階段質(zhì)量檢測（一） 平面向量、三角函數(shù)與解三角形(時(shí)間：120分鐘滿分：150分)一、選擇題(本大題共10小題，每小題4分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1(2018金華期末)函數(shù)y2sin21是()A最小正周期為的奇函數(shù)B最小正周期為2的奇函數(shù)C最小正周期為的偶函數(shù)D最小正周期為2的偶函數(shù)解析：選A因?yàn)楹瘮?shù)y2sin21cossin 2x，所以函數(shù)是最小正周期為的奇函數(shù)2已知向量a(1,2)，b(2，m)，若ab，則|2a3b|()A.B4C3 D2解析：選B依題意得，所以m4,2a3b2(1,2)3(2，4)(4，8)，故|2a3b|4.3在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若ABC為銳角三角形，且滿足sin B(12cos C)2sin Acos Ccos Asin C，則下列等式成立的是()Aa2b Bb2aCA2B DB2A解析：選A由題意可知sin B2sin Bcos Csin Acos Csin(AC)，即2sin Bcos Csin Acos C，又cos C0，故2sin Bsin A，由正弦定理可知a2b.4(2018柯橋區(qū)二模)已知不共線的兩個(gè)非零向量a，b，滿足|ab|2ab|，則()A|a|<|2b| B|a|>|2b|C|b|<|ab| D|b|>|ab|解析：選A|ab|2ab|，a22abb24a24abb2，6ab3a2，a22ab，|a|22|a|b|cos ，其中為a、b的夾角；|a|2|b|cos ，又a，b是不共線的兩個(gè)非零向量，|a|<|2b|.5(2019屆高三鎮(zhèn)海中學(xué)檢測)在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，已知bca,2sin B3sin C，則cos A()A BC D解析：選A在ABC中，bca,2sin B3sin C，利用正弦定理可得2b3c，則a2c，bc.再由余弦定理可得cos A.6(2018浦江模擬)已知平面向量a，b，c，滿足，且|a|b|c|4，則c(ab)的最大值為()A1 B2C3 D4解析：選B由，可得a與b夾角為120，且c與a，b成等角，均為60，設(shè)|a|a，|b|b，|c|c，由|a|b|c|4，得abc4，則0<c<4.c(ab)cacb|c|a|cos 60|c|b|cos 60c(ab)c(4c)c22c.當(dāng)c2時(shí)，c(ab)的最大值為2.7(2019屆高三浙江名校聯(lián)考信息卷)已知函數(shù)f(x)sin，將函數(shù)f(x)的圖象向左平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)g(x)的圖象，則“”是“g(x)是偶函數(shù)”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充分必要條件 D既不充分也不必要條件解析：選A由f(x)sin，得g(x)f(x)sin，當(dāng)時(shí)，g(x)sinsincos 2x，故充分性成立當(dāng)g(x)是偶函數(shù)時(shí)，2k，kZ，kZ，令k1，得，令k2，得.故“”是“g(x)是偶函數(shù)”的充分不必要條件8(2018金華模擬)已知平面內(nèi)任意不共線三點(diǎn)A，B，C，則的值為()A正數(shù) B負(fù)數(shù)C0 D以上說法都有可能解析：選B如果A，B，C三點(diǎn)構(gòu)成的三角形為銳角三角形或直角三角形，顯然<0；如果A，B，C三點(diǎn)構(gòu)成鈍角三角形，可設(shè)C為鈍角，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，則c>a，c>b，accos(B)abcos(C)bccos(A)<abcos Babcos Cabcos Aab(cos Bcos Ccos A)abcos Acos Bcos(AB)ab(cos Acos Bcos Acos Bsin Asin B)abcos Acos B(1cos A)sin Asin BA，B是銳角，cos A>0，cos B>0，且1cos A>0，sin Asin B>0，<0.9已知函數(shù)f(x)sin(x)的圖象在y軸右側(cè)的第一個(gè)最高點(diǎn)為P，在原點(diǎn)右側(cè)與x軸的第一個(gè)交點(diǎn)為Q，則f的值為()A1 BC D解析：選C由題意得，所以T，所以2，則f(x)sin(2x)，將點(diǎn)P代入f(x)sin(2x)，得sin1，所以2k(kZ)又|<，所以，即f(x)sin(xR)，所以fsinsin，選C.10(2018寧波模擬)已知O為銳角ABC的外心，|3，|2，若xy，且9x12y8，記I1，I2，I3，則()AI2<I1<I3 BI3<I2<I1CI3<I1<I2 DI2<I3<I1解析：選D如圖，分別取AB，AC的中點(diǎn)，為D，E，并連接OD，OE，根據(jù)條件有ODAB，OEAC，|2，|26，(xy)9x6ycosBAC，(xy)6xcosBAC12y6，又9x12y8，由解得cosBAC.由余弦定理得，BC .BC>AC>AB.在ABC中，由大邊對大角得，BAC>ABC>ACB，BOC>AOC>AOB，|，且余弦函數(shù)在(0，)上為減函數(shù)，<<，即I2<I3<I1.二、填空題(本大題共7小題，多空題每題6分，單空題每題4分，共36分)11(2019屆高三金華十校聯(lián)考)在平面直角坐標(biāo)系中，角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊過點(diǎn)P(，1)，則tan _，cos sin_.解析：根據(jù)角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊過點(diǎn)P(，1)，可得x，y1，r|OP|2，tan ，cos ，cos sin2cos .答案：12函數(shù)f(x)sin2xsin xcos x1的最小正周期是_，單調(diào)遞增區(qū)間是_解析：函數(shù)f(x)sin2xsin xcos x1，則f(x)1sin，則函數(shù)f(x)的最小正周期T，令2k2x2k(kZ)，解得kxk(kZ)，故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(kZ)答案：(kZ)13.如圖，在ABC中，B45，D是BC邊上的一點(diǎn)，AD5，AC7，DC3，則AB的長為_解析：在ADC中，AD5，AC7，DC3，由余弦定理得cosADC，ADC120，ADB60，在ABD中，AD5，B45，ADB60，由正弦定理得，AB.答案：14(2019屆高三西湖區(qū)校級模擬)已知ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足2cos2Asin 2A2，b1，SABC，則A_，_.解析：2cos2Asin 2A2，cos 2Asin 2A1，sin，0<A<，2A，2A，A.b1，SABCbcsin A1c，c2，由余弦定理可得，a，2.答案：215(2018下城區(qū)校級模擬)記mina，b已知向量a，b，c滿足|a|1，|b|2，且ab1，若cab(，0，且21)，則當(dāng)minac，bc取最大值時(shí)，|c|_.解析：向量a，b，c滿足|a|1，|b|2，且ab1，可得cosa，b，a，b60，可設(shè)a(1,0)，b(1，)，b，若cab(，0，且21)，即有c，a，b的終點(diǎn)共線，設(shè)c(x，y)，可得y(x1)，x1，可得minac，bcminx,32xx，當(dāng)minac，bc取最大值1，可得|c|1.答案：116已知共面向量a，b，c滿足|a|3，bc2a，且|b|bc|.若對每一個(gè)確定的向量b，記|bta|(tR)的最小值為dmin，則當(dāng)b變化時(shí)，dmin的最大值為_解析：不妨設(shè)向量a(3,0)，則由bc2a，設(shè)|ba|ca|r，則向量b，c對應(yīng)的點(diǎn)分別在以(3,0)為圓心，r為半徑的圓上的直徑兩端運(yùn)動(dòng)，其中a，b，c，并設(shè)BAH，如圖，易得點(diǎn)B的坐標(biāo)B(rcos 3，rsin )，因?yàn)閨b|bc|，所以|，則(rcos 3)2(rsin )24r2，整理為r22rcos 30，cos ，而|bta|(tR)表示向量b對應(yīng)的點(diǎn)到動(dòng)點(diǎn)(3t,0)的距離，向量|bta|(tR)的最小值為向量b對應(yīng)的點(diǎn)到x軸的距離dmin，即dmin|rsin r2，所以dmin的最大值是2.答案：217.(2019屆高三杭州六校聯(lián)考)如圖，在邊長為1的正方形ABCD中，E為AB的中點(diǎn)，P為以A為圓心，AB為半徑的圓弧(在正方形內(nèi)，包括邊界點(diǎn))上的任意一點(diǎn)，則的取值范圍是_；若向量，則的最小值為_解析：以A為原點(diǎn)，以AB所在的直線為x軸，AD所在的直線為y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則A(0，0)，B(1,0)，E，C(1，1)，D(0,1)設(shè)P(cos ，sin )，(1,1)，(cos ，sin )，(cos 1，sin )，cos2cos sin21cos ，0，0cos 1,0sin 1.的取值范圍是0,1，(cos ， sin )(1,1)，1.()>0，故在上是增函數(shù)，當(dāng)0，即cos 1時(shí)，取最小值為.答案：0,1三、解答題(本大題共5小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)18(本小題滿分14分)(2018杭州期中)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A(1,0)，B(0，1)，C(2,5)，D是AC上的動(dòng)點(diǎn)，滿足(R)(1)求的值；(2)求cosBAC；(3)若，求實(shí)數(shù)的值解：(1)22(1,1)(1,5)(1,7)，|2|5.(2)cosBAC.(3)(R)(1,5)(1,1)(1，51)，(1)1(51)0.解得.19(本小題滿分15分)(2018臺州五月適應(yīng)性考試)已知函數(shù)f(x)sin xcos xsin2x，xR.(1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間及f(x)圖象的對稱軸方程；(2)若，(0，)，且f()f()，求的值解：(1)f(x)sin xcos xsin2xsin 2xcos 2xsin，由2k2x2k(kZ)，得kxk(kZ)，所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(kZ)由2xk(kZ)，得x(kZ)，故f(x)圖象的對稱軸方程為x(kZ)(2)由f()f()，得sinsin，sinsin，展開整理得，cossin()0.因?yàn)椋?0，)，所以sin()0，所以cos0，所以k(kZ)，即k(kZ)因?yàn)椋?0，)，所以02，故或.20(本小題滿分15分)(2017杭州期末)設(shè)A是單位圓O和x軸正半軸的交點(diǎn)，P，Q是圓O上兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，AOP，AOQ，.(1)若Q，求cos的值；(2)設(shè)函數(shù)f()sin ()，求f()的值域解：(1)由已知得cos ，sin ，cos.(2)，(cos ，sin )，cos sin ，f()sin cos sin2sin 2cos2sin.，2，當(dāng)2時(shí)，f()取得最小值0，當(dāng)2時(shí)，f()取得最大值1.f()的值域是.21(本小題滿分15分)在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足2asin Csin Basin Absin Bcsin C.(1)求角C的大??；(2)若acosbcos(2kA)(kZ)且a2，求ABC的面積解：(1)由2asin Csin Basin Absin Bcsin C及正弦定理，得2absin Ca2b2c2，sin C，sin Ccos C，tan C，C.(2)由acosbcos(2kA)(kZ)，得asin Bbcos A，由正弦定理得sin Asin Bsin Bcos A，sin Acos A，A，根據(jù)正弦定理可得，解得c，SABCacsin B2sin(AC)sin.22(本小題滿分15分)已知向量a(2,2)，向量b與向量a的夾角為，且ab2.(1)求向量b；(2)若t(1,0)，且bt，c，其中A，B，C是ABC的內(nèi)角，若A，B，C依次成等差數(shù)列，試求|bc|的取值范圍解：(1)設(shè)b(x，y)，則ab2x2y2，且|b|1 ，聯(lián)立方程組解得或b(1,0)或b(0，1)(2)bt，且t(1,0)，b(0，1)A，B，C依次成等差數(shù)列，B.bc(cos A，cos C)，|bc|2cos2Acos2C1(cos 2Acos 2C)111cos.A，則2A，1cos<，|bc|2<，故|bc|<.|bc|的取值范圍為.