第12練數(shù)列的綜合問題明晰考情1.命題角度：考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的判定與證明；以an, Sn的關(guān)系為切入點(diǎn)，考查數(shù)列的通項(xiàng)、前n項(xiàng)和等；數(shù)列和函數(shù)、不等式的綜合應(yīng)用；一般位于解答題的17題位置.2.題目難度：中等偏下難度.考點(diǎn)一等差數(shù)列、等比數(shù)列的判定與證明方法技巧判斷等差(比)數(shù)列的常用方法(1)定義法：若an1and，d為常數(shù)，則an為等差(比)數(shù)列.(2)中項(xiàng)公式法.(3)通項(xiàng)公式法.1.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a11，an0，anan1Sn1，其中為常數(shù).(1)證明：an2an；(2)是否存在，使得an為等差數(shù)列？并說明理由.(1)證明由題設(shè)知，anan1Sn1，an1an2Sn11，兩式相減得an1(an2an)an1，由于an10，所以an2an.(2)解由題設(shè)知，a11，a1a2S11，可得a21.由(1)知，a31.令2a2a1a3，解得4.故an2an4，由此可得數(shù)列a2n1是首項(xiàng)為1，公差為4的等差數(shù)列，a2n14n3；數(shù)列a2n是首項(xiàng)為3，公差為4的等差數(shù)列，a2n4n1.所以an2n1，an1an2，因此存在4，使得數(shù)列an為等差數(shù)列.2.已知數(shù)列an滿足a12，且an12an2n1，nN*.(1)設(shè)bn，證明：bn為等差數(shù)列，并求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；(2)在(1)的條件下，求數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn.解(1)把a(bǔ)n2nbn代入到an12an2n1，得2n1bn12n1bn2n1，兩邊同除以2n1，得bn1bn1，即bn1bn1，bn為等差數(shù)列，首項(xiàng)b11，公差為1，bnn(nN*).(2)由bnn，得ann2n，Sn121222323n2n，2Sn122223324(n1)2nn2n1，兩式相減，得Sn2122232nn2n1(1n)2n12，Sn(n1)2n12(nN*).3.設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且首項(xiàng)a13，an1Sn3n(nN*).(1)求證：Sn3n是等比數(shù)列；(2)若an為遞增數(shù)列，求a1的取值范圍.(1)證明an1Sn3n，Sn12Sn3n，Sn13n12(Sn3n).a13，數(shù)列Sn3n是首項(xiàng)為a13，公比為2的等比數(shù)列.(2)解由(1)得，Sn3n(a13)2n1.Sn(a13)2n13n.當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1(a13)2n223n1.an為遞增數(shù)列，當(dāng)n2時(shí)，(a13)2n123n>(a13)2n223n1，當(dāng)n2時(shí)，2n2>0，a1>9.a2a13>a1，a1的取值范圍是(9，).考點(diǎn)二數(shù)列的通項(xiàng)與求和方法技巧(1)根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系求通項(xiàng)的常用方法累加(乘)法形如an1anf(n)的數(shù)列，可用累加法；形如f(n)的數(shù)列，可用累乘法.構(gòu)造數(shù)列法形如an1，可轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造等差數(shù)列；形如an1panq(pq0，且p1)，可轉(zhuǎn)化為an1p構(gòu)造等比數(shù)列.(2)數(shù)列求和的常用方法倒序相加法；分組求和法；錯(cuò)位相減法；裂項(xiàng)相消法.4.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足an2Sn1(nN*).(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若bn(2n1)an，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.解(1)當(dāng)n1時(shí)，a12S112a11，解得a11.當(dāng)n2時(shí)，由an2Sn1，得an12Sn11，兩式相減得anan12an，化簡得anan1，所以數(shù)列an是首項(xiàng)為1，公比為1的等比數(shù)列，則可得an(1)n.(2)由(1)得bn(2n1)(1)n，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Tn1357911(2n3)(2n1)2n，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，n1為偶數(shù)，TnTn1bn1(n1)(2n1)n.所以數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn(1)nn.5.已知數(shù)列an，bn滿足a1，anbn1，bn1.(1)求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)Sna1a2a2a3a3a4anan1，求Sn.解(1)bn1.a1，b1，因?yàn)閎n111，所以1，所以數(shù)列是以4為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以4(n1)n3，所以bn1.(2)因?yàn)閍n1bn，所以Sna1a2a2a3a3a4anan1.6.設(shè)數(shù)列an滿足a12，an1an322n1.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)令bnnan，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn.解(1)由已知，當(dāng)n2時(shí)，an1(an1an)(anan1)(a2a1)a13(22n122n32)222(n1)1.所以an22n1，而a12，也滿足上式，所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an22n1.(2)由bnnann22n1知，Sn12223325n22n1，22Sn123225327n22n1，得(122)Sn2232522n1n22n1，即Sn(3n1)22n12.考點(diǎn)三數(shù)列的綜合問題方法技巧(1)以函數(shù)為背景的數(shù)列問題，一般要利用函數(shù)的性質(zhì)或圖象進(jìn)行轉(zhuǎn)化，得出數(shù)列的通項(xiàng)或遞推關(guān)系.(2)數(shù)列是特殊的函數(shù)，解題時(shí)要充分利用函數(shù)的性質(zhì)解決數(shù)列問題，如數(shù)列中的最值問題.(3)解決數(shù)列與不等式綜合問題的常用方法有比較法(作差法、作商法)、放縮法等.7.已知f(x)2sinx，集合Mx|f(x)|2，x0，把M中的元素從小到大依次排成一列，得到數(shù)列an，nN*.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)記bn，設(shè)數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn，求證：Tn.(1)解因?yàn)閨f(x)|2，所以xk，x2k1，kZ.又因?yàn)閤>0，所以an2n1(nN*).(2)證明因?yàn)閎n(nN*)，bn<，所以Tnb1bn<<，所以Tn<.8.已知等比數(shù)列an滿足2a1a33a2，且a32是a2，a4的等差中項(xiàng).(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若bnanlog2，Snb1b2bn，求使Sn2n147<0成立的n的最小值.解(1)設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，依題意，有即由得q23q20，解得q1或q2.當(dāng)q1時(shí)，不滿足式，舍去；當(dāng)q2時(shí)，代入得a12，所以an22n12n.故所求數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an2n(nN*).(2)因?yàn)閎nanlog22nlog22nn，所以Sn212222332nn(222232n)(123n)2n12nn2.因?yàn)镾n2n147<0，所以2n12nn22n147<0，即n2n90>0，解得n>9或n<10(舍).因?yàn)閚N*，所以使Sn2n147<0成立的正整數(shù)n的最小值為10.9.已知數(shù)列an中，a12，anan12n0(n2，nN*).(1)寫出a2，a3的值(只寫出結(jié)果)，并求出數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn，若對(duì)任意的正整數(shù)n，不等式t22t>bn恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.解(1)a26，a312，當(dāng)n2時(shí)，ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)222232n2(123n)n(n1).因?yàn)楫?dāng)n1時(shí)，a12也滿足上式，所以ann(n1).(2)bn.因?yàn)閎n1bn<0，所以bn1<bn，則數(shù)列bn是遞減數(shù)列，所以(bn)maxb1，因?yàn)閠22t>bn恒成立，所以t22t>，解得t<0或t>2，所以實(shí)數(shù)t的取值范圍為(，0)(2，).典例(12分)已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列an滿足：a2a3a428，且a32是a2，a4的等差中項(xiàng).(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若bn，Snb1b2bn，求使Snn2n130成立的正整數(shù)n的最小值.審題路線圖規(guī)范解答評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)解(1)設(shè)等比數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公比為q.由題意知2(a32)a2a4，代入a2a3a428，可得a38，所以a2a420，所以解得或3分又?jǐn)?shù)列an單調(diào)遞增，所以q2，a12，所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an2n.5分(2)因?yàn)閎nn2n，6分所以Sn(12222n2n)，2Sn122223(n1)2nn2n1，兩式相減，得Sn222232nn2n12n12n2n1.8分又Snn2n130，可得2n1230，即2n13225，10分所以n15，即n4.所以使Snn2n130成立的正整數(shù)n的最小值為5.12分構(gòu)建答題模板第一步求通項(xiàng)：根據(jù)題目條件，列方程(組)求解，得到數(shù)列的通項(xiàng)公式.第二步巧求和：根據(jù)數(shù)列的類型，選擇適當(dāng)方法求和或經(jīng)適當(dāng)放縮后求和.第三步得結(jié)論：利用不等式或函數(shù)性質(zhì)求證不等式或解決一些最值問題.1.(2018全國)等比數(shù)列an中，a11，a54a3.(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)記Sn為an的前n項(xiàng)和，若Sm63，求m.解(1)設(shè)an的公比為q，由題設(shè)得anqn1.由已知得q44q2，解得q0(舍去)，q2或q2.故an(2)n1或an2n1(nN*).(2)若an(2)n1，則Sn.由Sm63得(2)m188，此方程沒有正整數(shù)解.若an2n1，則Sn2n1.由Sm63得2m64，解得m6.綜上，m6.2.(2018上饒模擬)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn1，數(shù)列bn為等差數(shù)列，且a2(b22)1，a1b1.(1)分別求數(shù)列an和bn的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和Tn.解(1)a1S11，n2時(shí)，anSnSn1，適合a1，an，nN*.由a1b1得b11，由a2(b22)1得(b22)1，b22，d1，bn1(n1)1n.(2)由Tn，得Tn，兩式相減，得Tn1，Tn2.3.已知等差數(shù)列an的首項(xiàng)a11，公差d>0，且第2項(xiàng)、第5項(xiàng)、第14項(xiàng)分別是一個(gè)等比數(shù)列的第2項(xiàng)、第3項(xiàng)、第4項(xiàng).(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn(nN*)，Snb1b2bn，是否存在t，使得對(duì)任意的n均有Sn>總成立？若存在，求出最大的整數(shù)t；若不存在，請(qǐng)說明理由.解(1)由題意得(a1d)(a113d)(a14d)2，整理得2a1dd2.a11，d>0，d2.an2n1(nN*).(2)bn，Snb1b2bn.假設(shè)存在整數(shù)t滿足Sn>總成立，又Sn1Sn>0，數(shù)列Sn是遞增的.S1為Sn的最小值，故<，即t<9.又tZ，適合條件的t的最大值為8.4.若數(shù)列bn對(duì)于nN*，都有bn2bnd(常數(shù))，則稱數(shù)列bn是公差為d的準(zhǔn)等差數(shù)列，如數(shù)列cn，若cn則數(shù)列cn是公差為8的準(zhǔn)等數(shù)列.設(shè)數(shù)列an滿足a1a，對(duì)于nN*，都有anan12n.(1)求證：an為準(zhǔn)等差數(shù)列；(2)求an的通項(xiàng)公式及前20項(xiàng)和S20.(1)證明因?yàn)閍n1an2n，所以an2an12n2.由得an2an2(nN*)，所以an是公差為2的準(zhǔn)等差數(shù)列.(2)解已知a1a，an1an2n(nN*)，所以a1a22，即a22a.所以由(1)可知a1，a3，a5，成以a為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，a2，a4，a6，成以2a為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列.所以當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，an2a2na，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，ana2na1，所以anS20a1a2a19a20(a1a2)(a3a4)(a19a20)21232192200.