第二篇重點(diǎn)專(zhuān)題分層練 中高檔題得高分 第14練空間幾何體 小題提速練 明晰考情1 命題角度 空間幾何體的三視圖 球與多面體的組合 一般以計(jì)算面積 體積的形式出現(xiàn) 2 題目難度 中檔或中檔偏難 核心考點(diǎn)突破練 欄目索引 易錯(cuò)易混專(zhuān)項(xiàng)練 高考押題沖刺練 考點(diǎn)一空間幾何體的三視圖與直觀圖 要點(diǎn)重組 1 三視圖畫(huà)法的基本原則 長(zhǎng)對(duì)正 高平齊 寬相等 畫(huà)圖時(shí)看不到的線畫(huà)成虛線 2 由三視圖還原幾何體的步驟 核心考點(diǎn)突破練 根據(jù)正視圖確定幾何體的側(cè)棱與側(cè)面特征 調(diào)整實(shí)線 虛線對(duì)應(yīng)棱的位置 3 直觀圖畫(huà)法的規(guī)則 斜二測(cè)畫(huà)法 1 一個(gè)四面體的頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系O xyz中的坐標(biāo)分別是 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 畫(huà)該四面體三視圖中的正視圖時(shí) 以zOx平面為投影面 則得到的正視圖為 解析在空間直角坐標(biāo)系中作出四面體OABC的直觀圖如圖所示 作頂點(diǎn)A C在xOz平面的投影A C 可得四面體的正視圖 故選A 答案 解析 2 2018 北京 某四棱錐的三視圖如圖所示 在此四棱錐的側(cè)面中 直角三角形的個(gè)數(shù)為A 1B 2C 3D 4 答案 解析 解析由三視圖得到空間幾何體 如圖所示 則PA 平面ABCD 平面ABCD為直角梯形 PA AB AD 2 BC 1 所以PA AD PA AB PA BC 又BC AB AB PA A AB PA 平面PAB 所以BC 平面PAB 又PB 平面PAB 所以BC PB 所以 PCD為銳角三角形 所以側(cè)面中的直角三角形為 PAB PAD PBC 共3個(gè) 故選C 解析先觀察俯視圖 由俯視圖可知選項(xiàng)B和D中的一個(gè)正確 由正視圖和側(cè)視圖可知選項(xiàng)D正確 3 如圖所示是一個(gè)幾何體的三視圖 則此三視圖所描述的幾何體的直觀圖是 答案 解析 4 已知正三棱錐V ABC的正視圖和俯視圖如圖所示 則該正三棱錐側(cè)視圖的面積是 答案 解析 6 考點(diǎn)二空間幾何體的表面積與體積 方法技巧 1 求三棱錐的體積時(shí) 等體積轉(zhuǎn)化是常用的方法 轉(zhuǎn)化原則是其高易求 底面放在已知幾何體的某一面上 2 求不規(guī)則幾何體的體積 常用分割或補(bǔ)形的思想 將不規(guī)則幾何體轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體以易于求解 3 已知幾何體的三視圖 可去判斷幾何體的形狀和各個(gè)度量 然后求解表面積和體積 解析 D是等邊三角形ABC的邊BC的中點(diǎn) AD BC 又ABC A1B1C1為正三棱柱 AD 平面BB1C1C 答案 解析 6 一個(gè)四面體的三視圖如圖所示 則該四面體的體積是 解析根據(jù)題意得到原四面體是底面為等腰直角三角形 高為1的三棱錐 答案 解析 7 某幾何體的三視圖如圖所示 則該幾何體的體積為 其表面積為 答案 解析 解析由正視圖和側(cè)視圖可知 該幾何體含有半個(gè)圓柱 再結(jié)合俯視圖不難得到該幾何體是半個(gè)圓柱和一個(gè)倒立的直四棱錐組合而成 如圖 故該幾何體的體積為 8 已知一個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)為2 側(cè)面展開(kāi)圖是半圓 則該圓錐的體積為 解析由題意 得圓錐的底面周長(zhǎng)為2 設(shè)圓錐的底面半徑是r 則2 r 2 解得r 1 答案 解析 考點(diǎn)三多面體與球 要點(diǎn)重組 1 設(shè)球的半徑為R 球的截面圓半徑為r 球心到球的截面的距離為d 則有r 2 當(dāng)球內(nèi)切于正方體時(shí) 球的直徑等于正方體的棱長(zhǎng) 當(dāng)球外接于長(zhǎng)方體時(shí) 長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)等于球的直徑 當(dāng)球與正方體各棱都相切時(shí) 球的直徑等于正方體底面的對(duì)角線長(zhǎng) 9 已知三棱錐S ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上 SA 平面ABC SA AB 1 AC 2 BAC 60 則球O的表面積為A 4 B 12 C 16 D 64 答案 解析 解析在 ABC中 由余弦定理得 BC2 AB2 AC2 2AB ACcos60 3 AC2 AB2 BC2 即AB BC 又SA 平面ABC SA AB SA BC 故球O的表面積為4 22 16 10 已知圓柱的高為1 它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面上 則該圓柱的體積為 解析設(shè)圓柱的底面半徑為r 球的半徑為R 且R 1 由圓柱的兩個(gè)底面的圓周在同一個(gè)球的球面上可知 r R及圓柱的高的一半構(gòu)成直角三角形 答案 解析 11 已知四棱錐P ABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為6的正方形 且PA PB PC PD 若一個(gè)半徑為1的球與此四棱錐所有面都相切 則該四棱錐的高是 答案 解析 解析由題意知 四棱錐P ABCD是正四棱錐 球的球心O在四棱錐的高PH上 過(guò)正四棱錐的高作組合體的軸截面如圖 其中PE PF是斜高 A為球面與側(cè)面的切點(diǎn) 設(shè)PH h 易知Rt PAO Rt PHF 12 一個(gè)圓錐過(guò)軸的截面為等邊三角形 它的頂點(diǎn)和底面圓周在球O的球面上 則該圓錐的體積與球O的體積的比值為 答案 解析 解析設(shè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為2a 球O的半徑為R 又底面ABCD是正方形 所以矩形ADD1A1與矩形CDD1C1的面積相等 即正視圖與側(cè)視圖的面積之比是1 1 1 如圖 在正四棱柱ABCD A1B1C1D1中 點(diǎn)P是平面A1B1C1D1內(nèi)一點(diǎn) 則三棱錐P BCD的正視圖與側(cè)視圖的面積之比為A 1 1B 2 1C 2 3D 3 2 易錯(cuò)易混專(zhuān)項(xiàng)練 答案 解析 2 已知一幾何體的三視圖如圖所示 它的側(cè)視圖與正視圖相同 則該幾何體的體積為 答案 解析 解析由三視圖知該幾何體是正四棱錐 底面為正方形 且頂點(diǎn)在底面的射影為正方形的中心的棱錐 與半球體的組合體 3 已知A B是球O的球面上兩點(diǎn) AOB 90 C為該球面上的動(dòng)點(diǎn) 若三棱錐O ABC體積的最大值為36 則球O的表面積為A 36 B 64 C 144 D 256 答案 解析 解析易知 AOB的面積確定 若三棱錐O ABC的底面OAB上的高最大 則其體積最大 因?yàn)楦咦畲鬄榘霃絉 解得R 6 故S球 4 R2 144 解題秘籍 1 三視圖都是幾何體的投影 要抓住這個(gè)根本點(diǎn)確定幾何體的特征 2 多面體與球的切 接問(wèn)題 要明確切點(diǎn) 接點(diǎn)的位置 利用合適的截面圖確定兩者的關(guān)系 要熟悉長(zhǎng)方體與球的各種組合 1 2018 浙江 某幾何體的三視圖如圖所示 單位 cm 則該幾何體的體積 單位 cm3 是A 2B 4C 6D 8 解析由幾何體的三視圖可知 該幾何體是一個(gè)底面為直角梯形 高為2的直四棱柱 直角梯形的上 下底邊長(zhǎng)分別為2 1 高為2 答案 解析 高考押題沖刺練 故選C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 已知某幾何體的三視圖如圖所示 則該幾何體的最大邊長(zhǎng)為 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析根據(jù)三視圖作出原幾何體 四棱錐P ABCD 的直觀圖如右 3 如圖是棱長(zhǎng)為2的正方體的表面展開(kāi)圖 則多面體ABCDE的體積為 解析多面體ABCDE為四棱錐 如圖 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 故選D 4 如圖 網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1 右圖畫(huà)出的是某幾何體的三視圖 則該幾何體的表面積為 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析作出該幾何體的直觀圖如圖所示 所作圖形進(jìn)行了一定角度的旋轉(zhuǎn) 5 某錐體的三視圖如圖所示 用平行于錐體底面的平面把錐體截成體積相等的兩部分 則截面面積為 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析三視圖表示的幾何體 如圖 是四棱錐 鑲嵌入棱長(zhǎng)為2的正方體中 且四棱錐F ABCD的底面為正方形ABCD 面積為4 設(shè)截面面積為S 所截得小四棱錐的高為h 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6 某幾何體的三視圖如圖所示 其中正視圖 側(cè)視圖均是由三角形與半圓構(gòu)成 俯視圖由圓與內(nèi)接三角形構(gòu)成 則該幾何體的體積為 解析該幾何體是一個(gè)半球 上面有一個(gè)三棱錐 體積為 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7 2018 全國(guó) 某圓柱的高為2 底面周長(zhǎng)為16 其三視圖如圖所示 圓柱表面上的點(diǎn)M在正視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A 圓柱表面上的點(diǎn)N在側(cè)視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B 則在此圓柱側(cè)面上 從M到N的路徑中 最短路徑的長(zhǎng)度為 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析先畫(huà)出圓柱的直觀圖 根據(jù)題中的三視圖可知 點(diǎn)M N的位置如圖 所示 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖及M N的位置 N為OP的四等分點(diǎn) 如圖 所示 故選B 8 某幾何體的三視圖如圖所示 則該幾何體外接球的表面積是 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析如圖所示 該幾何體是三棱錐D ABC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 且AB AC DE 平面ABC 故外接球球心O必在直線DE上 設(shè)三棱錐D ABC外接球的半徑為R 由 OD DE 2 EC2 OC2 R2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 9 某幾何體的三視圖如圖所示 單位 cm 則該幾何體共有 條棱 該幾何體的體積為 cm3 8 1 解析由三視圖知該幾何體為底面為上底是1cm 下底是2cm 高是1cm的直角梯形 有一條高為2cm的棱垂直于底面的四棱錐 則其有8條棱 10 九章算術(shù) 是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著 系統(tǒng)地總結(jié)了戰(zhàn)國(guó) 秦 漢時(shí)期的數(shù)學(xué)成就 書(shū)中將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱(chēng)之為 陽(yáng)馬 若某 陽(yáng)馬 的三視圖如圖所示 網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1 則該 陽(yáng)馬 最長(zhǎng)的棱長(zhǎng)為 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析由三視圖知 幾何體是四棱錐 且四棱錐的一條側(cè)棱與底面垂直 如圖所示 其中PA 平面ABCD PA 3 AB CD 4 AD BC 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11 已知某幾何體的三視圖如圖所示 其中俯視圖是正三角形 則該幾何體的體積為 解析依題意得 該幾何體是由如圖所示的三棱柱ABC A1B1C1截去四棱錐A BEDC得到的 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12 已知三棱錐A BCD中 AB AC BC 2 BD CD 點(diǎn)E是BC的中點(diǎn) 點(diǎn)A在平面BCD上的投影恰好為DE的中點(diǎn)F 則該三棱錐外接球的表面積為 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 解析連接BF 由題意 得 BCD為等腰直角三角形 E是外接圓的圓心 點(diǎn)A在平面BCD上的投影恰好為DE的中點(diǎn)F 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 本課結(jié)束