第25練導(dǎo)數(shù)的概念及簡單應(yīng)用明晰考情1.命題角度：考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值.2.題目難度：中檔偏難.考點一導(dǎo)數(shù)的幾何意義方法技巧(1)f(x0)表示函數(shù)f(x)在xx0處的瞬時變化率.(2)f(x0)的幾何意義是曲線yf(x)在點P(x0，y0)處切線的斜率.1.設(shè)點P是曲線yx3x上的任意一點，且曲線在點P處的切線的傾斜角為，則角的取值范圍是()A.B.C.D.答案C解析y3x2，tan，又0<，0或.2.設(shè)函數(shù)f(x)x3ax2，若曲線yf(x)在點P(x0，f(x0)處的切線方程為xy0，則點P的坐標(biāo)為()A.(0,0) B.(1，1)C.(1,1) D.(1，1)或(1,1)答案D解析由題意可知f(x)3x22ax，則有f(x0)3x2ax01，又切點為(x0，x0)，可得xaxx0，兩式聯(lián)立解得或則點P的坐標(biāo)為(1,1)或(1，1).故選D.3.(2018全國)設(shè)函數(shù)f(x)x3(a1)x2ax，若f(x)為奇函數(shù)，則曲線yf(x)在點(0,0)處的切線方程為()A.y2xB.yxC.y2xD.yx答案D解析方法一f(x)x3(a1)x2ax，f(x)3x22(a1)xa.又f(x)為奇函數(shù)，f(x)f(x)恒成立，即x3(a1)x2axx3(a1)x2ax恒成立，a1，f(x)3x21，f(0)1，曲線yf(x)在點(0,0)處的切線方程為yx.故選D.方法二f(x)x3(a1)x2ax為奇函數(shù)，f(x)3x22(a1)xa為偶函數(shù)，a1，即f(x)3x21，f(0)1，曲線yf(x)在點(0,0)處的切線方程為yx.故選D.4.設(shè)曲線y在點處的切線與直線xay10垂直，則a_.答案1解析y，則曲線y在點處的切線的斜率為k11.所以直線斜率存在，即a0，所以斜率k2，又該切線與直線xay10垂直，所以k1k21，解得a1.考點二導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性方法技巧(1)若求單調(diào)區(qū)間(或證明單調(diào)性)，只要在函數(shù)定義域內(nèi)解(或證明)不等式f(x)>0或f(x)<0.(2)若已知函數(shù)的單調(diào)性，則轉(zhuǎn)化為不等式f(x)0或f(x)0在單調(diào)區(qū)間上恒成立問題來求解.5.已知函數(shù)f(x)lnxx，若af，bf()，cf(5)，則()A.c<b<aB.c<a<bC.b<c<aD.a<c<b答案A解析f(x)1<0恒成立，f(x)在(0，)上為減函數(shù).afln33f(3).3<<5，f(3)>f()>f(5)，a>b>c.故選A.6.設(shè)函數(shù)f(x)x29lnx在區(qū)間a1，a1上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍是()A.(1,2 B.4，)C.(，2 D.(0,3答案A解析易知f(x)的定義域為(0，)，且f(x)x.由f(x)x<0，解得0<x<3.f(x)x29lnx在a1，a1上單調(diào)遞減，解得1<a2.7.若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(0)1，其導(dǎo)函數(shù)f(x)滿足f(x)k1，則下列結(jié)論中一定錯誤的是()A.fB.fC.fD.f答案C解析導(dǎo)函數(shù)f(x)滿足f(x)k1，f(x)k0，k10，0，可構(gòu)造函數(shù)g(x)f(x)kx，可得g(x)0，故g(x)在R上為增函數(shù)，f(0)1，g(0)1，gg(0)，f1，f，選項C錯誤，故選C.考點三導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值方法技巧(1)函數(shù)零點問題，常利用數(shù)形結(jié)合與函數(shù)極值求解.(2)含參恒成立或存在性問題，可轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題；若能分離參數(shù)，可先分離.特別提醒(1)f(x0)0是函數(shù)yf(x)在xx0處取得極值的必要不充分條件.(2)函數(shù)f(x)在a，b上有唯一一個極值點，這個極值點就是最值點.8.(2017全國)若x2是函數(shù)f(x)(x2ax1)ex1的極值點，則f(x)的極小值為()A.1B.2e3C.5e3D.1答案A解析函數(shù)f(x)(x2ax1)ex1，則f(x)(2xa)ex1(x2ax1)ex1ex1x2(a2)xa1.由x2是函數(shù)f(x)的極值點，得f(2)e3(42a4a1)(a1)e30，所以a1.所以f(x)(x2x1)ex1，f(x)ex1(x2x2).由ex10恒成立，得當(dāng)x2或x1時，f(x)0，且當(dāng)x2時，f(x)0；當(dāng)2x1時，f(x)0；當(dāng)x1時，f(x)0.所以x1是函數(shù)f(x)的極小值點.所以函數(shù)f(x)的極小值為f(1)1.故選A.9.若函數(shù)f(x)(12a)x2lnx(a0)在區(qū)間內(nèi)有極大值，則a的取值范圍是()A.B.(1，)C.(1,2) D.(2，)答案C解析f(x)ax(12a)(a0，x0).若f(x)在內(nèi)有極大值，則f(x)在內(nèi)先大于0，再小于0，即解得1a2.10.(2018江蘇)若函數(shù)f(x)2x3ax21(aR)在(0，)內(nèi)有且只有一個零點，則f(x)在1,1上的最大值與最小值的和為_.答案3解析f(x)6x22ax2x(3xa)(x0).當(dāng)a0時，f(x)0，f(x)在(0，)上單調(diào)遞增，又f(0)1，f(x)在(0，)上無零點，不合題意.當(dāng)a0時，由f(x)0，解得x，由f(x)0，解得0x，f(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.又f(x)只有一個零點，f10，a3.此時f(x)2x33x21，f(x)6x(x1)，當(dāng)x1,1時，f(x)在1,0上單調(diào)遞增，在(0,1上單調(diào)遞減.又f(1)0，f(1)4，f(0)1，f(x)maxf(x)minf(0)f(1)143.11.已知函數(shù)f(x)x33ax(aR)，函數(shù)g(x)lnx，若在區(qū)間1,2上f(x)的圖象恒在g(x)的圖象的上方(沒有公共點)，則實數(shù)a的取值范圍是_.答案解析由題意知，3ax2在1,2上恒成立，記h(x)x2，x1,2，則h(x)，1x2，h(x)0，h(x)在1,2上單調(diào)遞增，h(x)minh(1)1，3a1，即a.1.已知f(x)lnx，g(x)x2mx(m<0)，直線l與函數(shù)f(x)，g(x)的圖象都相切，且與f(x)圖象的切點為(1，f(1)，則m等于()A.1B.3C.4D.2答案D解析f(x)，直線l的斜率為kf(1)1.又f(1)0，切線l的方程為yx1.g(x)xm，設(shè)直線l與g(x)的圖象的切點為(x0，y0)，則有x0m1，y0x01，y0xmx0(m<0)，于是解得m2.故選D.2.(2016全國)若函數(shù)f(x)xsin2xasinx在(，)上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是()A.1,1B.C.D.答案C解析方法一(特殊值法)不妨取a1，則f(x)xsin2xsinx，f(x)1cos2xcosx，但f(0)11<0，不具備在(，)上單調(diào)遞增，排除A，B，D.故選C.方法二(綜合法)函數(shù)f(x)xsin2xasinx在(，)上單調(diào)遞增，f(x)1cos2xacosx1(2cos2x1)acosxcos2xacosx0，即acosxcos2x在(，)上恒成立.當(dāng)cosx0時，恒有0，得aR；當(dāng)0<cosx1時，得acosx，令tcosx，g(t)t在(0,1上為增函數(shù)，得ag(1)；當(dāng)1cosx<0時，得acosx，令tcosx，g(t)t在1,0)上為增函數(shù)，得ag(1).綜上可得，a的取值范圍是，故選C.3.函數(shù)f(x)的定義域為開區(qū)間(a，b)，導(dǎo)函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)的極小值點有()A.1個B.2個C.3個D.4個答案A解析由極小值的定義及導(dǎo)函數(shù)f(x)的圖象可知，f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)有1個極小值點.4.若直線ya分別與直線y2(x1)，曲線yxlnx交于點A，B，則|AB|的最小值為_.答案解析解方程2(x1)a, 得x1.設(shè)方程xlnxa的根為t(t0)，則tlnta，則|AB|.設(shè)g(t)1(t0)，則g(t)(t0)，令g(t)0，得t1.當(dāng)t(0,1)時，g(t)0，g(t)單調(diào)遞減；當(dāng)t(1，)時，g(t)0，g(t)單調(diào)遞增，所以g(t)ming(1)，所以|AB|，所以|AB|的最小值為.解題秘籍(1)對于未知切點的切線問題，一般要先設(shè)出切點.(2)f(x)遞增的充要條件是f(x)0，且f(x)在任意區(qū)間內(nèi)不恒為零.(3)利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的極值、最值問題要利用數(shù)形結(jié)合思想，根據(jù)條件和結(jié)論的聯(lián)系靈活進(jìn)行轉(zhuǎn)化.1.函數(shù)yf(x)的導(dǎo)函數(shù)yf(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)yf(x)的圖象可能是()答案D解析利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行驗證.f(x)>0的解集對應(yīng)yf(x)的增區(qū)間，f(x)<0的解集對應(yīng)yf(x)的減區(qū)間，驗證只有D選項符合.2.函數(shù)f(x)(x3)ex的單調(diào)遞增區(qū)間是()A.(，2) B.(0,3) C.(1,4) D.(2，)答案D解析函數(shù)f(x)(x3)ex的導(dǎo)函數(shù)為f(x)(x3)exex(x3)ex(x2)ex.由函數(shù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，得當(dāng)f(x)>0時，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，此時由不等式f(x)(x2)ex>0，解得x>2.3.已知函數(shù)f(x)x3mx24x3在區(qū)間1,2上是增函數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍為()A.4m5B.2m4C.m2D.m4答案D解析由函數(shù)f(x)x3mx24x3，可得f(x)x2mx4，由函數(shù)f(x)x3mx24x3在區(qū)間1,2上是增函數(shù)，可得x2mx40在區(qū)間1,2上恒成立，可得mx，又x24，當(dāng)且僅當(dāng)x2時取等號，可得m4.4.若函數(shù)f(x)(x1)ex，則下列命題正確的是()A.對任意m<，都存在xR，使得f(x)<mB.對任意m>，都存在xR，使得f(x)<mC.對任意m<，方程f(x)m只有一個實根D.對任意m>，方程f(x)m總有兩個實根答案B解析f(x)(x2)ex，當(dāng)x>2時，f(x)>0，f(x)為增函數(shù)；當(dāng)x<2時，f(x)<0，f(x)為減函數(shù).f(2)為f(x)的最小值，即f(x)(xR)，故B正確.5.已知函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間(0，)上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為f(x)，且滿足xf(x)2f(x)0，則不等式的解集為()A.x|x2013B.x|x2013C.x|2013x0D.x|2018x2013答案D解析構(gòu)造函數(shù)g(x)x2f(x)，則g(x)x2f(x)xf(x).當(dāng)x0時，2f(x)xf(x)0，g(x)0，g(x)在(0，)上單調(diào)遞增.不等式，當(dāng)x20180，即x2018時，(x2018)2f(x2018)52f(5)，即g(x2018)g(5)，0<x20185，2018x2013.6.函數(shù)f(x)3x2lnx2x的極值點的個數(shù)是()A.0B.1C.2D.無數(shù)答案A解析函數(shù)定義域為(0，)，且f(x)6x2，由于x>0，方程6x22x10中的20<0，所以f(x)>0恒成立，即f(x)在定義域上單調(diào)遞增，無極值點.7.設(shè)aR，若函數(shù)yexax，xR有大于零的極值點，則()A.a<1B.a>1C.a>D.a<答案A解析yexax，yexa.函數(shù)yexax有大于零的極值點，則方程yexa0有大于零的解.當(dāng)x>0時，ex<1，aex<1.8.定義：如果函數(shù)f(x)在m，n上存在x1，x2(mx1x2n)滿足f(x1)，f(x2)，則稱函數(shù)f(x)是m，n上的“雙中值函數(shù)”.已知函數(shù)f(x)x3x2a是0，a上的“雙中值函數(shù)”，則實數(shù)a的取值范圍是()A.B.C.D.答案C解析因為f(x)x3x2a，所以由題意可知，f(x)3x22x在區(qū)間0，a上存在x1，x2(0x1x2a)，滿足f(x1)f(x2)a2a，所以方程3x22xa2a在區(qū)間(0，a)上有兩個不相等的實根.令g(x)3x22xa2a(0xa)，則解得a1，所以實數(shù)a的取值范圍是.9.已知函數(shù)f(x)axlnx，aR，若f(e)3，則a的值為_.答案解析因為f(x)a(1lnx)，aR，f(e)3，所以a(1lne)3，所以a.10.已知奇函數(shù)f(x)則函數(shù)h(x)的最大值為_.答案1e解析當(dāng)x>0時，f(x)1，f(x)，當(dāng)x(0,1)時，f(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x>1時，f(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增.當(dāng)x1時，f(x)取到極小值e1，即f(x)的最小值為e1.又f(x)為奇函數(shù)，且當(dāng)x<0時，f(x)h(x)，h(x)的最大值為(e1)1e.11.若在區(qū)間0,1上存在實數(shù)x使2x(3xa)<1成立，則a的取值范圍是_.答案(，1)解析2x(3xa)<1可化為a<2x3x，則在區(qū)間0,1上存在實數(shù)x使2x(3xa)<1成立等價于a<(2x3x)max，而y2x3x在0,1上單調(diào)遞減，y2x3x在0,1上的最大值為2001，a<1，故a的取值范圍是(，1).12.已知函數(shù)f(x)exx，若f(x)<0的解集中只有一個正整數(shù)，則實數(shù)k的取值范圍為_.答案解析f(x)<0，即exx<0，即kx<只有一個正整數(shù)解，設(shè)g(x)，所以g(x)，當(dāng)x<1時，g(x)>0，當(dāng)x>1時，g(x)<0，所以g(x)在(，1)上單調(diào)遞增，在(1，)上單調(diào)遞減，所以g(x)maxg(1)，由圖可知，kx<的唯一一個正整數(shù)解只能是1，所以有解得k<，所以實數(shù)k的取值范圍為.