13.3函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)預(yù)習(xí)課本P2931，思考并完成下列問題(1)什么是函數(shù)的最值？函數(shù)在閉區(qū)間上取得最值的條件是什么？ (2)函數(shù)的最值與極值有什么關(guān)系？(3)求函數(shù)最值的方法和步驟是什么？1函數(shù)yf(x)在閉區(qū)間a，b上取得最值的條件如果在區(qū)間a，b上函數(shù)yf(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值點(diǎn)睛對(duì)函數(shù)最值的三點(diǎn)說明(1)閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定有最值，開區(qū)間內(nèi)的連續(xù)函數(shù)不一定有最值. 若有唯一的極值，則此極值必是函數(shù)的最值(2)函數(shù)的最大值和最小值是一個(gè)整體性概念(3)函數(shù)yf(x)在a，b上連續(xù)，是函數(shù)yf(x)在a，b上有最大值或最小值的充分而非必要條件2求函數(shù)yf(x)在a，b上的最大值與最小值的步驟(1)求函數(shù)yf(x)在(a,_b)內(nèi)的極值(2)將函數(shù)yf(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值點(diǎn)睛函數(shù)極值與最值的關(guān)系(1)函數(shù)的極值是函數(shù)在某一點(diǎn)附近的局部概念，函數(shù)的最大值和最小值是一個(gè)整體性概念(2)函數(shù)的最大值、最小值是比較整個(gè)定義區(qū)間的函數(shù)值得出的，函數(shù)的極值是比較極值點(diǎn)附近的函數(shù)值得出的，函數(shù)的極值可以有多個(gè)，但最值只能有一個(gè)(3)極值只能在區(qū)間內(nèi)取得，最值則可以在端點(diǎn)處取得有極值的未必有最值，有最值的未必有極值；極值有可能成為最值，最值不在端點(diǎn)處取得時(shí)必定是極值1判斷(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)函數(shù)的最大值一定是函數(shù)的極大值()(2)開區(qū)間上的單調(diào)連續(xù)函數(shù)無最值()(3)函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上的最大值和最小值一定在兩個(gè)端點(diǎn)處取得()答案：(1)(2)(3)2若函數(shù)f(x)x42x23，則f(x)()A最大值為4，最小值為4B最大值為4，無最小值C最小值為4，無最大值D既無最大值，也無最小值答案：B3函數(shù)f(x)3xsin x在x0，上的最小值為_答案：14已知f(x)x2mx1在區(qū)間2，1上的最大值就是函數(shù)f(x)的極大值，則m的取值范圍是_答案：(4，2)求函數(shù)的極值典例求函數(shù)f(x)4x33x236x5在區(qū)間2，)上的最值解f(x)12x26x36，令f(x)0，得x12，x2.當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x2f(x)00f(x)57由于當(dāng)x時(shí)，f(x)0，所以f(x)在上為增函數(shù)因此，函數(shù)f(x)在2，)上只有最小值，無最大值求函數(shù)最值的四個(gè)步驟第一步求函數(shù)的定義域第二步求f(x)，解方程f(x)0.第三步列出關(guān)于x，f(x)，f(x)的變化表第四步求極值、端點(diǎn)值，確定最值 活學(xué)活用函數(shù)yx2cos x在上取最大值時(shí)，x的值為() A0B.C. D.解析：選By12sin x，令y0，得sin x，x，x. 由y>0得sin x<，0x<；由y<0得sin x>，<x，原函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減當(dāng)x0時(shí)，y2，當(dāng)x時(shí)，y，當(dāng)x時(shí)，y，>2>，當(dāng)x時(shí)取最大值，故應(yīng)選B.由函數(shù)的最值求參數(shù)的取值范圍典例 (1)函數(shù)f(x)x3x2xa在區(qū)間0,2上的最大值是3，則a等于()A3B1C2D1(2)已知函數(shù)f(x)2x36x2a在2,2上有最小值37，求a的值，并求f(x)在2，2上的最大值解析(1)f(x)3x22x1，令f(x)0，解得x(舍去)或x1，又f(0)a，f(1)a1，f(2)a2，則f(2)最大，即a23，所以a1.答案：B(2)解：f(x)6x212x6x(x2)，令f(x)0，得x0或x2.又f(0)a，f(2)a8，f(2)a40.f(0)>f(2)>f(2)，所以當(dāng)x2時(shí)，f(x)mina4037，得a3.所以當(dāng)x0時(shí)，f(x)max3.已知函數(shù)最值求參數(shù)的步驟(1)求出函數(shù)在給定區(qū)間上的極值及函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值(2)通過比較它們的大小，判斷出哪個(gè)是最大值，哪個(gè)是最小值(3)結(jié)合已知求出參數(shù)，進(jìn)而使問題得以解決活學(xué)活用 已知函數(shù)f(x)ax36ax2b，問是否存在實(shí)數(shù)a，b，使f(x)在1,2上取得最大值3，最小值29，若存在，求出a，b的值；若不存在，請(qǐng)說明理由解：存在顯然a0.f(x)3ax212ax3ax(x4)令f(x)0，解得x10，x24(舍去)(1)當(dāng)a>0，x變化時(shí)，f(x)，f(x)的變化情況如表：x1,0)0(0,2f(x)0f(x)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減所以當(dāng)x0時(shí)，f(x)取得最大值，所以f(0)b3.又f(2)16a3，f(1)7a3，f(1)>f(2)所以當(dāng)x2時(shí)，f(x)取得最小值，即16a329，解得a2.(2)當(dāng)a<0，x變化時(shí)，f(x)，f(x)的變化情況如表：x1,0)0(0,2f(x)0f(x)單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以當(dāng)x0時(shí)，f(x)取得最小值，所以b29.又f(2)16a29，f(1)7a29，f(2)>f(1)所以當(dāng)x2時(shí)，f(x)取得最大值，f(2)16a293，解得a2，綜上可得，a2，b3或a2，b29.與最值有關(guān)的恒成立問題典例已知函數(shù)f(x)x3ax2bxc在x與x1處都取得極值(1)求a，b的值及函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間(2)若對(duì)x1,2，不等式f(x)<c2恒成立，求c的取值范圍解(1)由f(x)x3ax2bxc，得f(x)3x22axb，因?yàn)閒(1)32ab0，fab0，解得a，b2，所以f(x)3x2x2(3x2)(x1)，當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f(x)的變化情況如表：x1(1，)f(x)00f(x)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間為和(1，)；遞減區(qū)間為.(2)由(1)知，f(x)x3x22xc，x1,2，當(dāng)x時(shí)，fc為極大值，因?yàn)閒(2)2c，所以f(2)2c為最大值要使f(x)<c2(x1,2)恒成立，只需c2>f(2)2c，解得c<1或c>2.故c的取值范圍為(，1)(2，)一題多變1變?cè)O(shè)問若本例中條件不變，“把(2)中對(duì)x1,2，不等式f(x)<c2恒成立”改為“若存在x1,2，不等式f(x)<c2成立”，結(jié)果如何？解：由典例解析知當(dāng)x1時(shí)，f(1)c為極小值，又f(1)c>c，所以f(1)c為最小值因?yàn)榇嬖趚1,2，不等式f(x)<c2成立，所以只需c2>f(1)c，即2c22c30，解得cR.2變條件，變?cè)O(shè)問已知函數(shù)f(x)x3axb(a，bR)在x2處取得極小值.(1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間(2)若f(x)m2m在4,3上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍解：(1)f(x)x2a，由f(2)0，得a4；再由f(2)，得b4.所以f(x)x34x4，f(x)x24.令f(x)x24>0，得x>2或x<2.所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(，2)，(2，)(2)因?yàn)閒(4)，f(2)，f(2)，f(3)1，所以函數(shù)f(x)在4,3上的最大值為.要使f(x)m2m在4,3上恒成立，只需m2m，解得m2或m3.所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是(，32，)恒成立問題向最值轉(zhuǎn)化的方法(1)要使不等式f(x)<h在區(qū)間m，n上恒成立，可先在區(qū)間m，n上求出函數(shù)的最大值f(x)max，只要h>f(x)max，則上面的不等式恒成立(2)要使不等式f(x)>h在區(qū)間m，n上恒成立，可先在區(qū)間m，n上求出函數(shù)f(x)的最小值f(x)min，只要f(x)min>h，則不等式f(x)>h恒成立 層級(jí)一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)1設(shè)M，m分別是函數(shù)f(x)在a，b上的最大值和最小值，若Mm，則f(x)()A等于0B小于0C等于1 D不確定解析： 選A因?yàn)镸m，所以f(x)為常數(shù)函數(shù)，故f(x)0，故選A.2函數(shù)y2x33x212x5在2,1上的最大值、最小值分別是()A12，8 B1，8C12，15 D5，16解析：選Ay6x26x12，由y0x1或x2(舍去)x2時(shí)，y1；x1時(shí)，y12；x1時(shí)，y8. ymax12，ymin8.故選A.3函數(shù)f(x)x44x(|x|<1)()A有最大值，無最小值B有最大值，也有最小值C無最大值，有最小值D既無最大值，也無最小值解析：選Df(x)4x344(x1)(x2x1)令f(x)0，得x1.又x(1,1)且1(1,1)，該方程無解，故函數(shù)f(x)在(1,1)上既無極值也無最值故選D.4函數(shù)f(x)2，x(0,5的最小值為()A2 B3C. D2解析：選B由f(x)0，得x1，且x(0,1)時(shí)，f(x)0，x(1,5時(shí)，f(x)0，x1時(shí)，f(x)最小，最小值為f(1)3.5函數(shù)y的最大值為()Ae1 BeCe2 D10解析：選A令y0xe.當(dāng)xe時(shí)，y0；當(dāng)0xe時(shí)，y0，所以y極大值f(e)e1，在定義域內(nèi)只有一個(gè)極值，所以ymaxe1.6函數(shù)yx(x0)的最大值為_解析：y1，令y0得x.0x時(shí)，y0；x時(shí)，y0.x時(shí)，ymax.答案：7函數(shù)f(x)xex，x0,4的最小值為_解析：f(x)exxexex(1x)令f(x)0，得x1(ex0)，f(1)0，f(0)0，f(4)0，所以f(x)的最小值為0.答案：08若函數(shù)f(x)x33xa在區(qū)間0,3上的最大值、最小值分別為m，n，則mn_.解析：f(x)3x23，當(dāng)x1或x1時(shí)，f(x)0；當(dāng)1x1時(shí)，f(x)0.f(x)在0,1上單調(diào)遞減，在1,3上單調(diào)遞增f(x)minf(1)13a2an.又f(0)a，f(3)18a，f(0)f(3)f(x)maxf(3)18am，mn18a(2a)20.答案：209設(shè)函數(shù)f(x)exx2x.(1)若k0，求f(x)的最小值；(2)若k1，討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性解：(1)k0時(shí)，f(x)exx，f(x)ex1.當(dāng)x(，0)時(shí)，f(x)<0；當(dāng)x(0，)時(shí)，f(x)>0，所以f(x)在(，0)上單調(diào)遞減，在(0，)上單調(diào)遞增，故f(x)的最小值為f(0)1.(2)若k1，則f(x)exx2x，定義域?yàn)镽.f(x)exx1，令g(x)exx1，則g(x)ex1，由g(x)0得x0，所以g(x)在0，)上單調(diào)遞增，由g(x)<0得x<0，所以g(x)在(，0)上單調(diào)遞減，g(x)ming(0)0，即f(x)min0，故f(x)0.所以f(x)在R上單調(diào)遞增10已知函數(shù)f(x)x3ax2bx5，曲線yf(x)在點(diǎn)P(1，f(1)處的切線方程為y3x1.(1)求a，b的值；(2)求yf(x)在3,1上的最大值解：(1)依題意可知點(diǎn)P(1，f(1)為切點(diǎn)，代入切線方程y3x1可得，f(1)3114，f(1)1ab54，即ab2，又由f(x)x3ax2bx5得，又f(x)3x22axb，而由切線y3x1的斜率可知f(1)3，32ab3，即2ab0，由解得a2，b4.(2)由(1)知f(x)x32x24x5，f(x)3x24x4(3x2)(x2)，令f(x)0，得x或x2.當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x3(3，2)21f(x)00f(x)8極大值極小值4f(x)的極大值為f(2)13，極小值為f，又f(3)8，f(1)4，f(x)在3,1上的最大值為13.層級(jí)二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)1函數(shù)f(x)x33axa在(0,1)內(nèi)有最小值，則a的取值范圍為()A0,1)B(0,1)C(1,1) D.解析：選Bf(x)3x23a，令f(x)0，可得ax2，又x(0,1)，0a1，故選B.2若函數(shù)f(x)x33x29xk在區(qū)間4,4上的最大值為10，則其最小值為()A10 B71C15 D22解析：選Bf(x)3x26x93(x3)(x1)由f(x)0，得x3或x1.又f(4)k76，f(3)k27，f(1)k5，f(4)k20.由f(x)maxk510，得k5，f(x)mink7671.3設(shè)直線xt與函數(shù)f(x)x2，g(x)ln x的圖象分別交于點(diǎn)M，N，則當(dāng)|MN|達(dá)到最小值時(shí)t的值為()A1 B.C. D.解析：選D因?yàn)閒(x)的圖象始終在g(x)的上方，所以|MN|f(x)g(x)x2ln x，設(shè)h(x)x2ln x，則h(x)2x，令h(x)0，得x，所以h(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x時(shí)有最小值，故t.4函數(shù)f(x)x3ax2在區(qū)間1，)上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A3，) B3，)C(3，) D(，3)解析：選Bf(x)x3ax2在1，)上是增函數(shù)，f(x)3x2a0在1，)上恒成立，即a3x2在1，)上恒成立，又在1，)上(3x2)max3，a3.5已知函數(shù)f(x)axln x，若f(x)1在區(qū)間(1，)內(nèi)恒成立，實(shí)數(shù)a的取值范圍為_解析：由題意知a在區(qū)間(1，)內(nèi)恒成立設(shè)g(x)，則g(x)0(x1)，g(x)在區(qū)間(1，)內(nèi)單調(diào)遞減，g(x)g(1)，g(1)1，1在區(qū)間(1，)內(nèi)恒成立，a1.答案：1，)6已知函數(shù)yx22x3在區(qū)間a,2上的最大值為，則a_.解析：y2x2，令y0，得x1，函數(shù)在(，1)上單調(diào)遞增，在(1，)上單調(diào)遞減若a1，則最大值為f(a)a22a3，解之得a；若a1，則最大值為f(1)1234.綜上知，a.答案：7已知aR，函數(shù)f(x)x2(xa)(1)當(dāng)a3時(shí)，求f(x)的零點(diǎn)；(2)求函數(shù)yf(x)在區(qū)間1,2上的最小值解：(1)當(dāng)a3時(shí)，f(x)x2(x3)，令f(x)0，解得x0或x3.(2)設(shè)此最小值為m，而f(x)3x22ax3x，x(1,2)，當(dāng)a0時(shí)，在1x2時(shí)，f(x)0，則f(x)是區(qū)間1,2上的增函數(shù)，所以mf(1)1a；當(dāng)a0時(shí)，在x0或x時(shí)，f(x)0，從而f(x)在區(qū)間上是增函數(shù)；在0x時(shí)，f(x)0，從而f(x)在區(qū)間上是減函數(shù)當(dāng)a2，即a3時(shí)，mf(2)84a；當(dāng)1a2，即a3時(shí)，mf.當(dāng)0a1，即0a時(shí)，mf(1)1a.綜上所述，所求函數(shù)的最小值m8已知函數(shù)f(x)ln x.(1)當(dāng)a<0時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)f(x)在1，e上的最小值是，求a的值解：函數(shù)f(x)ln x的定義域?yàn)?0，)，f(x)，(1)a<0，f(x)>0，故函數(shù)在其定義域(0，)上單調(diào)遞增(2)x1，e時(shí)，分如下情況討論：當(dāng)a<1時(shí)，f(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，其最小值為f(1)a<1，這與函數(shù)在1，e上的最小值是相矛盾；當(dāng)a1時(shí)，函數(shù)f(x)在1，e上單調(diào)遞增，其最小值為f(1)1，同樣與最小值是相矛盾；當(dāng)1<a<e時(shí)，函數(shù)f(x)在1，a)上有f(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，在(a，e上有f(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，所以，函數(shù)f(x)的最小值為f(a)ln a1，由ln a1，得a.當(dāng)ae時(shí)，函數(shù)f(x)在1，e上有f(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，其最小值為f(e)2，這與最小值是相矛盾；當(dāng)a>e時(shí)，顯然函數(shù)f(x)在1，e上單調(diào)遞減，其最小值為f(e)1>2，仍與最小值是相矛盾；綜上所述，a的值為.