第六章 第4節(jié) 1．下列命題正確的是(　　 ) A．若x≠kπ，k∈Z，則sin2x＋≥4 B．若a<0，則a＋≥－4 C．若a>0，b>0，則lg a＋lg b≥2 D．若a<0，b<0，則＋≥2 解析：D　[當sin2x＝1時，1＋1＝2<4，所以A錯；若a<0，則a＋≤－4，B錯；因為lg a，lg b可以小于零，C錯；由a<0，b<0，所以，都大于零，D正確．] 2．已知0<x<1，則x(3－3x)取得最大值時x的值為(　　) A.　　　　　　　　 B. C. D. 解析：B　[∵0<x<1，∴1－x>0. ∴x(3－3x)＝3x(1－x)≤32＝. 當x＝1－x，即x＝時取等號．] 3．已知正數(shù)a，b的等比中項是2，且m＝b＋，n＝a＋，則m＋n的最小值是(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 解析：C　[由已知正數(shù)a，b的等比中項是2，可得ab＝4，又m＝b＋，n＝a＋，∴m＋n＝(a＋b)＋≥2＋＝5，當且僅當a＝b＝2時取“＝”，故m＋n的最小值為5，故選C.] 4．(2020·長春市質(zhì)檢)設(shè)正實數(shù)a，b滿足a＋b＝1，則(　　) A.＋有最大值4 B.有最小值 C.＋有最大值 D．a(chǎn)2＋b2有最小值 解析：C　[由于a>0，b>0，由基本不等式得1＝a＋b≥2，當且僅當a＝b時，等號成立，∴≤，∴ab≤，＋＝＝≥4，因此＋的最小值為4，a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥1－＝，(＋)2＝a＋b＋2＝1＋2≤1＋1＝2，所以＋有最大值，故選C.] 5．(2020·宿州市一模)若圓C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0關(guān)于直線l：ax＋by－2＝0(a＞0，b＞0)對稱，則＋的最小值為(　　 ) A．1 B．5 C．4 D．4 解析：D　[圓C：(x－2)2＋(y－1)2＝4的圓心為(2,1)， 圓C關(guān)于直線l∶ax＋by＝2對稱，∴圓心在l上， ∴2a＋b＝2，∴a＋＝1.又a＞0，b＞0， ∴＋＝＋＝1＋＋＋1≥2＋2＝4， ∴＋的最小值為4.] 6．當x＞1時，不等式x＋≥a恒成立，則實數(shù)a的最大值為　________　. 解析：因為x＞1，所以x－1＞0.又x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝3，當且僅當x＝2時等號成立，所以a的最大值為3. 答案：3 7．設(shè)＝(1，－2)，＝(a，－1)，＝(－b,0)，a＞0，b＞0，O為坐標原點，若A，B，C三點共線，則＋的最小值是　________　. 解析：＝－＝(a－1,1)，＝－ ＝(－b－1,2)，∵A，B，C三點共線，∴與共線， ∴2(a－1)＋b＋1＝0，即2a＋b＝1. ∵a＞0，b＞0，∴＋＝(2a＋b)＝4＋＋≥4＋4＝8，當且僅當＝，即b＝2a時等號成立． 答案：8 8．(2017·江蘇卷)某公司一年購買某種貨物600噸，每次購買x噸，運費為6萬元/次，一年的總存儲費用為4x萬元，要使一年的總運費與總存儲費之和最小，則x的值是　__________　. 解析：總費用4x＋×6＝4≥4×2＝240，當且僅當x＝，即x＝30時等號成立． 答案：30 9．行駛中的汽車，在剎車時由于慣性作用，要繼續(xù)往前滑行一段距離才能停下，這段距離叫做剎車距離．在某種路面上，某種型號汽車的剎車距離s(m)與汽車的車速v(km/h)滿足下列關(guān)系：s＝＋(n為常數(shù)，且n∈N)，做了兩次剎車試驗，有關(guān)試驗數(shù)據(jù)如圖所示，其中 (1)求n的值； (2)要使剎車距離不超過12.6 m，則行駛的最大速度是多少？ 解：(1)由試驗數(shù)據(jù)知，s1＝n＋4，s2＝n＋， 所以解之得.又n∈N，所以n＝6. (2)由(1)知，s＝＋，v≥0.依題意， s＝＋≤12.6， 即v2＋24v－5 040≤0，解得－84≤v≤60. 因為v≥0，所以0≤v≤60. 故行駛的最大速度為60 km/h. 10．已知lg(3x)＋lg y＝lg(x＋y＋1)． (1)求xy的最小值； (2)求x＋y的最小值． 解：由lg(3x)＋lg y＝lg(x＋y＋1) 得 (1)∵x＞0，y＞0，∴3xy＝x＋y＋1≥2＋1， ∴3xy－2－1≥0，即3()2－2－1≥0， ∴(3＋1)(－1)≥0， ∴≥1，∴xy≥1，當且僅當x＝y(tǒng)＝1時，等號成立． ∴xy的最小值為1. (2)∵x＞0，y＞0， ∴x＋y＋1＝3xy≤3·2， ∴3(x＋y)2－4(x＋y)－4≥0， ∴[3(x＋y)＋2][(x＋y)－2]≥0，∴x＋y≥2， 當且僅當x＝y(tǒng)＝1時取等號， ∴x＋y的最小值為2.