專題檢測（二十三） “函數(shù)與導(dǎo)數(shù)”壓軸大題的搶分策略1(2018武漢調(diào)研)已知函數(shù)f(x)ln x(aR)(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)當a>0時，證明：f(x).解：(1)f(x)(x>0)當a0時，f(x)>0，f(x)在(0，)上單調(diào)遞增當a>0時，若x>a，則f(x)>0，函數(shù)f(x)在(a，)上單調(diào)遞增；若0<x<a，則f(x)<0，函數(shù)f(x)在(0，a)上單調(diào)遞減(2)證明：由(1)知，當a>0時，f(x)minf(a)ln a1.要證f(x)，只需證ln a1，即證ln a10.令函數(shù)g(a)ln a1，則g(a)(a>0)，當0<a<1時，g(a)<0，當a>1時，g(a)>0，所以g(a)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1，)上單調(diào)遞增，所以g(a)ming(1)0.所以ln a10恒成立，所以f(x).2(2018全國卷)已知函數(shù)f(x)exax2.(1)若a1，證明：當x0時，f(x)1；(2)若f(x)在(0，)只有一個零點，求a.解：(1)證明：當a1時，f(x)1等價于(x21)ex10.設(shè)函數(shù)g(x)(x21)ex1，則g(x)(x22x1)ex(x1)2ex.當x1時，g(x)<0，所以g(x)在(0，)上單調(diào)遞減而g(0)0，故當x0時，g(x)0，即f(x)1.(2)設(shè)函數(shù)h(x)1ax2ex.f(x)在(0，)上只有一個零點等價于h(x)在(0，)上只有一個零點()當a0時，h(x)>0，h(x)沒有零點；()當a>0時，h(x)ax(x2)ex.當x(0,2)時，h(x)<0；當x(2，)時，h(x)>0.所以h(x)在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2，)上單調(diào)遞增故h(2)1是h(x)在(0，)上的最小值當h(2)>0，即a<時，h(x)在(0，)上沒有零點當h(2)0，即a時，h(x)在(0，)上只有一個零點當h(2)<0，即a>時，因為h(0)1，所以h(x)在(0,2)上有一個零點由(1)知，當x>0時，ex>x2，所以h(4a)11>11>0，故h(x)在(2,4a)上有一個零點因此h(x)在(0，)上有兩個零點綜上，當f(x)在(0，)上只有一個零點時，a.3(2018西安質(zhì)檢)設(shè)函數(shù)f(x)ln x(kR)(1)若曲線yf(x)在點(e，f(e)處的切線與直線x20垂直，求f(x)的單調(diào)性和極小值(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))；(2)若對任意的x1>x2>0，f(x1)f(x2)<x1x2恒成立，求k的取值范圍解：(1)由條件得f(x)(x>0)，曲線yf(x)在點(e，f(e)處的切線與直線x20垂直，f(e)0，即0，得ke，f(x)(x>0)由f(x)<0，得0<x<e；由f(x)>0，得x>e，f(x)在(0，e)上單調(diào)遞減，在(e，)上單調(diào)遞增，當xe時，f(x)取得極小值，且f(e)ln e2.f(x)的極小值為2.(2)由題意知對任意的x1>x2>0，f(x1)x1<f(x2)x2恒成立，設(shè)h(x)f(x)xln xx(x>0)，則h(x)在(0，)上單調(diào)遞減，h(x)10在(0，)上恒成立，即當x>0時，kx2x2恒成立，k.故k的取值范圍是.4(2018全國卷)已知函數(shù)f(x)(2xax2)ln(1x)2x.(1)若a0，證明：當1<x<0時，f(x)<0；當x>0時，f(x)>0；(2)若x0是f(x)的極大值點，求a.解：(1)證明：當a0時，f(x)(2x)ln(1x)2x，f(x)ln(1x).設(shè)函數(shù)g(x)ln(1x)，則g(x).當1<x<0時，g(x)<0；當x>0時，g(x)>0，故當x>1時，g(x)g(0)0，且僅當x0時，g(x)0，從而f(x)0，且僅當x0時，f(x)0.所以f(x)在(1，)上單調(diào)遞增又f(0)0，故當1<x<0時，f(x)<0；當x>0時，f(x)>0.(2)若a0，由(1)知，當x>0時，f(x)(2x)ln(1x)2x>0f(0)，這與x0是f(x)的極大值點矛盾若a<0，設(shè)函數(shù)h(x)ln(1x).由于當|x|<min時，2xax2>0，故h(x)與f(x)符號相同又h(0)f(0)0，故x0是f(x)的極大值點，當且僅當x0是h(x)的極大值點h(x).若6a1>0，則當0<x<，且|x|<min時，h(x)>0，故x0不是h(x)的極大值點若6a1<0，則a2x24ax6a10存在根x1<0，故當x(x1,0)，且|x|<min時，h(x)<0，所以x0不是h(x)的極大值點若6a10，則h(x)，則當x(1,0)時，h(x)>0；當x(0,1)時，h(x)<0.所以x0是 h(x)的極大值點，從而x0是 f(x)的極大值點綜上，a