潔，進(jìn)而使問題得以解決，有些問題可以考慮其反面，通過解決反面使問題得以解決, 有些空間中的問題轉(zhuǎn)化為平面問題則變得簡潔.這就是轉(zhuǎn)化與化歸思想的真諦.舉一反三:【變式】設(shè)0< 0 <2 n ,且方程2sin(6> + -) = /n有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍及這兩個(gè) 3實(shí)根的和.JTT【解析】將原方程2sin(Q + ：) = m轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)y = 2sin(x+y)的圖象與直線y = m有兩個(gè)不同 的交點(diǎn)時(shí)，求a的范圍及a+B的值.jr如圖，在同一坐標(biāo)系中，作出y = 2sin(x+y)及y=m的圖象，由圖可知：當(dāng)一2<也<占或后 m<2時(shí)，直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn),即原方程2 sin(6> + -) = m有兩個(gè)不同實(shí)根.3若y/3<m<2,設(shè)原方程的一個(gè)根為西=生+。,67T則另一個(gè)根為X)=a.-6勿.x, + x2 =.若-2<7<占，設(shè)原方程的一個(gè)根為西=巫67 717 7T則另一個(gè)根為易=史一。，.為+七=工.63且由對稱性可知，這兩個(gè)實(shí)根的和為生或一上.3 3類型七、空間線面關(guān)系的轉(zhuǎn)化 【例11】如圖，在四面體ABCD中，CB=CD, ADLBD,點(diǎn)、E、F分別是AB、8。的中點(diǎn).求證: 直線EF平面ACO；平面EFC1.平面BCD.【思路點(diǎn)撥】證明線面平行，常用方法是轉(zhuǎn)化為證線線平行或面面平行：證明面面垂直，常常轉(zhuǎn)化為線面垂直【解析】在位)中，因?yàn)樾?、尸分別是AB、的中點(diǎn)，所以EF/AD.又AOU平面ACD, E冏平面 ACD.所以直線以平面ACD.(2) 在左中，因?yàn)?AD'BD, EF/AD,所以 EFVBD.在8CD中，因?yàn)镃D=CB, F為BD的中點(diǎn)，所以CF±BD.因?yàn)?#163;?FU平面EFC, CFU平面EFC, EF與CF交于點(diǎn)、F,所以平面EFC.又因?yàn)锽DU平面BCD,所以平面EFCL平面BCD.【總結(jié)升華】在立體幾何證明中，兩類轉(zhuǎn)化關(guān)系相當(dāng)重要：線線平行-線面平行一面面平行線線垂直-線面垂直一面面垂直舉一反三：【變式】如圖，在矩形ABCD中，AB=3j, BC=3,沿對角線BD把ABCD折起使C點(diǎn)移到G點(diǎn)，旦G在平 面ABD內(nèi)的射影0恰好落在AB上。(1) 求證：AGIBCi；(2)求AB與平面BGD所成的正弦值;(3)求二面角C.BDA的正切值?！窘馕觥?1)由題意,CiO±面ABD。又 GOu 面 ABC）,.面 ABG_L 面 ABDo又 VADXAB,面 ABGC面 ABD=AB,.ADJL面ABG,.AD_LBG,又 BC.IC.D, ADACiD=D,ABCi± 面 AGD,BCi _L ACi o（還可由三垂線定理證AD±BC.）（2）VBGlfflAC.D, BGu面BGD,.面 ACiDl面 BGD,作AH1C.D,于H,則人日_1面時(shí)【）。連結(jié)BH,則BH為AB在面BCJ）上的射影,A ZABH即為AB與面BCiD所成的角。又在 RtAACiD 中,GD=3V3 , AD=3,.ACf3V2 , AAH=V6 ,AsinZABH=T即AB與面附）所成角的正弦值為丁(3) 過 0 作 OG±BD 于 G,連結(jié) GG,則 GG_LBD。KOZCiGO為二面角CiBDA的平面角。在RtAAC.B中，GO二竺陽二灰AB在 MBGD 中，C,G= CD| -BD0G= Jcq2 cO = g,AtanZC = 22 .OG即二面角GBDA的正切值為2次?！军c(diǎn)評】（1）本題證線線垂直過程中用到了線線垂直、線面垂直、面面垂直相互轉(zhuǎn)化的思想線線垂直線面垂直（2）通過作線面角與二面角的平面角，將空間角的問題轉(zhuǎn)化為平面角處理。（3）數(shù)與形的轉(zhuǎn)化，即利用對數(shù)量關(guān)系的討論來研究圖形性質(zhì)，也可利用圖形直觀提供思路，直觀 地反映函數(shù)或方程中的變量之間的關(guān)系.（4）數(shù)學(xué)各分支之間的轉(zhuǎn)化，如利用向量方法解立體幾何問題，用解析幾何方法處理平面幾何、代 數(shù)、三角問題等.（5）相等與不等之間的轉(zhuǎn)化，如利用均值不等式、判別式等.（6）實(shí)際問題與數(shù)學(xué)模型的轉(zhuǎn)化.3. 常見的轉(zhuǎn)化方法（1）直接轉(zhuǎn)化法：把原問題直接轉(zhuǎn)化為基本定理、基本公式或基本圖形問題.（2）換元法：運(yùn)用“換元”把超越式轉(zhuǎn)化為有理式或使整式降'帛等，把較復(fù)雜的函數(shù)、方程、不等 式問題轉(zhuǎn)化為易于解決的基本問題.（3）數(shù)形結(jié)合法：研究原問題中數(shù)量關(guān)系（解析式）與空間形式（圖形）關(guān)系，通過互相變換、獲 得轉(zhuǎn)化途徑.（4）參數(shù)法：引進(jìn)參數(shù)，使原問題的變換具有靈活性，易于轉(zhuǎn)化.（5）構(gòu)造法：“構(gòu)造” 一個(gè)合適的數(shù)學(xué)模型，把問題變?yōu)橐子诮鉀Q的問題.（6）坐標(biāo)法：以坐標(biāo)系為工具，用計(jì)算方法解決幾何問題.（7）類比法：運(yùn)用類比推理，猜測問題的結(jié)論.（8）特殊化方法：把原問題的形式向特殊化形式轉(zhuǎn)化，并證明特殊化后的結(jié)論適合原問題.（9）一般化方法：當(dāng)原問題是某個(gè)一般化形式問題的特殊形式且又較難解決時(shí)，可將問題通過一般 化的途徑進(jìn)行轉(zhuǎn)化.（10）等價(jià)問題法：把原問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)易于解決的等價(jià)命題，達(dá)到轉(zhuǎn)化目的.（11）加強(qiáng)命題法：在證明不等式時(shí)，原命題難以得證，往往把命題的結(jié)論加強(qiáng)，即把命題的結(jié)論加 強(qiáng)為原命題的充分條件，反而能將原命題轉(zhuǎn)化為一個(gè)較易證明的命題，加強(qiáng)命題法是非等價(jià)轉(zhuǎn)化方法.（12）補(bǔ)集法：如果正面解決原問題有困難，可把原問題結(jié)果看作集合A,而把包含該問題的整體問 題的結(jié)果類比為全集U,通過解決全集U及補(bǔ)集A獲得原問題的解決.以上所列的些方法是互相交叉的，不能截然分割.4. 利用轉(zhuǎn)化與化歸的思想解決問題的模式可圖示如下：【典型例題】類型一、函數(shù)、方程與不等式之間的轉(zhuǎn)化與化歸【例1高清轉(zhuǎn)化與化歸的思想例題1ID:404094設(shè)函數(shù) y(.r)= X3(1 + u)x2+4ar+ 24a,其中常數(shù) a>31.(1) 討論7U)的單調(diào)性；(2) 若當(dāng)時(shí)，yu)>o恒成立， 【思路點(diǎn)撥】求f(x)=0的根，立轉(zhuǎn)化為f(x)的最小值大于0.【解析】(l)f(x)=x22(l+a)x+4a求“的取值范圍.比較兩根的大小、確定區(qū)間，討論f(x)的單調(diào)性；(2)將f(x)>。恒成=(x2)(x 2a).由已知a>l, .2a>2,.令 f(x)>0,解得 x>2a 或 xV2,.當(dāng) xE(-oo, 2)和 xE(2a, +oo)時(shí)，f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)xE(2,2a)時(shí)，f(x)單調(diào)遞減.綜上，當(dāng)a>l時(shí)，f(x)在區(qū)間(-00, 2)和(2a, +勿)上是增函數(shù)，在區(qū)間(2,2a)上是減函數(shù).(2)由知，當(dāng)時(shí)，Re)在x=2a或1=0處取得最小值.f(2a)= ； (2。)3(1 +。)(2。)2+4白 2。+24。44+4/+24。= a(a6)(«+3),33人0)=24“.由題設(shè)知。> 1,/(2。) >0,即 ,/(0) > 0,a > 1,4+ 3)(。- 6) > 0,24。> 0,解得<a<6.故。的取值范圍是(1,6).【總結(jié)升華】函數(shù)、方程與不等式就像“一胞三兄弟”，解決方程、不等式的問題需要函數(shù)幫助，解決函數(shù)的問題需要方程、不等式的幫助，因此借助于函數(shù)、方程、不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化與化歸可以將問題化繁為簡，一般可將不等關(guān)系轉(zhuǎn)化為最值（值域）問題，從而求出參變量的范圍.舉一反三： 【變式】函數(shù)f（x） = 71-2log6x的定義域?yàn)?.【答案】（0, x/6【解析】根據(jù)二次根式和對數(shù)函數(shù)有意義的條件，得：x>0I - 21og6x>0=>x>0x >01 nx<6=V60< x< x/6 o【例2】已知數(shù)列%滿足 =33,% =2,則務(wù)的最小值為.n21【答案】2【思路點(diǎn)撥】利用遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性求解。解析an=（an-an-1）+（0卜i-«n-2）+ +（。2-。）+ai=2l +2+（，?-1 ）+33=33+/?-所以向=癸+ _1n n設(shè)/（H）= + /2-1,令f（）= W + i>0,則六）在（妊,+8）上是單調(diào)遞增，在（0,733）±nn是遞減的，因?yàn)閚CN.,所以當(dāng)n=5或6時(shí)/（）有最小值。又因?yàn)?= , =,所以，務(wù)的最小值為蟲=殳55662n62.【總結(jié)升華】數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，動(dòng)態(tài)的函數(shù)觀點(diǎn)是解決數(shù)列問題的有效方法。數(shù)列的項(xiàng)可看作定義 在正整數(shù)集（或它的有限子集）上的函數(shù)。如等差數(shù)列at!的通項(xiàng)公式 = % 4-（/7一項(xiàng)=血+ 0-,前n項(xiàng)的和公式缶=凹+= I +（% .°當(dāng)時(shí)，可以看作自變量n的一次和二次函數(shù)。因此利用函數(shù)的思想方法去研究數(shù)列問題不僅能加深對數(shù)列的理解，也有助于學(xué)生解題思維能力的培養(yǎng)及增強(qiáng)應(yīng) 用函數(shù)思想解題的意識。類型二、常量與變量的轉(zhuǎn)化問題例3 （2016 江蘇模擬改編）若己知不等式2x- l>m （x2- 1）對滿足m|W2的一切實(shí)數(shù)m的取值都成立, 則x的取值范圍為.【思路點(diǎn)撥】構(gòu)造變量m的函數(shù)，對x2- 1>0, x2- KO, x2- 1=0,進(jìn)行分類討論，利用|m|W2時(shí)函數(shù)的 取值，分別求出x的范圍，然后求并集即可.【答案】（B,也）22【解析】構(gòu)造變量m的函數(shù)求解：2x - l>m （x2 - 1） BP： （x2 - 1） m - （2x - 1） <0 構(gòu)造關(guān)于 m 的函數(shù) f (m) = (x2 - 1) m - (2x - 1), | m| W2 即-2WmW2.(1) 當(dāng) x2- 1>0 時(shí)，則 f (2) <0 從而 2x2-2x- l<0 解得：22又x2- l>0,即x< - 1或x>l,所以1<xV上史；2(2) 當(dāng) x? - IVO 時(shí)，則 f ( -2) VO 可得-2x2-2x+3<0 從而 2x?+2x - 3>0解得xV二1 頊或x>吏 I】又-IVxVl,從而吏lvxl222(3) 當(dāng) x2- 1=0 時(shí)，則 f (m) =1 -2x<0 從而 x>l,故 x=l；2綜上有：BvxV域22故答案為(宣二1,寸也)22【總結(jié)升華】對于含參數(shù)的不等式問題，有的時(shí)候轉(zhuǎn)變思路化“參變量”為“自變量”，往往會(huì)收到“柳 暗花明又一村”的效果.舉一反三：【變式1】己知a>0且aHl,若關(guān)于x的方程log,.(x-3)-logA(x+2)-log,.(x-l)=l有實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.工一30【解析】要使原方程有意義，需<x + 2> 0,解得x>3.x-l>0原方程化為：log,(x 3) = log”。(工IX* + 2)./.x-3=a(x-l) (x+2)在區(qū)間(3, +8)上有解，. x 3 (1 .(x-1)(A- +2)問題轉(zhuǎn)化為求右端在(3, +8)上的值域，即將a看作x的函數(shù)a(x).-a-l)(x + 2) x2+x-2x-3 1=”一3)2+7(工一3) + 10 =工 3 1 ° 17x-3Vx>3, Ax-3>0,A X-3 + -15- >2J(x-3)=2V10 . x-3 V x-3當(dāng)且僅當(dāng)x-3 = ,即工=3 + 應(yīng)時(shí)取等號.x-3<1_7-2而一 2而+ 7 一 9又 Vx>3 時(shí)，a>0,故a的取值范圍是(o,7_2面【變式2】(2016河南模擬)若對任意的xe (-od,-1,不等式(3m-l)2x< 1恒成立，則正實(shí)數(shù)m的取值范圍是.【答案】(0,1)【解析】令 2、=/,X£(F, 1)0,-< 2/原不等式可轉(zhuǎn)化為(3/n-l)r < 1即<0令/(r) = (3/n-l)r-l,r£ 0,?) 當(dāng)3m-1=()即m =；時(shí)，./'(，) = -1 v 0滿足題意. 當(dāng) 3/w-l >0 即時(shí)，/(r) =(3/n-l)/-l,/e 0,| 單增/1 11只需f 一 =(3,w-l)一1<0即可，解得秫<1即：-<m<< 2 /231( 1 當(dāng)3-1 v()即0<m<一時(shí)，/(r) = (3w-l)r-l,rG 0,-單減3 2 >v/im(0)= -l<0/.0<w<| 符合題意綜上所述m的取值范圍是0 v s v 1.類型三、等價(jià)轉(zhuǎn)化【例4】已知函數(shù)/=件侖的值域?yàn)?, 4,求實(shí)數(shù)a、b的值.JT+ 1【思路點(diǎn)撥】設(shè)y = /(x),將所給函數(shù)看作關(guān)于x的方程.則由題意可知當(dāng)y£-l, 4時(shí)，關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)解.【解析】5普的定義域?yàn)镽,故可等價(jià)轉(zhuǎn)化為yxax+yb=0.令 =a一4y (y b) X),即 4y24bya2<0,則由題意可知，不等式4y2-4by-a20的解集為1, 4.也就是一1, 4是關(guān)于y的方程4y4by二0的兩根.一 1 + 4 = /?, /. a= ± 4, b=3.-1x4 = - 4所以所求實(shí)數(shù)a=±4, b=3.【總結(jié)升華】本題是利用函數(shù)、不等式與方程的關(guān)系一步一步地等價(jià)轉(zhuǎn)化使問題得以解決，常見的轉(zhuǎn) 化類型有高次向低次的轉(zhuǎn)化，多元向一元的轉(zhuǎn)化，分式向整式的轉(zhuǎn)化，無理向有理的轉(zhuǎn)化，空間向平面的 轉(zhuǎn)化等.舉一反三：【變式1】己知奇函數(shù)/(同在定義域(一1, 1)上是減函數(shù)，且/(1 +。) + /(1-疽)<o,求實(shí)數(shù)。 的取值范圍.【答案】(-1,0)【變式2】若f(x) = ax + 3-a的圖象在(0,1)內(nèi)與x軸恰好有一個(gè)交點(diǎn)，則a的取值范圍為【解析】/(工)的圖象是直線，在(0, 1)內(nèi)與x軸恰有一個(gè)交點(diǎn)，則 /(0)-/ <0,則a>3 (當(dāng)a=0時(shí)不合題意).【例5】(1)不等式土二0的解集為()2x + A.-?1B.C.D. -oo, ul,+a）對【思路點(diǎn)撥】將不等式進(jìn)行等價(jià)變形，轉(zhuǎn)化為整式不等式求解?！敬鸢浮緼；【解析】原不等式等價(jià)于(x-l)(2x+l)< ()或x-l=0,即一 Lvx<l或x = l,所以不等式的解為2-<x<l ,選 A.2(2)設(shè)集合A = (x,y)|<(x-2)2 + y2 <m2tx,yeR,2B = (x, y) | 2m <x+ y< 2rn + l,x, y e R,若 AcB 比 0,則實(shí)數(shù) m 的取值范圍是；【解析】當(dāng)/n<()時(shí)，集合A是以(2, 0)為圓心，以|州為半徑的圓，集合B是在兩條平行線之間;'因?yàn)閙*,此時(shí)無解;當(dāng)"。時(shí),集合a是以e0)為圓心，以集合B是在兩條平行線之間，必有_ <m<f2 + i.又因?yàn)?lt; /«2, .'. </«< V2 +1 o222【總結(jié)升華】本題是較為典型的恒成立問題，解決恒成立問題通?？梢岳梅蛛x變最轉(zhuǎn)化為最值的方 法求解。構(gòu)造函數(shù)解題是數(shù)學(xué)中的常用方法，通過巧妙地構(gòu)造輔助函數(shù)，把原來的問題轉(zhuǎn)化為研究輔助函 數(shù)的性質(zhì)，從而達(dá)到解題目的。舉一反三：【變式】巳知函數(shù)f(x) = ax2-c,滿足-4</(l)<-l, -1</(2)<5,求/'(3)的最大值、最小 值及取得最大值和最小值時(shí)對應(yīng)a, c的值.。=3ci = 0【答案】/(3)max = 20 ,此時(shí) ；fmin=-l,此時(shí)c-ic = 類型四、正面與反面的轉(zhuǎn)化問題【例6】己知非空集合A=x|x2-Amx+2m+6=0, xER,若AAR 0,求實(shí)數(shù)m的取值范圍(曠表示 負(fù)實(shí)數(shù)集，R'表示正實(shí)數(shù)集).【思路點(diǎn)撥】本題可以根據(jù)AAR-0的反面一一AAR-=0時(shí)的取值范圍進(jìn)行求解.3【解析】設(shè)全集 U=m =16n28m24全0 = m|mW 1 或m > .2m g U3方程x2-4mx+2m+6=0的兩根均非負(fù)的充要條件是4/« >0,可得m>.22m + 6 > 03AAA RJ 0時(shí)，實(shí)數(shù)ni的取值范圍為 | m > -；2AAR 時(shí)，實(shí)數(shù)m的取值范圍為m|inW 1.【總結(jié)升華】正面難以解決的問題，可采用補(bǔ)集的思想，轉(zhuǎn)化為反面問題來解決.一個(gè)題目若出現(xiàn)多 種成立的情況，則不成立的情況一般較少，易從反而考慮，比如題目中出現(xiàn)“至多”，“至少”等字眼時(shí).舉一反三：【變式】試求常數(shù)m的范圍，使曲線y=x?的所有弦都不能被直線y-m(x-3)垂直平分.【解析】問題可以轉(zhuǎn)化為：為使曲線y=x，有兩個(gè)對稱于直線y=m(x-3)的點(diǎn)，求m的取值范圍. 易得m<-,因此原問題的解是m>-.22【例7】等比數(shù)列%中，,%,為分別是下表第一、二、三行中的某一個(gè)數(shù)，且中的任何兩個(gè)數(shù)不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818(I )求數(shù)列%的通項(xiàng)公式；(II)若數(shù)列也,滿足：=%+(l)lns 求數(shù)列但的前2項(xiàng)和【解析】(I )當(dāng) =3時(shí)，不合題意；當(dāng) =2時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)=6,% = 18時(shí)，符合題意；當(dāng)4=10 時(shí)，不合題意。由題意知 =2,q=6,%=18，因?yàn)?是等比數(shù)列，所以公比為3,所以數(shù)列%的通項(xiàng)公式 為二2"(II)因 jbn = an 4- (1) In = 2 3n l + (1) In 2 , 3W 1,所以 Sn =bx + Z?2 + + =(/ + 角 + . + q,) - (In / + In % + .hi an)=2(1-3")1-3-Inaa2an=3” 一 1 -ln(2” 1 x3' x3? x.x3“)=以(一 1)3"-l-ln(2".3亍),所以 S2n = 32n -1 - ln(22H - 3 2 )=9W -1 - 2n In 2 - (2n2 - n) In 3o【總結(jié)升華】一些數(shù)學(xué)問題，如果從條件出發(fā)，正面考慮較難較繁，不妨調(diào)整思考方向，從問題的結(jié) 論入手，或從問題的條件與結(jié)論的反面入手進(jìn)行思考，迂回地得到解題思路，這叫做“正難則反"?！罢y則 反，是一種重:要的解題策略，靈活用之，能使許多難題、趣題和生活中的問題獲得巧解。舉一反三：【變式】己知二次函數(shù)f (x) =4x'-2(p-2)x-2p2-p+l,若區(qū)間T, 1內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)c,使f (c)>0,則實(shí)數(shù)P的取值范圍是().1 13A、(-=,1) B、(-3,-待)C、(-3,二)2 22【解析】問題轉(zhuǎn)化為先求在T, 1內(nèi)沒有一個(gè)實(shí)數(shù)C使f(c)>0,即對任意xG-l,l, f(x)W0的P的取值范圍.