第五節(jié)橢圓第1課時(shí)橢圓及其性質(zhì)最新考綱1.了解橢圓的實(shí)際背景，了解橢圓在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問題中的作用.2.掌握橢圓的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第153頁)1橢圓的定義(1)我們把平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的集合叫作橢圓這兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2叫作橢圓的焦點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2間的距離叫作橢圓的焦距(2)集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a，c為常數(shù)且a0，c0.當(dāng)2a|F1F2|時(shí)，M點(diǎn)的軌跡為橢圓；當(dāng)2a|F1F2|時(shí)，M點(diǎn)的軌跡為線段F1F2；當(dāng)2a|F1F2|時(shí)，M點(diǎn)的軌跡不存在2橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程1(a>b>0)1(a>b>0)圖形性質(zhì)范圍axa，bybbxb，aya對(duì)稱性對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸；對(duì)稱中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)坐標(biāo)A1(a,0)，A2(a,0)，B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)，B1(b,0)，B2(b,0)焦點(diǎn)坐標(biāo)F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)F1(0，c)，F(xiàn)2(0，c)半軸長長半軸長為a，短半軸長為b離心率e，且e(0,1)a，b，c的關(guān)系c2a2b21過橢圓焦點(diǎn)垂直于長軸的弦是最短的弦，長為，過焦點(diǎn)最長弦為長軸2過原點(diǎn)最長弦為長軸長2a，最短弦為短軸長2b.3與橢圓1(ab0)有公共焦點(diǎn)的橢圓方程為1(b2)4焦點(diǎn)三角形：橢圓上的點(diǎn)P(x0，y0)與兩焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2構(gòu)成的PF1F2叫做焦點(diǎn)三角形若F1PF2，則(1)|PF1|PF2|2a.(2)4c2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|·cos .(3)SPF1F2|PF1|PF2|·sin ，當(dāng)|y0|b，即P為短軸端點(diǎn)時(shí)，SPF1F2取最大值，為bc.(4)焦點(diǎn)三角形的周長為2(ac)(5)已知過焦點(diǎn)F1的弦AB，則ABF2的周長為4a.一、思考辨析(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是橢圓()(2)橢圓的離心率e越大，橢圓就越圓()(3)1(ab)表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓()(4)1(ab0)與1(ab0)的焦距相等()答案(1)×(2)×(3)×(4)二、教材改編1設(shè)P是橢圓1上的點(diǎn)，若F1，F(xiàn)2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則|PF1|PF2|等于()A4B5C8D10D依橢圓的定義知：|PF1|PF2|2×510.2已知中心在原點(diǎn)的橢圓C的右焦點(diǎn)為F(1,0)，離心率等于，則橢圓C的方程是()A.1B.1C.1D.1D設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(ab0)因?yàn)闄E圓的一個(gè)焦點(diǎn)為F(1,0)，離心率e，所以解得故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.3過點(diǎn)A(3，2)且與橢圓1有相同焦點(diǎn)的橢圓的方程為()A.1B.1C.1D.1A設(shè)所求橢圓的方程為1(4)，則有1，解得6，故所求橢圓方程為1.4已知點(diǎn)P是橢圓1上y軸右側(cè)的一點(diǎn)，且以點(diǎn)P及焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2為頂點(diǎn)的三角形的面積等于1，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_或設(shè)P(xP，yP)，xP0，由題意知|F1F2|2.則SPF1F2×|F1F2|×|yP|1，解得|yP|1.代入橢圓的方程，得1，解得x，因此點(diǎn)P的坐標(biāo)為或.(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第154頁)考點(diǎn)1橢圓的定義及應(yīng)用利用定義求方程、焦點(diǎn)三角形及最值的方法求方程通過對(duì)題設(shè)條件分析、轉(zhuǎn)化后，能夠明確動(dòng)點(diǎn)P滿足橢圓的定義，便可直接求解其軌跡方程求焦點(diǎn)三角形利用定義求焦點(diǎn)三角形的周長和面積解決焦點(diǎn)三角形問題常利用橢圓的定義、正弦定理或余弦定理其中|PF1|PF2|2a兩邊平方是常用技巧求最值抓住|PF1|與|PF2|之和為定值，可聯(lián)系到基本不等式求|PF1|·|PF2|的最值；利用定義|PF1|PF2|2a轉(zhuǎn)化或變形，借助三角形性質(zhì)求最值(1)已知兩圓C1：(x4)2y2169，C2：(x4)2y29，動(dòng)圓在圓C1內(nèi)部且和圓C1相內(nèi)切，和圓C2相外切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為()A.1B.1C.1D.1(2)如圖，橢圓1(a2)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P是橢圓上的一點(diǎn)，若F1PF260°，那么PF1F2的面積為()A.B.C.D.(3)設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓1的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(6,4)，則|PM|PF1|的最小值為_(1)D(2)D(3)5(1)設(shè)圓M的半徑為r，則|MC1|MC2|(13r)(3r)16>8|C1C2|，所以M的軌跡是以C1，C2為焦點(diǎn)的橢圓，且 2a16,2c8，故所求的軌跡方程為1.(2)由題意知|PF1|PF2|2a，|F1F2|24a216，由余弦定理得4a216|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60°，即4a216(|PF1|PF2|)23|PF1|PF2|，|PF1|PF2|，SPF1F2|PF1|PF2|sin 60°，故選D.(3)由題意知，點(diǎn)M在橢圓外部，且|PF1|PF2|10，則|PM|PF1|PM|(10|PF2|)|PM|PF2|10|F2M|10.(當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P，M，F(xiàn)2三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立)又F2(3,0)，則|F2M|5.|PM|PF1|5，即|PM|PF1|的最小值為5.解答本例T(3)的關(guān)鍵是差式(|PM|PF1|)轉(zhuǎn)化為和式|PM|PF2|10.而轉(zhuǎn)化的依據(jù)為|PF1|PF2|2a.1.已知A(1,0)，B是圓F：x22xy2110(F為圓心)上一動(dòng)點(diǎn)，線段AB的垂直平分線交BF于P，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為()A.1B.1C.1D.1D由題意得|PA|PB|，|PA|PF|PB|PF|r2|AF|2，點(diǎn)P的軌跡是以A，F(xiàn)為焦點(diǎn)的橢圓，且a，c1，b，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為1，故選D.2已知橢圓C：1(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為，過F2的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，若AF1B的周長為12，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.y21B.1C.1D.1D由橢圓的定義，知|AF1|AF2|2a，|BF1|BF2|2a，所以AF1B的周長為|AF1|AF2|BF1|BF2|4a12，所以a3.因?yàn)闄E圓的離心率e，所以c2，所以b2a2c25，所以橢圓C的方程為1，故選D.3已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：1(ab0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓C上的一點(diǎn)，且PF1PF2，若PF1F2的面積為9，則b_.3設(shè)|PF1|r1，|PF2|r2，則 所以2r1r2(r1r2)2(rr)4a24c24b2，所以SPF1F2r1r2b29，所以b3.考點(diǎn)2橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種方法(1)定義法根據(jù)橢圓的定義，確定a2，b2的值，結(jié)合焦點(diǎn)位置寫出橢圓方程(2)待定系數(shù)法一般步驟如下：(1)一個(gè)橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在x軸上，P(2，)是橢圓上一點(diǎn)，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差數(shù)列，則橢圓的方程為_(2)已知橢圓的中心在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，且經(jīng)過兩點(diǎn)P1(，1)，P2(，)，則橢圓的方程為_(3)一題多解與橢圓1有相同離心率且經(jīng)過點(diǎn)P(2，)的橢圓方程為_(1)1(2)1(3)1或1(1)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(ab0)，由點(diǎn)P(2，)在橢圓上知1.又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差數(shù)列，則|PF1|PF2|2|F1F2|，即2a2×2c，.又c2a2b2，聯(lián)立得a28，b26，故橢圓方程為1.(2)設(shè)橢圓方程為mx2ny21(m0，n0且mn)橢圓經(jīng)過點(diǎn)P1，P2，點(diǎn)P1，P2的坐標(biāo)適合橢圓方程，則由兩式聯(lián)立，解得所求橢圓的方程為1.(3)法一：因?yàn)閑，若焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)所求橢圓方程為1(mn0)，則1，從而，.又1，所以m28，n26.所以橢圓方程為1.若焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)橢圓方程為1(hk0)，則1，且，解得h2，k2.故所求方程為1，故橢圓的方程為1或1.法二：若焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)所求橢圓方程為t(t0)，將點(diǎn)P(2，)代入，得t2.故所求方程為1；若焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)方程為(0)，代入點(diǎn)P(2，)，得，故所求方程為1.故橢圓的方程為1或1.離心率相同的兩個(gè)橢圓焦點(diǎn)可能在不同的軸上，因此要分類求解，如本例T(3)教師備選例題1已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，長、短半軸長之和為10，焦距為4，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.1B.1C.1D.1C由長、短半軸長之和為10，焦距為4，可得ab10,2c4，c2.又a2b2c2，a236，b216.焦點(diǎn)在x軸上，所求橢圓方程為1.故選C.2已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓過點(diǎn)A(3,0)，且離心率e，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_1或1若焦點(diǎn)在x軸上，由題知a3，因?yàn)闄E圓的離心率e，所以c，b2，所以橢圓方程是1.若焦點(diǎn)在y軸上，則b3，a2c29，又離心率e，解得a2，所以橢圓方程是1.1.已知a，bR，則“a0b”是“1表示橢圓”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件B當(dāng)a0b且ab時(shí)，1表示圓，充分性不成立；當(dāng)1表示橢圓時(shí)，a0b且ab，必要性成立，所以“a0b”是“1表示橢圓”的必要不充分條件，故選B.2已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，且短軸長為2，離心率為，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.y21B.y21C.y21D.x21A由題意設(shè)橢圓方程為1(ab0)，則2b2，故b1.又，a2b2c2，a25.橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21.故選A.考點(diǎn)3橢圓的幾何性質(zhì)求橢圓離心率的值(或范圍)1求橢圓離心率的方法(1)定義法：根據(jù)條件求出a，c，直接利用公式e求解(2)方程法：根據(jù)條件得到關(guān)于a，b，c的齊次等式(不等式)，結(jié)合b2a2c2轉(zhuǎn)化為關(guān)于a，c的齊次等式(不等式)，然后將該齊次等式(不等式)兩邊同時(shí)除以a或a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于e或e2的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)2求橢圓離心率范圍的兩種方法方法解法適合題型幾何法利用橢圓的幾何性質(zhì)，設(shè)P(x0，y0)為橢圓1(ab0)上一點(diǎn)，則|x0|a，ac|PF1|ac等，建立不等關(guān)系，或者根據(jù)幾何圖形的臨界情況建立不等關(guān)系題設(shè)條件有明顯的幾何關(guān)系直接法根據(jù)題目中給出的條件或根據(jù)已知條件得出不等關(guān)系，直接轉(zhuǎn)化為含有a，b，c的不等關(guān)系式題設(shè)條件直接有不等關(guān)系(1)(2018·全國卷)已知F1，F(xiàn)2是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是C上的一點(diǎn)若PF1PF2，且PF2F160°，則C的離心率為()A1B2C.D.1(2)已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓1(ab0)的左、右焦點(diǎn)，過F1且垂直于x軸的直線與橢圓交于A，B上下兩點(diǎn)，若ABF2是銳角三角形，則該橢圓的離心率e的取值范圍是()A(0，1)B(1,1)C(0，1)D(1,1)(1)D(2)B(1)由題設(shè)知F1PF290°，PF2F160°，|F1F2|2c，所以|PF2|c，|PF1|c.由橢圓的定義得|PF1|PF2|2a，即cc2a，所以(1)c2a，故橢圓C的離心率e1.故選D.(2)F1，F(xiàn)2分別是橢圓1(a0，b0)的左、右焦點(diǎn)，過F1且垂直于x軸的直線與橢圓交于A，B上下兩點(diǎn)，F(xiàn)1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)，A，B，ABF2是銳角三角形，AF2F145°，tanAF2F11，1，整理得b22ac，a2c22ac，兩邊同時(shí)除以a2，并整理，得e22e10，解得e1或e1(舍去)，0e1，橢圓的離心率e的取值范圍是(1,1)，故選B.求離心率的取值范圍，關(guān)鍵是尋找關(guān)于a，b，c的不等式，如本例T(2)，利用等腰三角形是銳角三角形，則頂角的一半小于，建立不等式求解教師備選例題1已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，現(xiàn)以F2為圓心作一個(gè)圓恰好經(jīng)過橢圓中心并且交橢圓于點(diǎn)M，N，若過F1的直線MF1是圓F2的切線，則橢圓的離心率為()A.B2C.D.1D如圖所示由題意可得MF1MF2，|MF2|c，|MF1|2ac，|F1F2|2c，所以c2(2ac)24c2，化為c22ac2a20，即e22e20，e(0,1)，解得e1，故選D.2已知橢圓E：1(ab0)的右焦點(diǎn)為F，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為M，直線l：3x4y0交橢圓E于A，B兩點(diǎn)若|AF|BF|4，點(diǎn)M到直線l的距離不小于，則橢圓E的離心率的取值范圍是()A.B.C.D.A根據(jù)橢圓的對(duì)稱性及橢圓的定義可得A，B兩點(diǎn)到橢圓的左、右焦點(diǎn)的距離和為4a2(|AF|BF|)8，所以a2.又d，所以1b2，所以e.因?yàn)?b2，所以0e，故選A.與橢圓性質(zhì)有關(guān)的最值(范圍)問題與橢圓有關(guān)的最值或范圍問題的求解方法(1)利用數(shù)形結(jié)合、幾何意義，尤其是橢圓的性質(zhì)，求最值或取值范圍(2)利用函數(shù)，尤其是二次函數(shù)求最值或取值范圍(3)利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范圍(4)利用一元二次方程的判別式求最值或取值范圍(1)(2017·全國卷)設(shè)A，B是橢圓C：1長軸的兩個(gè)端點(diǎn)若C上存在點(diǎn)M滿足AMB120°，則m的取值范圍是()A(0,19，)B(0，9，)C(0,14，)D(0，4，)(2)(2019·開封模擬)如圖，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓1的離心率e，F(xiàn)，A分別是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)和頂點(diǎn)，P是橢圓上任意一點(diǎn)，則·的最大值為_ (1)A(2)4(1)當(dāng)0m3時(shí)，焦點(diǎn)在x軸上，要使C上存在點(diǎn)M滿足AMB120°，則tan 60°，即，解得0m1.當(dāng)m3時(shí)，焦點(diǎn)在y軸上，要使C上存在點(diǎn)M滿足AMB120°，則tan 60°，即，解得m9.故m的取值范圍為(0,19，)(2)由題意知a2，因?yàn)閑，所以c1，b2a2c23.故橢圓方程為1.設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)所以2x02，y0.因?yàn)镕(1,0)，A(2,0)，(1x0，y0)，(2x0，y0)，所以·xx02yxx01(x02)2.則當(dāng)x02時(shí)，·取得最大值4.橢圓中長軸兩端點(diǎn)(或兩焦點(diǎn))與短軸頂點(diǎn)所成的角最大，本例T(1)就是以此求解的1.(2017·全國卷)已知橢圓C：1(ab0)的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線bxay2ab0相切，則C的離心率為()A.B.C.D.A由題意知以A1A2為直徑的圓的圓心為(0,0)，半徑為a.又直線bxay2ab0與圓相切，圓心到直線的距離da，解得ab，e.故選A.2已知點(diǎn)F1，F(xiàn)2分別是橢圓1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)M是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么|的最小值是()A4B6 C8D10C設(shè)M(x0，y0)，F(xiàn)1(3,0)，F(xiàn)2(3,0)則(3x0，y0)，(3x0，y0)，所以(2x0，2y0)，|.因?yàn)辄c(diǎn)M在橢圓上，所以0y16，所以當(dāng)y16時(shí)，|取最小值為8.